Pinturas: Schrödinger, Heisenberg e interação

Duas contabilidades diferentes para a mesma fatura. Você pode dizer que o objeto medido se move e o instrumento fica parado, ou que o instrumento se move e o objeto fica parado. Nenhum experimento distingue as duas.

Parece um detalhe de gosto, mas não é: escolher a contabilidade certa transforma contas impossíveis em contas de meia página. E a segunda escolha tem um bônus — deixa a mecânica quântica com a mesma cara da mecânica clássica.

Aqui está um fato que costuma passar batido: a separação entre "estado" e "operador" não é física — é contábil. O que você mede é sempre o valor médio ⟨ψ|A^|ψ⟩, um único número. Se você inserir U^†U^=1^ no meio dele, pode atribuir a evolução temporal ao estado, ao operador, ou repartir entre os dois. As três escolhas dão exatamente a mesma física — e são chamadas de pinturas (ou representações).

Parta do valor médio no instante t e agrupe os parênteses de dois jeitos:

Mesmos símbolos, mesma linha, só mudou onde você fecha o parêntese. Nenhum experimento consegue distinguir as duas — e é por isso que você pode escolher a que der menos trabalho.

A equação de Heisenberg

Derivando A^H(t)=U^†A^U^ no tempo e usando iℏ ∂tU^=H^U^, sai a equação de movimento dos operadores:

Compare com a equação de Hamilton na forma de colchetes de Poisson:

É literalmente a mesma equação, com a substituição { ,}→[ ,]/iℏ. Essa é a receita de quantização canônica de Dirac. Na pintura de Heisenberg a mecânica quântica parece mecânica clássica — só que as variáveis não comutam. Consequência imediata: se [H^,A^]=0, então A^ é conservado. Leis de conservação viram uma linha de álgebra.

Exemplo resolvido: o oscilador harmônico em Heisenberg

Com H^=p^22m+12mω2x^2 e [x^,p^]=iℏ, a equação de Heisenberg dá um par acoplado:

Essas são exatamente as equações de Newton — só que para operadores. Resolvendo:

Tomando o valor médio dos dois lados num estado qualquer, recuperamos a trajetória clássica de ⟨x⟩ — o teorema de Ehrenfest cai de graça, sem esforço extra.

Laboratório: as duas pinturas lado a lado

O espaço de fase (x,p) é o lugar perfeito para ver a diferença. Um estado coerente do oscilador é uma "bolha" de incerteza mínima. Observe: à esquerda a bolha gira e os eixos ficam parados; à direita a bolha fica parada e os eixos giram para o outro lado. A projeção — o número medido — é idêntica nos dois casos, quadro a quadro.

O readout compara os dois cálculos com 10 casas decimais. Eles não são "parecidos" — são o mesmo número, porque U^†U^=1^ é exato. Note também que, para este estado coerente no poço harmônico, a bolha não muda de tamanho: ΔxΔp=ℏ/2 o tempo todo, nas duas pinturas (um pacote livre, ao contrário, se espalha). E repare no sentido das setas: o estado gira no sentido horário enquanto os eixos giram no anti-horário — é o mesmo movimento relativo visto de dois referenciais.

A terceira pintura: a de interação (Dirac)

Na prática quase nenhum problema real é exatamente solúvel. O padrão é H^=H^0+V^, com H^0 fácil (partículas livres) e V^ pequeno (a interação). A pintura de interação reparte a evolução: H^0 cuida dos operadores, V^ cuida dos estados.

A vantagem é enorme: o estado só se move por causa da interação. Iterando essa equação obtém-se a série de Dyson, e dela saem as regras de Feynman e a matriz S — a máquina de calcular de toda a teoria quântica de campos, desenvolvida em funções de Green e LSZ e nas regras de Feynman.

Em teoria de campos você quer tratar espaço e tempo em pé de igualdade. A pintura de Schrödinger é ruim nisso: ela privilegia o tempo (o estado é definido "em cada instante", numa fatia de tempo). Já em Heisenberg, o operador de campo ϕ^(x,t) é uma função de x e t tratados simetricamente — exatamente o que a relatividade pede. Por isso a TQC é formulada na pintura de Heisenberg (para o campo livre) e na de interação (para calcular espalhamentos). É o assunto da regra de ouro de Fermi, logo adiante, e da matriz S.

Hamiltoniano H^ independente do tempo, U^(t)=e−iH^t/ℏ e A^H(t)=U^†A^ U^ (evolução unitária). Deduzimos a equação de movimento dos operadores, o teorema de Ehrenfest, a solução do oscilador e a fórmula de espalhamento (Δx)2(t) da partícula livre que o texto usa com Δx0=0,8, Δp0=0,625.

A equação de Heisenberg De iℏ ∂tU^=H^U^ e seu adjunto, ∂tU^†=iℏU^†H^. Derivando o produto U^†A^U^: dA^Hdt=iℏU^†H^A^U^−iℏU^†A^H^U^+(∂A^∂t) ⁣H=iℏ[H^,A^H]+(∂A^∂t) ⁣H, pois H^ comuta com U^, de modo que U^†H^A^U^=H^ A^H e U^†A^H^U^=A^HH^. Se [H^,A^]=0 e A^ não depende de t, então A^H=A^: conservado.

Ehrenfest para H^=p^2/2m+V(x^) Com [x^,p^]=iℏ, [p^2,x^]=p^[p^,x^]+[p^,x^]p^=−2iℏ p^ e [V(x^),p^]=iℏ V′(x^). Portanto dx^Hdt=iℏ⋅−2iℏ p^2m=p^Hm,dp^Hdt=iℏ (iℏ V′(x^H))=−V′(x^H). Em valores médios, m d2dt2⟨x⟩=−⟨V′(x)⟩. É a lei de Newton só quando ⟨V′(x)⟩=V′(⟨x⟩), isto é, para V no máximo quadrático (ou pacote estreito comparado com a variação de V′).

O oscilador harmônico: Newton para operadores Com V=12mω2x2, V′=mω2x e o passo 2 dá x^˙H=p^H/m, p^˙H=−mω2x^H. A solução com as condições iniciais x^H(0)=x^, p^H(0)=p^: x^H(t)=x^cos⁡ωt+p^mωsin⁡ωt,p^H(t)=p^cos⁡ωt−mω x^sin⁡ωt. Verificação: x^˙H=−ωx^sin⁡ωt+p^mcos⁡ωt=p^H/m. Dois instantes distintos: [x^H(t),x^H(0)]=sin⁡ωtmω[p^,x^]=−iℏmωsin⁡ωt, que se anula em ωt=nπ: o pacote se refoca e não se espalha.

A partícula livre: x^H=x^+p^t/m Com V=0, p^˙H=0, logo p^H=p^, e x^˙H=p^/m dá x^H(t)=x^+p^ t/m. O comutador de posições em dois instantes não se anula: [x^H(t),x^H(0)]=tm[p^,x^]=−iℏtm≠0. Medir a posição agora perturba onde a partícula estará depois.

A variância (Δx)2(t) Com δx^=x^−⟨x⟩, δp^=p^−⟨p⟩, δx^H=δx^+δp^ t/m e: (Δx)2(t)=⟨(δx^H)2⟩=(Δx)02+tm⟨δx^ δp^+δp^ δx^⟩+t2m2(Δp)02. Para um pacote sem correlação inicial entre x e p (covariância simetrizada nula, como o gaussiano real de Schrödinger): (Δx)2(t)=(Δx)02+(Δp)02m2 t2.

Número e conferência cruzada Com ℏ=m=1, Δx0=0,8, Δp0=0,625 (produto 0,5=ℏ/2, pacote mínimo) e t=4: Δx(4)=0,64+0,6252⋅16=6,89=2,625. A solução exata de Schrödinger dá o mesmo: σ(t)=σ01+(ℏt/2mσ02)2=0,81+(4/1,28)2=0,8×3,281=2,625. As duas pinturas concordam, como U^†U^=1 garante.

Resultado. A^˙H=iℏ[H^,A^H]+(∂tA^)H; Ehrenfest m⟨x⟩¨=−⟨V′⟩; oscilador x^H=x^cos⁡ωt+p^sin⁡ωt/mω; livre (Δx)2(t)=(Δx)02+(Δp)02t2/m2, que vale 2,625 em t=4.