Evolução unitária

Entre duas medidas não há acaso nenhum. O estado evolui de um jeito perfeitamente previsível, e o tipo de movimento é o mais bem-comportado possível: uma rotação rígida da seta, que nunca a encolhe nem a estica.

Isso tem uma consequência prática forte: a probabilidade total continua sendo 1 para sempre, sem ninguém precisar impor. E tem uma consequência filosófica: o "colapso" da medida é o único lugar da teoria onde algo não é uma rotação — o que é exatamente o problema da medida.

Se a probabilidade total tem de continuar valendo 1 para sempre, a evolução temporal não pode ser qualquer transformação. Ela tem de preservar o produto interno. Operadores com essa propriedade se chamam unitários:

Geometricamente: unitário é o análogo complexo de uma rotação. Comprimentos e ângulos ficam intactos; o vetor de estado apenas gira no espaço de Hilbert. Duas consequências imediatas e importantes:

Reversibilidade. U^−1=U^† sempre existe. A dinâmica quântica nunca perde informação — o que parece perda é sempre emaranhamento com o ambiente.

Ortogonalidade preservada. Estados distinguíveis hoje continuam distinguíveis amanhã. Autovalores de U^ são fases puras eiα, com ∣eiα∣=1.

Um operador unitário é uma rotação rígida. Gire um globo terrestre: as cidades mudam de lugar, mas nenhuma distância entre elas muda, nada estica, nada encolhe. É exatamente o que U^ faz com o vetor de estado — só que num espaço complexo.

E o contraste que fecha a ideia: a medida (Medida, regra de Born e valor médio) não é rotação — é achatar o globo contra um eixo. Por isso ela perde informação e não tem volta.

De onde vem Û = e^(−iĤt/ħ)

Três exigências físicas fixam a forma do operador de evolução, sem nenhuma liberdade:

i · Composição

Evoluir 3 s e depois 2 s = evoluir 5 s. Isso força uma exponencial.

ii · Continuidade

Tempo zero não faz nada, e U^ varia suavemente a partir daí.

iii · Unitariedade

Força o gerador a ser hermitiano. Chamamos esse gerador de H^.

Expandindo U^(dt)≈1^−iℏH^ dt e compondo infinitas vezes, chega-se a U^(t)=e−iH^t/ℏ. Derivando essa expressão em t, sai a equação de movimento:

H^ hermitiano ⟺ U^ unitário. Observável ↔ simetria. A energia não é apenas "uma grandeza que se conserva": ela é o gerador do fluxo temporal. Toda vez que você vê e−iG^λ na física, G^ é o observável conservado associado à simetria λ.

Como calcular a exponencial de um operador

Na base própria de H^ é trivial — a exponencial vira escalar em cada autoestado. Esse é o motivo de tanto esforço para diagonalizar hamiltonianas:

Cada componente apenas gira de fase, com velocidade angular proporcional à sua energia. É só isso que o tempo faz. Toda a riqueza dinâmica vem da interferência entre fases que giram em ritmos diferentes.

Hamiltoniana de dois níveis: H^=ℏΔ2σz+ℏΩ2σx. Isso descreve um átomo iluminado por laser, um spin em campo magnético, um qubit sob pulso de controle — a mesma matemática. O vetor de Bloch precessa em torno do eixo n^=(Ω,0,Δ)/W com frequência W=Ω2+Δ2.

Duas coisas para observar: (1) a linha âmbar da norma é uma reta perfeita em 1 — a unitariedade em ação, verificada numericamente a cada quadro. (2) Com Δ=0 (ressonância) o estado vai do polo norte ao polo sul: inversão de população completa. Com Δ≠0 ele passa a girar num cone e nunca alcança ∣1⟩ — a amplitude máxima cai para Ω2/(Ω2+Δ2). É a fórmula de Rabi, e é como se calibram portas lógicas em computadores quânticos reais.

O texto fixa U^(t)=e−iH^t/ℏ por composição, continuidade e unitariedade, e o laboratório mostra as oscilações de Rabi de H^=ℏΔ2σz+ℏΩ2σx. Derivamos (i) a exponencial a partir das três exigências e (ii) a exponencial do hamiltoniano de dois níveis, que dá a probabilidade de transição em forma fechada. (A forma geral do gerador de um grupo contínuo de simetrias, com o teorema de Stone, está em Simetrias.)

Composição e unitariedade fixam a exponencial Defina H^ por U^(ϵ)=1−iℏH^ϵ+O(ϵ2). Unitariedade até O(ϵ): 1=U^†U^=1+iϵℏ(H^†−H^)+O(ϵ2) ⟹ H^†=H^. A composição U^(t1+t2)=U^(t1)U^(t2) dá U^(t)=[U^(t/N)]N para todo N, e portanto U^(t)=lim⁡N→∞(1−iH^tℏN) ⁣N=e−iH^t/ℏ. Derivando em t: iℏ ∂tU^=H^U^.

O hamiltoniano de dois níveis como um spin num campo Com W=Δ2+Ω2 e o vetor unitário n^=(Ω,0,Δ)/W: H^=ℏ2(Δσz+Ωσx)=ℏW2 n^⋅σ. Autovalores ±ℏW/2: a separação entre os níveis “vestidos” é ℏW, maior que o ℏΔ sem acoplamento.

A exponencial de n^⋅σ Como (n^⋅σ)2=1 (medida), as potências pares são 1 e as ímpares são n^⋅σ. Separando a série de e−iϕ n^⋅σ em pares e ímpares, com ϕ=Wt/2: U^(t)=∑k(−iϕ)2k(2k)!1+∑k(−iϕ)2k+1(2k+1)! n^⋅σ=cos⁡Wt2 1−isin⁡Wt2 n^⋅σ. É uma rotação de ângulo Wt da esfera de Bloch em torno de n^, como diz o texto.

A amplitude de transição ∣0⟩→∣1⟩ Partindo de ∣0⟩, o elemento ⟨1∣1∣0⟩=0, ⟨1∣σz∣0⟩=0 e ⟨1∣σx∣0⟩=1. Então ⟨1|ψ(t)⟩=⟨1∣U^∣0⟩=−i nxsin⁡Wt2=−i ΩWsin⁡Wt2.

A fórmula de Rabi e a conservação de probabilidade Elevando ao quadrado, e notando que ⟨0∣U^∣0⟩=cos⁡Wt2−i nzsin⁡Wt2: P0→1=Ω2Ω2+Δ2sin⁡2Wt2,P0→0=cos⁡2Wt2+Δ2W2sin⁡2Wt2. Soma: cos⁡2+(nx2+nz2)sin⁡2=1, como a unitariedade exige.

Limites e um número Na ressonância (Δ=0): P=sin⁡2(Ωt/2), com inversão completa em t=π/Ω (pulso π). Fora dela, o máximo cai para Ω2/(Ω2+Δ2) e a oscilação fica mais rápida, de período 2π/W. Para Δ≫Ω, P≈(Ω/Δ)2sin⁡2(Δt/2): é o resultado de primeira ordem em teoria de perturbações. Numericamente, com Ω=2, Δ=1,5 (mesma unidade de frequência) e t=1,3: W=2,5 e P0→1=46,25sin⁡2(1,625)=0,64×0,9971=0,6381, igual ao obtido por exponenciação numérica da matriz 2×2 (0,6381). Com Ω=2π×1 MHz, um pulso π dura 0,5 μs.

Resultado. U^=cos⁡Wt2−isin⁡Wt2 n^⋅σ e P0→1(t)=Ω2Ω2+Δ2sin⁡2Ω2+Δ2 t2.