Perturbação dependente do tempo e a regra de ouro de Fermi

A pintura de interação, no final de Pinturas, deixa o estado se mover só por causa da perturbação. Resolvendo-a iterativamente obtém-se a regra de ouro: a probabilidade de transição por unidade de tempo para um contínuo de estados finais. É o cálculo que está por trás de toda taxa de decaimento e de toda seção de choque: o análogo de partícula única da fórmula que Calculando observáveis físicas usa para Γ e σ.

Ligue de repente um acoplamento fraco entre um estado inicial e um monte de estados finais com energias parecidas. No começo, a probabilidade de ter saltado cresce como t2. Mas os estados finais ficam fora de fase entre si, e só os que têm energia quase igual à inicial somam construtivamente. O resultado, depois de um tempo, é que a probabilidade cresce em linha reta: uma taxa constante. Essa taxa é proporcional ao quadrado do acoplamento e a quantos estados finais existem por unidade de energia. É isso que a regra de ouro diz, e é o que o widget abaixo mostra com um modelo que pode ser resolvido exatamente.

A amplitude de primeira ordem e o núcleo de Fermi

Escrevendo ∣ψI(t)⟩=∑ncn(t)∣n⟩ na pintura de interação, os coeficientes obedecem iℏ c˙f=∑nVfn eiωfnt cn, exata. Iterando uma vez a partir de cn=δni:

Sistema H^=H^0+V^, com H^0∣n⟩=En∣n⟩ e V^ ligada em t=0 (independente do tempo). Pintura de interação (Pinturas): o estado só se move por causa de V^. Condição inicial: ∣i⟩ com certeza. Pergunta: probabilidade de encontrar ∣f⟩ (f≠i) depois de t, e a taxa quando f pertence a um contínuo.

Equação para os coeficientes Expanda ∣ψI(t)⟩=∑ncn(t)∣n⟩. De iℏ ∂t∣ψI⟩=V^I(t)∣ψI⟩, com V^I=eiH^0t/ℏV^e−iH^0t/ℏ: iℏ c˙f=∑nVfn eiωfnt cn,Vfn=⟨f|V^|n⟩,ωfn=Ef−Enℏ. É um sistema linear exato; a perturbação consiste em resolvê-lo iterativamente.

Primeira ordem Ordem zero: cn=δni. Inserindo no lado direito: cf(1)(t)=−iℏVfi∫0teiωfit′dt′=−Vfiℏ eiωfit−1ωfi=−iVfiℏ eiωfit/2 sin⁡(ωfit/2)ωfi/2.

A probabilidade e o núcleo F Pi→f(t)=∣Vfi∣2ℏ2 F(ωfi,t),F(ω,t)=sin⁡2(ωt/2)(ω/2)2. Propriedades de F: (i) F(0,t)=t2: em ressonância, crescimento quadrático (o regime de tempos curtos das oscilações de Rabi do Lab 09 em Evolução unitária); (ii) zeros em ω=2πn/t, de modo que o pico central tem largura total 4π/t; (iii) a área, pela integral ∫−∞∞sin⁡2x/x2 dx=π com x=ωt/2: ∫−∞∞F(ω,t) dω=2πt. Altura t2, largura ∼1/t, área 2πt: quando t→∞, F(ω,t)/2πt→δ(ω) (delta nascente). Esta é a forma quantitativa da conservação de energia: só valem transições com ∣Ef−Ei∣≲2πℏ/t, a mesma ideia de ΔE τ≳ℏ do bloco sobre tempo–energia.

Somar sobre um contínuo Se os estados finais formam um contínuo com densidade ρ(E) (estados por unidade de energia), a probabilidade total de sair de ∣i⟩ é P(t)=∫dE ρ(E) Pi→f. Com ω=(E−Ei)/ℏ e dE=ℏ dω: P(t)=1ℏ∫dω ρ ∣Vfi∣2 F(ω,t) ≈ ρ(Ei) ∣Vfi∣2ℏ∫F dω=2πtℏ ρ(Ei) ∣Vfi∣2, onde se tirou ρ ∣V∣2 de dentro da integral, pois varia pouco na largura ∼1/t do núcleo.

A taxa P cresce linearmente: probabilidade por unidade de tempo constante. Γ=dPdt=2πℏ ∣Vfi∣2 ρ(Ef)∣Ef=Ei. Equivalentemente, Γi→f=2πℏ∣Vfi∣2δ(Ef−Ei), a ser integrada sobre os estados finais. Este é o resultado que Dirac obteve em 1927 e que Fermi, anos depois, chamou de “regra de ouro”.

Quando vale: a janela de tempo Três escalas, todas visíveis no widget: (a) t≫2πℏ/W, onde W é a escala de energia em que ρ∣V∣2 varia (a largura da banda); antes disso o núcleo ainda é mais largo que o contínuo e P é ∝t2, não ∝t. (b) t≪ℏ/Γ: primeira ordem supõe que ci≈1. Para t∼1/Γ o decaimento é exponencial, Pi=e−Γt, resultado que segue da regra de ouro aplicada a cada intervalo curto (sem memória) e que a diagonalização exata do widget reproduz. (c) t≪2πℏρ, o tempo de recorrência de um contínuo discretizado: com espaçamento δ=1/ρ, F é amostrada em pontos separados de δ e, quando 2πℏ/t<δ, ela “enxerga” só um estado: volta a oscilar como Rabi. Daí o tamanho da caixa ser tomado →∞ antes de t→∞.

Resultado. Γ=2πℏ∣Vfi∣2ρ(Ef). A janela é 2πℏ/W≪t≪ℏ/Γ (e, num contínuo discretizado, t≪2πℏρ); fora dela, P∝t2 ou oscilações de Rabi, e depois exponencial e−Γt.

O widget: o contínuo discretizado, exatamente

Um nível ∣i⟩ de energia 0 acoplado com intensidade V a N estados igualmente espaçados numa banda de largura W=20 (ℏ=1). Esse modelo é diagonalizável exatamente (a equação secular tem uma raiz por intervalo entre polos). O widget compara: Pi(t) exato contra e−Γt, ∣cf(t)∣2 exato contra o V2F de primeira ordem, e o espectro de energia dos estados finais em cada instante. Reduza N a 1: é uma oscilação de Rabi pura, Pi=cos⁡2Vt. Aumente N: o decaimento fica exponencial, e a taxa ajustada na reta de ln⁡Pi coincide com 2πV2ρ (razão 1,010 em N=100, V=0,1, conferida contra uma integração independente da equação de Schrödinger). Mova o desvio Δ para a banda deixar de cobrir Ei: a taxa vai a zero, porque ρ(Ei)=0.

Unidades ℏ=1, banda de largura W=20 (densidade de estados ρ=N/W), nível Ei=0. H=Ei∣i⟩⟨i∣+∑nEn∣n⟩⟨n∣+V (∣i⟩⟨n∣+h.c.) é diagonalizado exatamente. Em cima: Pi(t)=∣ci∣2 exato (rosa) e e−Γt com Γ=2πV2ρ/ℏ (laranja). Meio: ∣cf(t)∣2 exato (verde) contra a teoria de perturbação de primeira ordem V2 sinc2 (tracejada). Embaixo, no instante do cursor: pontos = ∣cn∣2 exatos; curva = V2F(ω,t) com F=sin⁡2(ωt/2)/(ω/2)2; tracejada = Lorentziana de largura Γ (o limite t→∞). Com poucos estados vê-se Rabi e recorrência; com muitos, a exponencial.

Perturbação harmônica: absorção e emissão estimulada

Para uma perturbação oscilante, como o campo de uma onda eletromagnética na aproximação de dipolo, V^(t)=W^e−iωt+W^†e+iωt, os dois termos ressonam em ωfi=±ω: absorção e emissão estimulada. Os elementos de matriz são iguais, portanto as taxas também (reciprocidade, B12=B21):

Uma onda eletromagnética clássica incide num átomo. Na aproximação de dipolo (comprimento de onda ≫ tamanho do átomo), V^(t)=−d^⋅E(t), com d^=−er^ e E(t)=E0 ε^cos⁡ωt. Todos os níveis são discretos; o contínuo virá da largura espectral da luz.

Separar em frequências positiva e negativa V^(t)=W^ e−iωt+W^†e+iωt,W^=−12E0 ε^⋅d^. W^†=W^ se ε^ é real, mas manter as duas peças ajuda a ver qual delas faz o quê.

Amplitude de primeira ordem Do bloco anterior, cf(1)=−iℏ∫0t⟨f|V^(t′)|i⟩ eiωfit′dt′: cf(1)=−1ℏ[Wfi ei(ωfi−ω)t−1ωfi−ω+(W†)fi ei(ωfi+ω)t−1ωfi+ω].

Ressonância e aproximação de onda girante Cada termo é do tipo do núcleo F: só é grande com denominador pequeno. ωfi≈+ω, Ef=Ei+ℏω, é absorção (o 1º termo domina); ωfi≈−ω, Ef=Ei−ℏω, é emissão estimulada (o 2º). Longe das duas, o termo cruzado oscila com amplitude ∼W/ℏω e não acumula (descartá-lo é a RWA). Em cada caso valem ∣cf∣2=∣W∣2F(ωfi∓ω,t)/ℏ2 e, pelo mesmo argumento F→2πt δ: Γi→f=2πℏ ∣Wfi∣2 δ(Ef−Ei−ℏω)(abs.),Γi→f=2πℏ ∣(W†)fi∣2 δ(Ef−Ei+ℏω)(emis.).

Reciprocidade: B12=B21 ∣Wfi∣=∣(W†)if∣ porque (W†)if=Wfi∗. Logo a taxa de absorção 1→2 é igual à de emissão estimulada 2→1, para o mesmo campo. É o princípio do balanço detalhado, e é a base da inversão de população necessária num laser: com campo igual, a população maior dita a direção líquida.

Luz monocromática → coeficiente de Einstein ∣Wfi∣=12E0 ∣ε^⋅dfi∣. Então Γ=π2ℏ2E02∣ε^⋅dfi∣2δ(ωfi−ω) (usando δ(ℏx)=δ(x)/ℏ). Para luz de banda larga a densidade de energia por frequência é u(ω); a densidade total de uma onda é u=12ε0E02, logo E02→2u(ω) dω/ε0, e integrando o delta: Γabs=Bfi u(ωfi),B=π ∣ε^⋅dfi∣2ε0ℏ2 → isotroˊpica, na˜o polarizada B=π ∣dfi∣23 ε0ℏ2, onde se usou ⟨∣ε^⋅d∣2⟩=∣d∣2/3 na média sobre direções. Esta é a regra de ouro com o campo tratado classicamente. O mesmo cálculo com o campo quantizado, que produz também a emissão espontânea, está no bloco seguinte.

Resultado. Absorção e emissão estimulada: Γ=2πℏ∣Wfi∣2δ(Ef−Ei∓ℏω), B12=B21=π∣d∣2/3ε0ℏ2. Para uma transição não degenerada.

Emissão espontânea: a mesma regra de ouro, com o campo de vácuo

Com campo clássico nulo não há perturbação e nada decai, mas os átomos decaem. A saída é quantizar o campo: o elemento de matriz de emissão de um fóton no modo kλ carrega n+1, e o “+1” é a emissão espontânea, estimulada pelo vácuo. A regra de ouro com a soma sobre todos os modos dá a taxa de Einstein.

Com o campo clássico, um átomo excitado sem luz incidente nunca decairia (E0=0⇒V=0). Mas decai. A resposta é que o campo eletromagnético é um conjunto de osciladores quantizados (Quantização canônica), e o estado de vácuo, n=0 fótons, ainda tem flutuações de ponto zero que fazem o papel de E0. Ponto de partida: H^=H^at+H^rad+V^, V^=−d^⋅E^(0), caixa de volume V.