Espalhamento: seção de choque, Born e ondas parciais

Quase tudo que se sabe da estrutura da matéria vem de atirar algo nela e ver como sai: Rutherford, difração de elétrons, colisores. Esta seção é a mecânica quântica do espalhamento por um potencial: o que é medido (a seção de choque), como é calculado (a equação de Lippmann–Schwinger, a aproximação de Born, as ondas parciais), a relação de unitariedade que o liga à absorção (o teorema óptico) e a ressonância. É o análogo de partícula única de Funções de Green, LSZ e a matriz S e de Calculando observáveis físicas.

Jogue água numa pedra no meio de um riacho e olhe as ondas que se afastam dela. Longe, a onda original segue; a pedra acrescentou uma onda circular, mais forte em certas direções. A mecânica quântica do espalhamento é a mesma: o feixe é uma onda plana, o alvo acrescenta uma onda esférica f(θ)eikr/r, e a seção de choque é o quanto dessa onda sai em cada direção, medida como “área” do alvo. Duas ideias fazem o resto: (1) se o alvo é fraco, a onda espalhada é a transformada de Fourier do potencial (Born); (2) em geral, cada momento angular é espalhado separadamente, mudando só a fase (ondas parciais), e uma fase que passa de 0 a π rapidamente é uma ressonância.

A forma assintótica, Lippmann–Schwinger e a aproximação de Born

Espalhamento por um potencial V(r) de alcance finito. Procura-se a solução estacionária de (H^0+V^)∣ψ⟩=E∣ψ⟩, E=ℏ2k2/2m, que contenha uma onda plana incidente ∣k⟩ (⟨r|k⟩=eik⋅r) mais ondas apenas emergentes. O caso do espalhamento em teoria de campos é o das funções de Green e da fórmula LSZ (Funções de Green, LSZ e a matriz S), e o resultado aqui é o análogo de partícula única.

A equação integral (E−H^0)∣ψ⟩=V^∣ψ⟩. Uma solução formal é ∣ψ⟩=∣k⟩+G^0+V^∣ψ⟩, com G^0+(E)=1E−H^0+iε,ε→0+. (∣k⟩ resolve a homogênea, pois (E−H^0)∣k⟩=0.) A prescrição +iε é o que seleciona ondas emergentes, como se vê no passo 3. É a equação de Lippmann–Schwinger.

O propagador livre em espaço de posição G0(r,r′)=⟨r|G^0+|r′⟩ obedece (E−H^0)G0=δ3, isto é (∇2+k2)G0=2mℏ2δ3(r−r′). Por Fourier, G0(R)=2mℏ2∫d3q(2π)3 eiq⋅Rk2−q2+iε,R=r−r′. Integral angular: ∫dΩ eiqRcos⁡ϑ=4πsin⁡qR/qR; então ∫d3q(2π)3…=12π2R∫0∞qsin⁡qRk2−q2+iεdq=−14π2iR∫−∞∞q eiqRq2−k2−iεdq. Os polos estão em q=±(k+iε′). Fecha-se o contorno no semiplano superior (R>0): só q=k+iε′ contribui, com resíduo k eikR/2k: G0+(r,r′)=−2mℏ2 eik∣r−r′∣4π∣r−r′∣. Com −iε o polo mudaria de lado e se obteria e−ikR (onda entrante); a prescrição escolhe a causalidade.

Forma assintótica e amplitude de espalhamento Em r→∞, com ∣r−r′∣≃r−r^⋅r′ e k′=kr^: ψ(r) →r→∞ eik⋅r+f(θ,ϕ) eikrr,f(k^→k^′)=−m2πℏ2∫d3r′ e−ik′⋅r′ V(r′) ψ(r′)=−m2πℏ2⟨k′|V^|ψ⟩.

A seção de choque diferencial Fluxo incidente: jin=ℏk/m (para ∣eik⋅r∣=1). A onda esférica transporta jesp=ℏkm∣f∣2r2 radialmente; através de dA=r2dΩ passam ℏkm∣f∣2dΩ por unidade de tempo. Dividindo pelo fluxo incidente: dσdΩ=∣f(θ,ϕ)∣2. (O termo cruzado entre onda incidente e espalhada é desprezado fora do feixe: é o que carrega o teorema óptico, no bloco seguinte.)

Aproximação de Born Iterando a equação de L–S, ∣ψ⟩=∣k⟩+G^0+V^∣k⟩+…; o primeiro termo substitui ψ→eik⋅r em f: fB(q)=−m2πℏ2V~(q),V~(q)=∫d3r e−iq⋅rV(r),q=k′−k, ∣q∣=2ksin⁡θ2. Para V=V(r), o ângulo sólido dá 4πsin⁡qr/qr: fB=−2mℏ2q∫0∞V(r) rsin⁡qr dr. A amplitude de Born é a transformada de Fourier do potencial: o espalhamento mede V~(q) (de aí a difração de elétrons por cristais).

Yukawa e Rutherford V=g e−μr/r. ∫0∞e−μrsin⁡qr dr=q/(q2+μ2), logo fB=−2mgℏ2 1q2+μ2,dσdΩ=(2mgℏ2)21(4k2sin⁡2θ2+μ2)2. Esse é o potencial de Yukawa de um bóson massivo de massa ℏμ/c trocado entre as partículas: V~∝1/(q2+μ2) é o propagador de Klein–Gordon estático. Limite μ→0, g=Z1Z2e2/4πε0 (Coulomb), com E=ℏ2k2/2m: dσdΩ=(g4E)21sin⁡4(θ/2), a fórmula de Rutherford, que por coincidência (só o 1/r coulombiano) é igual à clássica, exata em mecânica quântica. É o análogo não relativístico do espalhamento por troca de fóton em eμ→eμ de Cinemática e amplitudes.

Validade A série de Born converge se ∥G^0+V^∥<1. Para potencial de alcance R e profundidade V0: em baixa energia (kR≲1) pede m∣V0∣R2/ℏ2≪1, isto é, potencial fraco demais para ter estado ligado; em alta energia, ∣V0∣≪ℏv/R (o acréscimo de fase ∫Vdz/ℏv é pequeno). O widget abaixo compara a amplitude exata com a de Born: para Yukawa fraco concordam a <3%; perto de uma ressonância, a de Born falha por ordens de grandeza.

Resultado. ψ=eik⋅r+f eikr/r, f=−m2πℏ2⟨k′|V|ψ⟩, dσ/dΩ=∣f∣2, fB=−m2πℏ2V~(q). Yukawa: fB=−2mgℏ2(q2+μ2)→ Rutherford quando μ→0.

Ondas parciais, seção de choque total e o teorema óptico

Para V=V(r), o momento angular ℓ é conservado e o problema se desacopla em uma equação radial por ℓ (O átomo de hidrogênio). Cada onda parcial é transmitida com o único efeito possível, ℓ fixo: uma mudança de fase. Convenções: k fixo, E=ℏ2k2/2m, eixo z ao longo de k.

A onda plana livre eikz=∑ℓ=0∞(2ℓ+1) iℓ jℓ(kr) Pℓ(cos⁡θ),jℓ(kr)→r→∞sin⁡(kr−ℓπ/2)kr.

Solução com potencial Para r além do alcance de V, a solução radial regular é uma combinação das livres e, por conservação de fluxo (a equação radial é real), tem a forma uℓ(r)→Aℓsin⁡(kr−ℓπ/2+δℓ) com δℓ real, o deslocamento de fase. Escreva ψ=∑ℓ(2ℓ+1) iℓ eiδℓ sin⁡(kr−ℓπ/2+δℓ)kr Pℓ(cos⁡θ). O fator eiδℓ é escolhido para que ψ−eikz seja só onda emergente: com sin⁡x=(eix−e−ix)/2i, o coeficiente de e−i(kr−ℓπ/2) (entrante) é −eiδe−iδ+1=0 ✓. O que resta é emergente, ei(kr−ℓπ/2), com coeficiente e2iδ−1.

Amplitude de espalhamento Usando iℓe−iℓπ/2=1, ψ−eikz→eikrr∑ℓ(2ℓ+1)e2iδℓ−12ikPℓ(cos⁡θ), logo f(θ)=1k∑ℓ(2ℓ+1) eiδℓsin⁡δℓ Pℓ(cos⁡θ). Toda a dinâmica está nos números δℓ(k); Sℓ=e2iδℓ é a “matriz S” da onda parcial ℓ (módulo 1, por conservação de probabilidade em espalhamento elástico).

Seção de choque total σ=∫∣f∣2dΩ=2πk2∑ℓℓ′(2ℓ+1)(2ℓ′+1)ei(δℓ−δℓ′)sin⁡δℓsin⁡δℓ′∫−11PℓPℓ′dcos⁡θ. Ortogonalidade, ∫−11PℓPℓ′=22ℓ+1δℓℓ′, elimina os termos cruzados: σtot=4πk2∑ℓ(2ℓ+1)sin⁡2δℓ=∑ℓσℓ,σℓ≤4π(2ℓ+1)k2. O limite do lado direito, sin⁡2δ=1, é o limite unitário: a ressonância (δ=π/2) é espalhamento máximo permitido. O diferencial ∣f∣2 é, ao contrário, cheio de termos cruzados ℓ≠ℓ′: a interferência entre ondas parciais é o que dá a estrutura angular.

Teorema óptico Em θ=0, Pℓ(1)=1, então Im f(0)=1k∑(2ℓ+1)sin⁡2δℓ (pois Im(eiδsin⁡δ)=sin⁡2δ). Comparando com o passo anterior: σtot=4πk Im f(0). Interpretação: a onda espalhada interfere destrutivamente com a incidente na direção frontal e “retira” do feixe exatamente o fluxo que foi espalhado: a sombra. O teorema vale em geral: do fluxo total nulo através de uma esfera grande para ψ=eikz mais ondas emergentes, o termo cruzado entre eikz e f eikr/r dá ∝Imf(0) (aproximação de fase estacionária), e iguala o fluxo saindo na onda espalhada.

Canais inelásticos Se o potencial é complexo (absorção) ou há outros canais, Sℓ=ηℓe2iδℓ com 0≤ηℓ≤1. Então f=12ik∑(2ℓ+1)(ηℓe2iδℓ−1)Pℓ e σel=πk2∑(2ℓ+1)∣1−ηℓe2iδℓ∣2,σinel=πk2∑(2ℓ+1)(1−ηℓ2),σtot=σel+σinel=4πkImf(0). O teorema óptico continua valendo e é a forma de unitariedade usada em teoria de campos (LSZ e Observáveis): Im M(i→i)=12∑f∫dΠf∣M(i→f)∣2, onde as seções de choque de produção de partículas aparecem como a parte imaginária da amplitude elástica frontal.

Quantas ondas contam? Para um potencial de alcance R, uma partícula de momento ℏk tem parâmetro de impacto b=ℓ/k; só há espalhamento se b≲R, isto é, ℓ≲kR, por causa da barreira centrífuga ℏ2ℓ(ℓ+1)/2mr2. Para kR≪1 basta ℓ=0: δ0∼−ka, σ→4πa2 com a o comprimento de espalhamento (próximo bloco); δℓ∝k2ℓ+1 para k→0. O widget usa ℓmax=⌈kRef⌉+4 e confirma o teorema óptico a 10−8, ou seja, o truncamento é seguro.

Resultado. f=1k∑(2ℓ+1)eiδℓsin⁡δℓPℓ, σtot=4πk2∑(2ℓ+1)sin⁡2δℓ=4πkImf(0), σℓ≤4π(2ℓ+1)/k2.

Ressonância, Breit–Wigner e o comprimento de espalhamento

Sℓ(E)=e2iδℓ(E) é uma função analítica de E (de k, com a relação E=ℏ2k2/2m). Os fenômenos de ressonância e estado ligado são singularidades dela. A mesma estrutura, em forma relativística, é a do pico do Z em Observáveis físicas.

Estados ligados e ressonâncias como polos Um estado ligado é solução uℓ→e−κr (apenas onda emergente, k=iκ): polo de Sℓ no eixo imaginário positivo de k. Uma ressonância é um polo em Ep=Er−iΓ/2, logo da outra metade do plano complexo de k (segunda folha de Riemann), perto do eixo real positivo. É uma solução puramente emergente com energia complexa, o estado de Gamow: não normalizável, ψ∝eikr com Im k<0 crescendo com r.