Momento angular e spin

Gire um livro 90° em torno de um eixo e depois 90° em torno de outro. Agora refaça na ordem trocada: o livro acaba em posições diferentes. Rotações não comutam, e esse fato banal, levado a sério, produz toda esta seção.

O resultado mais surpreendente é que a matemática permite objetos que só voltam ao estado original depois de duas voltas completas. Eles existem: chamam-se elétrons.

O oscilador da seção Oscilador harmônico foi resolvido sem tocar numa equação diferencial: bastou [a^,a^†]=1 e a escada saiu inteira. Agora vamos fazer exatamente a mesma coisa com rotações — e o resultado será mais surpreendente, porque a álgebra vai produzir estados que a intuição clássica não previa: os semi-inteiros, que são o spin.

O ponto de partida: rotações não comutam

Pegue um objeto qualquer e gire 90° em torno de z, depois 90° em torno de x. Agora refaça na ordem trocada. Você não chega no mesmo lugar — e isso não é sutileza matemática, é algo que dá para fazer com um livro na mão.

Escrevendo a rotação infinitesimal como R≈1^−iℏ δθ J^n, o não-comutar das rotações finitas vira uma relação entre os geradores:

Isso é a definição de momento angular em mecânica quântica. Não vamos precisar de mais nada — nem de r×p, nem de coordenadas esféricas. Como na seção Oscilador harmônico, a álgebra basta.

Casimir, escada, e o espectro que cai sozinho

Os três J^i não comutam entre si, então não dá para medi-los juntos. Mas existe uma combinação que comuta com todos os três:

É o operador de Casimir. Logo dá para diagonalizar J^2 e um dos J^i simultaneamente — por convenção J^z. Os estados comuns são rotulados ∣j,m⟩. E agora vem o truque de sempre: monte as escadas.

A segunda relação é a mesma que fez o oscilador funcionar: J^+ sobe m em uma unidade e J^− desce, sem mexer em j.

A escada tem de terminar dos dois lados, senão J^z2 passaria de J^2, o que é impossível. Chame de mmax⁡ e mmin⁡ os extremos. Impondo J^+∣j,mmax⁡⟩=0 e J^−∣j,mmin⁡⟩=0 sai mmin⁡=−mmax⁡, e batizando j≡mmax⁡:

Mas repare no que a escada exige: de −j até +j em passos de 1, então 2j tem de ser um inteiro. Isso libera j=0,12,1,32,2,… — e os semi-inteiros não têm análogo clássico nenhum. Eles não foram postulados: são o que a álgebra permite. O elétron ocupa o degrau j=12, o menor não trivial que existe.

O degrau j=12: as matrizes de Pauli

O menor degrau não trivial da escada é j=12, com dois estados. Nesse caso as matrizes ficam pequenas o bastante para escrever inteiras — e são as três mais usadas da física:

Elas já apareceram no Lab 02 como as portas que giram a esfera de Bloch, e agora dá para ver de onde vinham: são a representação de spin-12 da álgebra de rotações, nada mais. Todas as propriedades saem do fato de que σi2=1:

Uma única relação empacota o produto escalar, o produto vetorial e a álgebra inteira:

Ponha a=b e sai σi2=1; antissimetrize e sai o comutador. E dela cai a fórmula de rotação, porque (n^⋅σ)2=1 faz a série exponencial se partir em par e ímpar exatamente como seno e cosseno:

Agora ponha θ=2π: dá −1, não 1. Uma volta completa não devolve o estado — devolve menos ele. Só em 4π a matriz volta à identidade. É a mesma periodicidade do mastro e bandeira do Lab 03, agora como uma linha de álgebra em vez de uma imagem. O Lab 21 confere as duas coisas com erro exatamente zero.

Todas as identidades são recalculadas com aritmética complexa a partir das três matrizes — nenhuma é assumida. Gire o ângulo e acompanhe a matriz de rotação sair da identidade, chegar a −1 em 2π e só voltar em 4π.

Os três primeiros blocos do readout são identidades algébricas: elas fecham com erro 0,0e+0 — zero de máquina, não zero aproximado, porque tudo são inteiros e sinais. O quarto bloco confere a exponencial contra a fórmula fechada. E o último é o que mais surpreende quem vê pela primeira vez: em θ=2π a distância até a identidade é 22, o máximo possível — a volta completa deixou o estado o mais longe que ele pode ficar de onde começou, a menos de um sinal global.

A última linha da tabela merece atenção. Um observável de um sistema de dois níveis é uma matriz hermitiana 2×2, e o espaço dessas matrizes tem dimensão real 4. Como 1,σx,σy,σz são quatro e linearmente independentes, eles são uma base:

Consequência: não existe pergunta a fazer a um qubit além de "qual a componente do spin nesta direção?". Toda medida possível é uma direção na esfera de Bloch mais um deslocamento trivial. É por isso que a esfera do Lab 02 não é uma ilustração conveniente — ela é a descrição completa do sistema. E é também a razão de su(2) ter exatamente três geradores: são as três matrizes sem traço.

Escolhido j, o laboratório monta as matrizes (2j+1)×(2j+1) a partir só das fórmulas de escada acima, e confere numericamente o comutador e o Casimir. Nada é digitado à mão.

Compare j=12 com j=1: a primeira dá as matrizes de Pauli sobre 2 (as mesmas do Lab 02), a segunda dá as matrizes 3×3 que agem em vetores. Mesma álgebra, representações diferentes — exatamente a distinção que aparece de novo, em escala maior, no grupo conforme SO(2,4). E note o comprimento: ∥J∥=ℏj(j+1) é sempre maior que o maior Jz possível, que é ℏj. O vetor nunca deita completamente sobre o eixo.

Para j=1: ∥J∥=ℏ2≈1,41ℏ, mas o máximo de Jz é 1ℏ. Sobra sempre um resto de ℏ "deitado" no plano xy, com direção completamente indefinida. O estado ∣j,j⟩ não é uma seta apontando para cima — é um cone de aberturas possíveis em torno de z.

E tinha de ser assim: se J apontasse exatamente em z, então Jx=Jy=0 com certeza absoluta, e o comutador [J^x,J^y]=iℏJ^z daria 0=iℏjℏ — falso. A impossibilidade de alinhar o momento angular com um eixo é o comutador se defendendo. É o mesmo mecanismo do ΔxΔp≥ℏ/2, aplicado a rotações.

Orbital contra spin: por que ℓ é inteiro e s pode ser meio

A álgebra permite semi-inteiros, mas nem todo momento angular os usa. A diferença aparece quando o momento angular vem de movimento no espaço:

Aqui aparece de novo a derivada como operador da seção Operadores e observáveis — agora derivando no ângulo. As autofunções são eimϕ, e dar uma volta completa tem de devolver a mesma função:

O argumento acima só vale porque L^z é uma derivada numa coordenada real ϕ, e a função de onda tem de ser unívoca no espaço. O spin não é derivada de nada: não há coordenada interna, não há função a ser unívoca, e a restrição simplesmente não se aplica.

O preço é o que o Lab 03 já mostrou: um estado de j=12 volta a si mesmo com sinal trocado após 2π, e precisa de 4π para fechar. Isso é inaceitável para uma função de onda ψ(r), e perfeitamente aceitável para um espinor, porque o sinal global não é observável. Grupos: SO(3) só tem representações inteiras; seu recobrimento duplo SU(2) tem as duas famílias.

Para o caso orbital, resolver L^2 e L^z em coordenadas esféricas dá as funções que todo mundo já viu:

A superfície tem raio ∣Yℓm(θ,ϕ)∣2 em cada direção — ou seja, é a densidade angular de probabilidade desenhada como um sólido. Arraste para girar.

Três coisas para reparar. (1) O número de nós em θ é ℓ−∣m∣: quanto mais o momento angular está deitado em z, menos estrutura sobra na vertical. (2) Em m=±ℓ a forma é um anel achatado no equador — é o mais perto de "órbita no plano xy" que a mecânica quântica permite. (3) Some sobre todo m de um mesmo ℓ e o resultado é uma esfera perfeita: é o teorema de Unsöld, e é por isso que camadas fechadas de átomos são esfericamente simétricas.

Somar dois momentos angulares

Dois elétrons, ou o orbital e o spin de um só: como combinar? O momento angular total é J^=J^1+J^2, e a pergunta é quais j aparecem. O espaço tem dimensão (2j1+1)(2j2+1), e ele se reparte assim:

Os coeficientes que traduzem a base ∣m1⟩∣m2⟩ para a base ∣j,m⟩ são os de Clebsch-Gordan. E o caso mais simples de todos já apareceu nesta área, com outro nome.

Dois spins-½ dão 2×2=4 estados. A soma os organiza em um singleto (j=0, um estado) e um tripleto (j=1, três estados):

Olhe bem para o singleto: é exatamente o estado ∣Ψ−⟩ do Lab 16, o que viola a desigualdade de Bell no Lab 17. Ele não foi inventado para o experimento de Bell — é o que a soma de momentos angulares produz naturalmente, e é o único estado de dois spins que é invariante por rotação (tem j=0, logo é o mesmo em qualquer eixo). Essa invariância é a razão de as correlações de Bell darem −cos⁡θ dependendo só do ângulo relativo entre os detectores.