Operadores e observáveis

Um operador é uma pergunta que você pode fazer ao sistema: qual a posição, qual a energia, qual o spin nesta direção. E aqui aparece a novidade mais séria da teoria: algumas perguntas não podem ser feitas ao mesmo tempo.

Não é limitação de instrumento nem falta de cuidado. Perguntar uma coisa altera o que a outra pergunta encontraria — e o quanto altera é calculável. Essa é a origem da relação de incerteza, e ela cai de uma conta de duas linhas.

Um operador é uma máquina linear que come um ket e cospe outro: A^∣ψ⟩=∣ψ′⟩. Em dimensão finita, é uma matriz. Mas nem toda matriz é um observável. Para representar uma grandeza física — energia, posição, momento, spin — o operador precisa ser hermitiano:

Essa condição carrega duas consequências que são exatamente o que a física exige:

Autovalores reais

A^∣n⟩=an∣n⟩ com an∈R. Resultados de medida são números reais — nunca se leu "3+2i joules" num aparelho.

Autovetores ortogonais

⟨m|n⟩=δmn para am≠an. Resultados distintos são perfeitamente distinguíveis, e a base própria serve para expandir qualquer estado.

Juntando as duas, todo observável admite a decomposição espectral — a forma mais reveladora de escrever um operador:

Leia assim: "A^ é a receita de projetar em cada autodireção e pesar pelo respectivo autovalor". Toda a informação do operador está em quais direções (∣n⟩) e com que peso (an).

Comutadores: o que pode ou não ser medido junto

Operadores são matrizes — em geral não comutam. O comutador mede a falha:

Se [A^,B^]=0, os dois compartilham uma base própria: existem estados com valor definido de ambos simultaneamente. Se não comutam, isso é impossível — e a relação de incerteza generalizada quantifica o preço:

O caso canônico é [x^,p^]=iℏ, que dá ΔxΔp≥ℏ/2 — exatamente o número que o Lab 05 mediu numericamente. Note que a incerteza não é sobre perturbação do aparelho: é uma propriedade do estado, presente mesmo sem medir nada.

Operadores que não comutam são operações em que a ordem muda o resultado. Vestir a meia e depois o sapato dá um resultado; o sapato e depois a meia dá outro (bem pior). "Somar 3" e "multiplicar por 2" também não comutam: 2(x+3)≠2x+3.

O que a mecânica quântica acrescenta é que medir é uma operação desse tipo. Medir x^ e depois p^ deixa o sistema num estado diferente de medir p^ e depois x^. O comutador [A^,B^] é literalmente a conta de quanto a ordem importa — e quando ele é zero, a ordem é irrelevante e as duas grandezas podem ter valor definido ao mesmo tempo.

Isso não é abstrato: dá para ver com três pedaços de plástico polarizador.

Monte qualquer matriz hermitiana 2×2 A^=(abbˉd) com a,d reais e b=∣b∣eiβ complexo. A hermiticidade é imposta pela construção — por isso os autovalores saem sempre reais.

A terceira caixa verifica numericamente a decomposição espectral: ela reconstrói A^ a partir de λ1P^1+λ2P^2 e mostra o erro. Deve ser ~10⁻¹⁵ (precisão de máquina). Repare também: λ1+λ2=tr⁡A^=a+d e λ1λ2=det⁡A^ — dois atalhos ótimos para conferir contas à mão.

Note o padrão: todo observável hermitiano é o gerador de uma simetria contínua. Momento gera translações espaciais, energia gera translações temporais, momento angular gera rotações. Esse é o teorema de Noether na versão quântica, e é a razão profunda pela qual U^=e−iH^t/ℏ.

A derivada é um operador — e dá para ver a matriz dela

Vale parar nessa linha da tabela, porque ela costuma passar como notação e é a coisa mais concreta da seção. ∂x não é um símbolo de cálculo colado num operador: ela é o operador. O critério é o de sempre — ser linear:

E toda aplicação linear num espaço com base é uma matriz. Basta escolher a base. Discretize a reta numa grade de N pontos com espaçamento h: agora uma função é um vetor de N números, e a derivada por diferença central

é literalmente uma matriz N×N, com +12h numa diagonal vizinha e −12h na outra, e zeros em todo o resto:

De onde vem o i em p^=−iℏ ∂x

Essa antissimetria decide tudo. Integre por partes, com as funções indo a zero nas bordas:

Ou seja ∂x†=−∂x: a derivada é anti-hermitiana. E anti-hermitiano tem autovalores imaginários puros — de fato, ∂xeikx=ik eikx.

Um observável precisa de autovalores reais, logo precisa ser hermitiano. A derivada sozinha não serve. Mas multiplique por −i:

e pronto: agora é hermitiano, os autovalores viram k reais, e p^=−iℏ∂x tem autovalor ℏk na onda plana eikx. Aquele i no momento existe por uma única razão: cancelar a anti-hermiticidade da derivada. O Lab 07 mostra a matriz e confere D^+D^ ⁣⊤=0 com erro exatamente zero.

Exponenciar a derivada: a série de Taylor é uma translação

Aqui está a parte que amarra a derivada ao resto da página. Exponencie o operador e reconheça a série:

A série de Taylor não parece com a exponencial de um operador — ela é. E a conclusão é imediata: ∂x é o gerador das translações. Escrevendo em termos do momento,

que é exatamente o mesmo padrão de U^(t)=e−iH^t/ℏ da seção Evolução unitária, com o Hamiltoniano gerando translações no tempo. Um só mecanismo, dois eixos.

Pense em ∂x como a instrução "dê um passo infinitesimal para a direita e me diga o quanto a função mudou". Sozinha, ela só descreve a tendência local — a velocidade.

A exponencial ea∂x é obedecer àquela instrução continuamente até acumular um deslocamento a. É a diferença entre o velocímetro e o odômetro. Em toda a física quântica esse par se repete: o operador hermitiano é o velocímetro (a taxa), a exponencial dele é o odômetro (a transformação finita). Momento e translação, energia e evolução, momento angular e rotação — sempre o mesmo par.

A grade tem N pontos em [0,2π) com condição periódica. Tudo aqui é a matriz D^ agindo — nenhuma fórmula de derivada é chamada.

Suba o N e acompanhe o erro: ele cai por um fator 4 a cada duplicação, que é a assinatura de h2 — a diferença central erra em segunda ordem. Não é a física que erra; a identidade ea∂xf=f(x+a) é exata no contínuo, e o que a grade faz é aproximá-la. Repare também no autovalor: a matriz devolve isin⁡(kh)/h em vez de ik, e os dois se encontram quando h→0. É por isso que modos de comprimento de onda curto (k grande, perto do limite da grade) são os primeiros a estragar.

Com x^ e p^ virando matrizes, é natural perguntar se dá para satisfazer [x^,p^]=iℏ com matrizes de tamanho finito. Não dá, e a prova é uma linha. Tire o traço dos dois lados:

O lado esquerdo é identicamente nulo para quaisquer matrizes finitas, porque tr⁡(A^B^)=tr⁡(B^A^). O lado direito só seria nulo se N=0. Não há saída: a relação canônica de comutação exige dimensão infinita.

É a resposta para uma pergunta que ficou pendente na seção Espaço de Hilbert — por que insistir num espaço de Hilbert de dimensão infinita para uma partícula na reta, se qubits vivem confortavelmente em C2. Porque posição e momento não cabem em dimensão finita. O laboratório mostra o sintoma: na grade, x^D^−D^x^ tem traço exatamente zero e não é a identidade — ela tem −12 em cada vizinho e 0 na diagonal. Só a ação sobre funções suaves converge para a identidade, com erro h2.

O texto enuncia que um operador hermitiano tem autovalores reais, autovetores ortogonais e a decomposição espectral. Provamos as três coisas em dimensão finita N (a versão em dimensão infinita pede condições extras sobre domínios, que não tratamos). Hermitiano significa ⟨ϕ|A^ψ⟩=⟨A^ϕ|ψ⟩ para todos ϕ,ψ.

Autovalores reais Seja A^∣n⟩=a∣n⟩ com ⟨n|n⟩=1. Calcule ⟨n|A^|n⟩ de duas maneiras, aplicando A^ à direita e depois (por hermiticidade) à esquerda: a⟨n|n⟩=⟨n|A^n⟩=⟨A^n|n⟩=a∗⟨n|n⟩ ⟹ a=a∗.

Autovalores distintos têm autovetores ortogonais Com A^∣m⟩=am∣m⟩, A^∣n⟩=an∣n⟩ (reais pelo passo 1): 0=⟨m|A^n⟩−⟨A^m|n⟩=(an−am)⟨m|n⟩ ⟹ ⟨m|n⟩=0 se am≠an. Dentro de um autoespaço degenerado a base é livre; escolhe-se uma ortonormal por Gram–Schmidt (kets e bras).

Existência: o complemento ortogonal é invariante O polinômio característico det⁡(A^−λ) tem pelo menos uma raiz complexa, logo existe um autovetor ∣n1⟩. Seu complemento ortogonal W={∣ϕ⟩:⟨n1|ϕ⟩=0} é invariante por A^: ⟨n1|A^ϕ⟩=⟨A^n1|ϕ⟩=a1⟨n1|ϕ⟩=0para ϕ∈W. Em W (dimensão N−1), A^ continua hermitiano; repete-se o argumento. Por indução, obtêm-se N autovetores ortonormais, isto é, uma base ortonormal de autovetores de A^.