Relações de incerteza

Em Operadores e observáveis a desigualdade ΔA ΔB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣ foi enunciada. Aqui ela é deduzida da geometria do espaço de Hilbert, refinada (o termo de covariância de Schrödinger), os estados de incerteza mínima são encontrados resolvendo uma equação, e a relação “tempo–energia” é separada do que ela não é: um teorema sobre operadores.

Uma onda curta no espaço precisa ser feita de muitas ondas puras, de muitos comprimentos de onda; uma onda que tem um comprimento de onda bem definido é longa. Isso já é verdade para a corda de um violão, sem mecânica quântica alguma. Em mecânica quântica, posição e momento são exatamente as duas “faces” da mesma onda, ligadas por Fourier, e por isso nenhum estado pode ter ambos nítidos. Não é o aparelho de medida que atrapalha: é uma propriedade do estado, presente antes de qualquer medida. O mesmo vale para qualquer par de grandezas que não comutam.

A desigualdade de Robertson, passo a passo

A prova tem só três ingredientes: a desigualdade de Cauchy–Schwarz, o fato de que o valor esperado de um operador hermitiano é real e o de um anti-hermitiano é imaginário puro, e a invariância do comutador por deslocamentos A^→A^−⟨A⟩. Nada em “medida” ou “perturbação” entra.

A desigualdade de incerteza é um teorema sobre o produto escalar de H, não uma afirmação sobre medidas. Tudo o que entra é: A^,B^ hermitianos, ∣ψ⟩ normalizado e no domínio dos produtos A^B^ e B^A^. Notação: ΔA2=⟨(A^−⟨A⟩)2⟩, com ⟨A⟩=⟨ψ|A^|ψ⟩.

Dois vetores auxiliares Defina os operadores centrados A~=A^−⟨A⟩, B~=B^−⟨B⟩ (continuam hermitianos, e [A~,B~]=[A^,B^]) e os vetores ∣f⟩=A~∣ψ⟩,∣g⟩=B~∣ψ⟩⟹⟨f|f⟩=ΔA2,⟨g|g⟩=ΔB2. A primeira igualdade usa A~†=A~: ⟨f|f⟩=⟨ψ|A~2|ψ⟩.

Cauchy–Schwarz Para quaisquer vetores, ⟨f|f⟩ ⟨g|g⟩≥∣⟨f|g⟩∣2. (Prova: 0≤∥∣f⟩−λ∣g⟩∥2 com λ=⟨g|f⟩/⟨g|g⟩ dá ⟨f|f⟩−∣⟨f|g⟩∣2/⟨g|g⟩≥0.) Logo ΔA2 ΔB2 ≥ ∣⟨ψ|A~B~|ψ⟩∣2.

Parte real e parte imaginária Escreva A~B~=12{A~,B~}+12[A~,B~]. O anticomutador é hermitiano, então seu valor esperado é real; o comutador é anti-hermitiano, então o seu é imaginário puro. Para z=a+ib, ∣z∣2=a2+b2: ∣⟨ψ|A~B~|ψ⟩∣2=(12⟨{A~,B~}⟩)2⏟CAB 2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2,CAB=12⟨A^B^+B^A^⟩−⟨A⟩⟨B⟩. CAB é a covariância quântica de A e B no estado.

Schrödinger e Robertson Juntando os passos 2 e 3 obtém-se a desigualdade de Schrödinger (1930). Descartar CAB2≥0 dá a de Robertson (1929): ΔA2ΔB2≥CAB2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2⟹ΔA ΔB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣. Para [x^,p^]=iℏ: Δx Δp≥ℏ/2. Para spin, [σx,σy]=2iσz dá ΔσxΔσy≥∣⟨σz⟩∣: o limite depende do estado, e é zero se ⟨σz⟩=0. A forma de Schrödinger é estritamente mais forte quando CAB≠0, por exemplo num gaussiano com chirp eiβx2/ℏ: ali ΔxΔp>ℏ/2 e Robertson não é saturada, mas Schrödinger é.

Quem satura: estados de incerteza mínima Há igualdade em Cauchy–Schwarz sse ∣f⟩=λ∣g⟩ (vetores paralelos); para saturar Robertson é preciso ainda CAB=0. Como ⟨g|f⟩=λ⟨g|g⟩ e ⟨f|g⟩=λ∗⟨g|g⟩, 2CAB=⟨f|g⟩+⟨g|f⟩=2 Reλ ΔB2, logo λ=iμ é imaginário puro: (A^−⟨A⟩)∣ψ⟩=iμ (B^−⟨B⟩)∣ψ⟩,μ∈R.

Aplicação a x e p: o gaussiano Com A^=x^, B^=p^=−iℏ∂x, a condição vira uma EDO de primeira ordem: (x−x0)ψ=iμ(−iℏψ′−p0ψ)=μℏ ψ′−iμp0ψ ⟹ ψ′=[x−x0μℏ+ip0ℏ]ψ,ψ=Nexp⁡ ⁣[(x−x0)22μℏ+ip0xℏ]. É normalizável só se μ<0. Escrevendo μ=−2σ2/ℏ: ψ(x)=(2πσ2)−1/4exp⁡ ⁣[−(x−x0)24σ2+ip0xℏ],Δx=σ,Δp=ℏ2σ. Os estados coerentes do oscilador (Oscilador harmônico) são o caso σ2=ℏ/2mω: de a^∣α⟩=α∣α⟩ com a^∝x^+ip^/mω segue (x^−⟨x⟩)∣α⟩=−imω(p^−⟨p⟩)∣α⟩, isto é, μ=−1/mω e 2σ2/ℏ=1/mω. Por isso eles têm Δx Δp=ℏ/2 para todo t, como o Lab 20 mede.

Resultado. ΔA2ΔB2≥CAB2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2. A incerteza é uma propriedade do estado e da álgebra dos operadores: não há aparelho, perturbação ou medida no argumento. Saturam Robertson (para x,p) os gaussianos de largura arbitrária, e entre eles os estados coerentes são os únicos que permanecem gaussianos de largura fixa sob o hamiltoniano do oscilador.

Quem satura: estados de incerteza mínima

A igualdade em Cauchy–Schwarz exige vetores paralelos. No caso de Robertson isto dá a equação (A^−⟨A⟩)∣ψ⟩=iμ(B^−⟨B⟩)∣ψ⟩ com μ real; para x^,p^ é uma EDO de primeira ordem cuja solução normalizável é a gaussiana (último passo do bloco acima). Se tirarmos a hipótese CAB=0, a desigualdade de Schrödinger é saturada por gaussianas com fase quadrática (chirp), para as quais Robertson é estritamente frouxa:

Há três famílias que importam, todas gaussianas em x: (i) o estado fundamental do oscilador (largura σ02=ℏ/2mω); (ii) os estados coerentes ∣α⟩, o mesmo gaussiano deslocado em (⟨x⟩,⟨p⟩), que permanece gaussiano com a mesma largura sob H=ℏω(a†a+12) (Lab 20 de Oscilador harmônico mostra Δx Δp=0,500 para todo t); (iii) os estados comprimidos (squeezed), com σ≠σ0: ainda Δx Δp=ℏ/2, mas a incerteza é redistribuída entre as quadraturas. É o recurso que o LIGO usa para reduzir o ruído de disparo em uma quadratura às custas da outra. Em a^∣α⟩=α∣α⟩ o raciocínio é o mesmo: (x^−⟨x⟩)∣α⟩=−imω(p^−⟨p⟩)∣α⟩, isto é, μ=−1/mω.

Tempo e energia: Mandelstam–Tamm

Em mecânica quântica o tempo é um parâmetro, não um observável: um operador t^ com [t^,H^]=iℏ implicaria que H^ tem espectro ilimitado nos dois lados (Pauli, 1933), incompatível com um mínimo de energia. O que existe é uma desigualdade honesta em que “Δt” é um tempo característico de um observável.

Não existe operador de tempo com [t^,H^]=iℏ num H limitado inferiormente (Pauli), então ΔE Δt≥ℏ/2 não pode ser Robertson com B^=t^. O que existe é uma desigualdade honesta em que Δt é um tempo característico de um observável: o que ele leva para mudar. Assuma H independente do tempo e A^ sem dependência explícita do tempo.

A taxa de variação de ⟨A⟩ Da equação de Heisenberg (Pinturas), ddt⟨A⟩=iℏ⟨[H^,A^]⟩.

Robertson com B^=H^ ΔE ΔA ≥ 12∣⟨[H^,A^]⟩∣=ℏ2∣d⟨A⟩dt∣.

Definir o tempo característico Seja τA=ΔA/∣d⟨A⟩/dt∣: o tempo que ⟨A⟩ leva para se deslocar de um desvio-padrão. Então ΔE τA ≥ ℏ2. τA depende do observável escolhido, mas a cota vale para todos. Se ΔE é pequeno, nenhum observável muda rápido.

Versão geométrica: tempo para ficar ortogonal Tome A^=P^=∣ψ0⟩⟨ψ0∣ (projetor fixo no estado inicial). ⟨P⟩=p(t)=∣⟨ψ0|ψ(t)⟩∣2 é a probabilidade de sobrevivência. Como P^2=P^: ΔP2=p(1−p). O passo 2 dá ∣dpdt∣≤2 ΔEℏp(1−p). Escreva p=cos⁡2θ com θ∈[0,π/2]. Então dp/dt=−2cos⁡θsin⁡θ θ˙ e p(1−p)=cos⁡θsin⁡θ, de modo que ∣θ˙∣≤ΔE/ℏ. ΔE é constante (é o desvio-padrão de H, conservado), logo θ(t)≤ΔE t/ℏ.

O tempo mínimo de ortogonalização Ortogonalidade, p=0, é θ=π/2: τ⊥ ≥ πℏ2 ΔE. Saturação: qubit (∣0⟩+∣1⟩)/2 com níveis E0,E1. ΔE=(E1−E0)/2, p(t)=cos⁡2[(E1−E0)t/2ℏ], logo τ⊥=πℏ/(E1−E0)=πℏ/2ΔE. A igualdade vale.

O que isto não diz (i) Não limita o tempo de medir a energia: um estado de ΔE pequeno pode ser medido a qualquer velocidade, com o aparelho adequado. (ii) Não é a cota de Margolus–Levitin, τ⊥≥πℏ/2(⟨E⟩−E0), que usa a energia média acima do fundo; as duas valem e a mais forte depende do estado. (iii) A largura natural de uma linha, Γτ=ℏ, é outra coisa: é a transformada de Fourier de um decaimento exponencial (regra de ouro).

Resultado. ΔE τA≥ℏ/2 para todo observável A, e τ⊥≥πℏ/2ΔE para a ortogonalização. O “tempo” é sempre o tempo próprio de alguma variável dinâmica do sistema, nunca um operador.

Uma consequência sempre disponível é a queda quadrática de curto prazo. Expandindo a amplitude de sobrevivência, ⟨ψ0|ψ(t)⟩=1−iℏ⟨H⟩t−12ℏ2⟨H2⟩t2+…, e tomando o módulo ao quadrado:

A largura natural de uma linha, Γ τ=ℏ, é outra coisa: é o fato de que um decaimento exponencial e−t/τ tem a transformada de Fourier lorentziana de largura ℏ/τ. A expressão “um estado de vida τ tem energia incerta por ℏ/τ” se refere a essa largura espectral, não a violar a conservação de energia por um tempo curto. A conservação vale sempre; o que se faz com ΔE Δt∼ℏ em “partículas virtuais” é um mnemônico para integrais de propagadores, não um empréstimo de energia.

Duas aplicações imediatas

Energia de ponto zero. Para H=p22m+12mω2x2 com ⟨x⟩=⟨p⟩=0 (sempre possível por simetria no fundamental):

Tamanho e estabilidade do átomo. Para H=p22m−e24πε0r com Δp≳ℏ/r (um elétron confinado em r): E(r)≃ℏ22mr2−e24πε0r, mínimo em r=a0=4πε0ℏ2/me2, com E=−me42(4πε0)2ℏ2=−13,6 eV. A estimativa de ordem de grandeza reproduz o resultado exato de O átomo de hidrogênio por acaso do coeficiente (o argumento sério de estabilidade da matéria, Lieb–Thirring, é mais delicado), mas o mecanismo é correto: o colapso para r→0 custa energia cinética ∝1/r2, que vence o 1/r coulombiano.