A função de onda é ψ(x) = ⟨x|ψ⟩

A famosa função de onda não é um objeto novo: é a mesma seta da seção anterior, escrita em outra língua. Perguntar "quanto do estado está na posição x?" para cada x possível gera uma curva — e essa curva é a função de onda.

É como descrever uma música pela partitura ou pela forma de onda no gravador: informações idênticas, formatos diferentes. Trocar de língua conforme a conta é mais fácil é metade da habilidade prática em mecânica quântica.

Aqui está o ponto que confunde quase todo mundo no primeiro contato, e vale enunciar sem rodeios:

A função de onda não é o estado. Ela é o estado escrito numa base específica — a base de posição. ∣ψ⟩ é o objeto abstrato; ψ(x)=⟨x|ψ⟩ é a lista de coeficientes desse objeto na base {∣x⟩}, só que a lista é contínua e por isso a chamamos de função.

A analogia exata: um vetor no espaço 3D é uma seta, independente de eixos. Se você escolher eixos, ele vira a tripla (vx,vy,vz). Trocar de eixos muda os números, não a seta. Do mesmo jeito, ∣ψ⟩ é a "seta"; ψ(x) são os "números" na base de posição; ψ~(p) são os números na base de momento; cn são os números na base de energia. Três descrições, um único estado.

A derivação cabe em uma linha — é o truque da identidade aplicado à base contínua:

Um ket, três idiomas

o objeto físico é o mesmo; muda apenas a base em que você o escreve

Contínua. ∣ψ(x)∣2 é a densidade de probabilidade.

⟨x|x′⟩=δ(x−x′)

1^=∫∣x⟩ ⁣⟨x∣dx

o objeto abstrato,sem base nenhuma

projete à esquerda ou à direitapara escolher um idioma

Discreta. ∣cn∣2 é a probabilidade de medir En.

⟨m|n⟩=δmn

1^=∑n∣n⟩ ⁣⟨n∣

O dicionário completo

Guarde esta tabela. Ela traduz qualquer expressão abstrata para a linguagem de funções de onda (e vice-versa) — é literalmente o que você faz quando "passa para a representação de posição".

Não é um chute. ∣p⟩ é autoket de p^, e na base de posição ele é a onda plana ⟨x|p⟩∝eipx/ℏ. Então ∂xeipx/ℏ=ipℏeipx/ℏ, ou seja −iℏ ∂x aplicado à onda plana devolve p vezes ela. Como as ondas planas formam uma base completa, −iℏ∂x é o operador momento na representação de posição — não por definição, mas por consequência.

Laboratório: as duas representações lado a lado

Um pacote gaussiano é o exemplo canônico. Ele existe simultaneamente como ψ(x) e como ψ~(p)=⟨p|ψ⟩, ligados por transformada de Fourier. Aperte o pacote no espaço e ele obrigatoriamente se espalha no momento — o princípio da incerteza aparece como um teorema de Fourier, não como um postulado extra.

Tudo aqui é calculado por integração numérica sobre a grade, não por fórmula fechada: ψ~(p)=12πℏ∫e−ipx/ℏψ(x)dx, e depois Δx=⟨x2⟩−⟨x⟩2 com ∣ψ(x)∣2, Δp idem com ∣ψ~(p)∣2. O produto dá exatamente 0.500 porque a gaussiana é o estado de incerteza mínima. Mexa em p0: ele desloca o pacote em p sem alterar nenhuma das larguras — momento e posição são "conjugados" nesse sentido preciso.

O texto afirma que p^ age como −iℏ∂x na representação de posição e que a ponte x↔p é a onda plana normalizada. Partimos só de que p^ é o gerador das translações, com a base {∣x⟩} contínua, ⟨x|x′⟩=δ(x−x′), e deduzimos as duas afirmações, incluindo o fator 1/2πℏ.

O operador de translação Defina T^(a)∣x⟩=∣x+a⟩. Ele é unitário, T^(a)†=T^(−a), e compõe-se como T^(a)T^(b)=T^(a+b). Como na evolução unitária (e no teorema de Stone), o gerador hermitiano das translações é o momento: T^(δa)=1−iℏ δa p^+O(δa2) (o ℏ torna p^ uma grandeza com dimensão de momento). Atuando na função de onda: ⟨x|T^(a)|ψ⟩=(T^(−a)∣x⟩) ⁣†∣ψ⟩=⟨x−a|ψ⟩=ψ(x−a).

O momento na base de posição Para a=δa pequeno, comparando os dois lados até primeira ordem: ψ(x)−δa ψ′(x)=ψ(x)−i δaℏ⟨x|p^|ψ⟩ ⟹ ⟨x|p^|ψ⟩=−iℏ ∂ψ∂x.

O autoestado de momento é uma onda plana Seja p^∣p⟩=p∣p⟩. Projetando em ⟨x∣ e usando o passo 2, a função fp(x)=⟨x|p⟩ obedece −iℏ fp′(x)=p fp(x) ⟹ fp(x)=C eipx/ℏ. Todo p real é permitido (o espectro é contínuo) e C pode depender de p. Resta fixá-lo.

Normalização δ fixa ∣C∣ Impondo ⟨p|p′⟩=δ(p−p′) e inserindo ∫dx∣x⟩ ⁣⟨x∣=1: δ(p−p′)=∫dx ⟨p|x⟩⟨x|p′⟩=∣C∣2∫dx ei(p′−p)x/ℏ=∣C∣2 2πℏ δ(p′−p), pois ∫du eiku=2πδ(k) e δ((p′−p)/ℏ)=ℏ δ(p′−p). Logo ∣C∣2=1/2πℏ; escolhendo a fase de ∣p⟩ tal que C>0: ⟨x|p⟩=12πℏ eipx/ℏ.

Conferências: completeza em p e a transformada de Fourier A mesma normalização torna {∣p⟩} completa: ⟨x|x′⟩=∫dp ⟨x|p⟩⟨p|x′⟩=12πℏ∫dp eip(x−x′)/ℏ=δ(x−x′). Inserindo ∫dx∣x⟩ ⁣⟨x∣ em ψ~(p)=⟨p|ψ⟩: ψ~(p)=12πℏ∫dx e−ipx/ℏ ψ(x),∫∣ψ~∣2dp=∫∣ψ∣2dx. (Plancherel: a norma é a mesma nas duas línguas.)

O comutador canônico sai de graça Com x^→x e p^→−iℏ∂x, para qualquer ψ: ⟨x|[x^,p^]|ψ⟩=x(−iℏψ′)−(−iℏ)∂x(xψ)=iℏ ψ(x) ⟹ [x^,p^]=iℏ. O i é o que torna p^ hermitiano: ∂x é anti-hermitiano (integração por partes, ∫ϕ∗ψ′=−∫ϕ′∗ψ), e −i o corrige.

Resultado. ⟨x|p⟩=eipx/ℏ/2πℏ, ⟨x|p^|ψ⟩=−iℏ ∂xψ, [x^,p^]=iℏ. Número: a onda plana tem comprimento de onda λ=2πℏ/p=h/p; para um elétron de 100 eV, p=2mE=5,40×10−24 kg m/s e λ=0,1226 nm.