Kets, bras e produto interno

Esta seção é sobre notação, não sobre física nova. Dirac inventou um jeito de escrever que faz as contas quase se escreverem sozinhas, e que domina a literatura há noventa anos.

A ideia é ter dois símbolos complementares: um para a seta (o ket) e outro para a operação de "medir a sombra de uma seta sobre a outra" (o bra). Encaixando os dois você obtém um número — e esse número é o que vira probabilidade.

Dirac inventou uma notação tão boa que ela praticamente pensa por você. A ideia: quebrar a palavra bracket (⟨ ⟩, colchete) ao meio.

Anatomia de ⟨ϕ|ψ⟩

Em Cn, uma coluna:

Linear: ∣αψ+βϕ⟩=α∣ψ⟩+β∣ϕ⟩

vive em H

Uma linha transposta e conjugada:

Antilinear: ⟨αϕ∣=α∗⟨ϕ∣

vive em H∗ (espaço dual)

É a amplitude de encontrar ∣ψ⟩ na "direção" ∣ϕ⟩.

P=∣⟨ϕ|ψ⟩∣2 ← aqui entra a física

O outro produto: |ψ⟩⟨φ| é um operador

Invertendo a ordem, coluna × linha dá uma matriz. Esse é o produto externo, e é a fábrica de operadores da teoria:

Ou seja: ∣ψ⟩ ⁣⟨ϕ∣ "mede" quanto de ∣ϕ⟩ há em ∣χ⟩ e devolve isso na direção ∣ψ⟩. Dois casos são fundamentais:

Projetor

Aplicar duas vezes é o mesmo que aplicar uma. É o operador "fique só com a componente n". Ele é o modelo matemático do colapso na medida.

Relação de completeza

A identidade "disfarçada". Você pode inseri-la em qualquer lugar de uma expressão sem mudar nada — e é exatamente assim que se troca de representação.

Insira a identidade e veja a expansão aparecer sozinha:

Aprenda a fazer isso de olhos fechados. Com a base contínua ∣x⟩, o mesmo truque produz a função de onda — é o assunto da próxima seção.

Note que ⟨ϕ|ψ⟩ e ⟨ψ|ϕ⟩ são conjugados um do outro — mesma magnitude, fase oposta. E que a matriz do projetor ∣ψ⟩ ⁣⟨ψ∣ tem sempre traço 1 e determinante 0: ela "esmaga" o espaço todo numa única direção.

O texto usa o “truque da identidade” ∣ψ⟩=∑n∣n⟩ ⁣⟨n∣ ∣ψ⟩ e o botão “tornar ortogonais” da calculadora. Mostramos (i) como transformar dois vetores quaisquer de C2 numa base ortonormal (Gram–Schmidt), (ii) por que ∑n∣n⟩ ⁣⟨n∣=1, e (iii) as propriedades do projetor P^n=∣n⟩ ⁣⟨n∣. Dimensão N=2 por clareza; nada depende disso.

O algoritmo de Gram–Schmidt Dados ∣u1⟩,∣u2⟩ linearmente independentes, normalize o primeiro e subtraia do segundo a sua “sombra” no primeiro: ∣e1⟩=∣u1⟩⟨u1|u1⟩,∣w⟩=∣u2⟩−∣e1⟩⟨e1|u2⟩,∣e2⟩=∣w⟩⟨w|w⟩. Conferência da ortogonalidade: ⟨e1|w⟩=⟨e1|u2⟩−⟨e1|e1⟩⟨e1|u2⟩=0. O denominador de ∣e2⟩ é não nulo porque ∣u2⟩ não é múltiplo de ∣u1⟩. Em dimensão N repete-se, subtraindo as sombras em todos os ∣ek⟩ anteriores.

Um exemplo com números complexos ∣u1⟩=(1,1) ⁣⊤, ∣u2⟩=(1,i) ⁣⊤, com ⟨u1|u2⟩=1+i≠0. Então ∣e1⟩=12(1,1) ⁣⊤, ⟨e1|u2⟩=1+i2 e ∣w⟩=(1i)−1+i2(11)=1−i2(1−1),⟨w|w⟩=∣1−i∣24⋅2=1. Logo ∣e2⟩=1−i2(1,−1) ⁣⊤. Observe que ⟨e1|e2⟩=1−i22(1−1)=0. (A fase global 1−i2 é livre e some nos projetores.)

Completeza: a soma dos projetores é a identidade Defina M^=∑n∣en⟩ ⁣⟨en∣−1. Sobre cada vetor da base, pela ortonormalidade ⟨en|ek⟩=δnk: M^∣ek⟩=∑n∣en⟩ δnk−∣ek⟩=∣ek⟩−∣ek⟩=0. Um operador linear que anula todos os vetores de uma base é zero, logo M^=0: ∑n∣en⟩ ⁣⟨en∣=1. No exemplo, ∣e1⟩ ⁣⟨e1∣=12(1111) e ∣e2⟩ ⁣⟨e2∣=12(1−1−11) (o módulo quadrado de 1−i2 é 12), e a soma é 1.

Consequências: expansão, Parseval e tr 1=N Inserindo 1 em ⟨ϕ|ψ⟩ e em ⟨ψ|ψ⟩, com cn=⟨en|ψ⟩: ∣ψ⟩=∑ncn∣en⟩,⟨ϕ|ψ⟩=∑n⟨ϕ|en⟩⟨en|ψ⟩,⟨ψ|ψ⟩=∑n∣cn∣2. A última é a identidade de Parseval: a norma não depende da base. E tr 1=∑n⟨en|en⟩=N, a dimensão.

O projetor P^n=∣en⟩ ⁣⟨en∣ Idempotente, pela ortonormalidade: P^n2=∣en⟩⟨en|en⟩⟨en∣=P^n. Hermitiano: P^n†=P^n. Logo seus autovalores satisfazem λ2=λ, isto é, λ∈{0,1}; o autovalor 1 tem multiplicidade 1 (a direção ∣en⟩), então tr P^n=1 e, para N≥2, det⁡P^n=0. Sobre um estado, P^n∣ψ⟩=cn∣en⟩ e ⟨ψ|P^n|ψ⟩=∣cn∣2. É a probabilidade de Born do resultado n: o projetor é o modelo matemático do “filtro” da medida, e a completeza ∑n⟨ψ|P^n|ψ⟩=1 garante que as probabilidades somam 1.

Resultado. Gram–Schmidt produz uma base ortonormal a partir de qualquer base; para ela ∑n∣en⟩ ⁣⟨en∣=1, ∑n∣cn∣2=⟨ψ|ψ⟩ e P^n2=P^n, tr P^n=1. Exemplo verificado: (1,1) e (1,i) viram 12(1,1) e 1−i2(1,−1), com projetores somando 1.