Medida, regra de Born e valor médio

Aqui está a parte que gerou um século de discussão. A teoria não prevê o que vai acontecer numa medida individual — prevê com que frequência cada resultado aparece se você repetir o experimento muitas vezes.

E há uma receita exata para essas frequências: tome a sombra da seta na direção que interessa e eleve ao quadrado. É a regra de Born, e ela é o único ponto de toda a teoria em que o acaso entra. Todo o resto é rigorosamente determinístico.

Este é o único lugar em que a mecânica quântica deixa de ser determinística. Dado um estado ∣ψ⟩ e um observável A^=∑nan∣n⟩ ⁣⟨n∣:

1 · O que pode sair

Só os autovalores an. Nada entre eles. É a origem da quantização: o espectro do operador é o cardápio de resultados possíveis.

2 · Com que chance

P(an)=∣⟨n|ψ⟩∣2. A regra de Born. Amplitude complexa → módulo quadrado → probabilidade real.

3 · O que sobra depois

∣ψ⟩→∣n⟩ — o colapso. Medir de novo imediatamente dá o mesmo resultado com certeza.

O valor médio ⟨A⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩

Essa é a fórmula mais usada da física quântica prática, e ela não é um postulado extra — deriva da regra de Born em três linhas. Basta inserir a decomposição espectral:

O último termo é literalmente a definição de média estatística: cada resultado vezes sua probabilidade. Ou seja, ⟨ψ|A^|ψ⟩ é a média de infinitas medidas repetidas sobre cópias identicamente preparadas do estado — não o resultado de uma medida individual.

⟨A^⟩ pode ser um valor que nunca ocorre. Meça σz no estado ∣+⟩=12(∣0⟩+∣1⟩): os resultados são sempre +1 ou −1, nunca 0. Mas ⟨σz⟩=0. Média não é resultado típico.

E a dispersão em torno da média — a "incerteza" propriamente dita:

Quando ΔA=0, o estado é autoestado de A^ e a medida é determinística. Esse é o critério exato de "a grandeza tem valor definido".

Cada clique sorteia um resultado ±1 com as probabilidades de Born do estado atual. A média empírica converge para a linha âmbar com erro típico ΔA/N — a raiz de N clássica. Experimento sugerido: ponha θ = 90°, φ = 0° (estado ∣+⟩) e meça σx: você obtém +1 sempre, porque ∣+⟩ é autoestado de σx. Agora meça σz no mesmo estado: 50/50 puro. O mesmo estado é determinístico para uma pergunta e máximo aleatório para outra.

O simulador mede σz, σx ou σy num estado de ângulos (θ,φ) e afirma que a média empírica converge para ⟨A⟩ com erro típico ΔA/N. Derivamos as probabilidades para um eixo n^ qualquer, o valor médio, a dispersão e o erro estatístico. O estado é ∣ψ⟩ com vetor de Bloch r=⟨σ⟩ (esfera de Bloch).

O observável e seus projetores Para um eixo unitário n^ defina σn=n^⋅σ. Pela álgebra de Pauli, σn2=∑ijninjσiσj=∑ini2 1=1 (os termos cruzados se cancelam por {σi,σj}=2δij). Logo os autovalores são ±1 e os projetores nos autoestados são P^±=12(1±σn),P^++P^−=1,P^+−P^−=σn.

Probabilidades de Born Pela regra de Born, P±=⟨ψ|P^±|ψ⟩=12(1±⟨σn⟩), e por linearidade ⟨σn⟩=n^⋅⟨σ⟩=r⋅n^=cos⁡γ, sendo γ o ângulo entre o vetor de Bloch e o eixo: P±=1±cos⁡γ2={cos⁡2(γ/2)sin⁡2(γ/2). É a lei de Malus do spin: a probabilidade é o quadrado do cosseno do meio ângulo.

Valor médio e dispersão Valor médio: ⟨σn⟩=(+1)P++(−1)P−=cos⁡γ (a mesma coisa pelo outro caminho, ∑nanP(an)). Como σn2=1, ⟨σn2⟩=1 sempre e (Δσn)2=1−cos⁡2γ=sin⁡2γ. Casos-limite: γ=0 (estado é autoestado de σn) dá Δ=0, resultado determinístico; γ=90∘ dá P±=12, ⟨σn⟩=0 e Δ=1, o máximo. O mesmo estado é certo para uma pergunta e aleatório para outra.

O erro estatístico de N medidas Cada medida é uma variável aleatória sk=±1, independente das outras (cópias idênticas do estado), com média ⟨A⟩ e variância (ΔA)2. A média empírica sˉ=1N∑ksk tem E[sˉ]=⟨A⟩,Var[sˉ]=1N2∑kVar[sk]=(ΔA)2N ⟹ δsˉ=ΔAN. Pelo teorema central do limite, sˉ cai a menos de ΔA/N de ⟨A⟩ em cerca de 68% dos experimentos.

Números: θ=70∘, φ=30∘ O vetor de Bloch é r=(sin⁡70∘cos⁡30∘, sin⁡70∘sin⁡30∘, cos⁡70∘)=(0,8138; 0,4698; 0,3420), de módulo 1. Então: σz: ⟨σz⟩=0,3420, P+=0,6710, Δ=0,9397;σx: ⟨σx⟩=0,8138, P+=0,9069, Δ=0,5812. Com N=1000 medidas de σz, o erro típico é 0,9397/1000=0,0297: a média empírica fica em 0,342±0,030. Dividir o erro por 10 custa 100 vezes mais medidas.

Resultado. Para σn=n^⋅σ: P±=12(1±r⋅n^), ⟨σn⟩=r⋅n^, Δσn=1−(r⋅n^)2, e o erro de N medidas é Δσn/N. Os três valores médios (0,8138; 0,4698; 0,3420) têm soma de quadrados 1.