Partículas idênticas e spin–estatística

Todos os elétrons são idênticos. A consequência não é só filosófica: obriga a função de onda a ter uma simetria definida sob troca, e esta simetria decide a tabela periódica, a estabilidade da matéria, o magnetismo e o laser. Em primeira quantização o postulado é imposto à mão; que ele esteja ligado ao spin é um teorema de teoria quântica de campos relativística.

Se você tem duas bolas de bilhar e as troca de lugar, o jogo é diferente, mesmo que pareçam iguais: dá para rotular uma. Com dois elétrons, rotular é impossível em princípio, e a mecânica quântica exige que o estado não mude (a menos de um sinal) quando se troca um pelo outro. Ou o sinal é + (bósons: gostam de ficar juntos, como os fótons de um laser) ou − (férmions: nunca dois no mesmo estado, como os elétrons de um átomo, e daí vêm as camadas, a química e o fato de você não atravessar a cadeira). Não é uma força: é aritmética de amplitudes.

Simetrização, buraco de Pauli, bunching e o determinante de Slater

Em primeira quantização, N partículas idênticas vivem em H⊗N. “Idênticas” significa que nenhuma medida distingue a partícula 1 da 2. Isto limita os estados e implica efeitos de interferência sem análogo clássico, mesmo sem interação.

Postulado de simetrização O operador de troca P^12 (permuta os rótulos 1 e 2) satisfaz P^122=1; seus autovalores são ±1. Indistinguibilidade: P^12 comuta com todo observável A^ (P^A^P^−1=A^), e com H^. Logo o estado fica num autoespaço de P^12, por todas as permutações: ou simétrico (bósons) ou antissimétrico (férmions). Para dois estados ortonormais a≠b: ∣ab⟩±=12(∣a⟩∣b⟩±∣b⟩∣a⟩)=±∣ba⟩±,∣aa⟩−=0. (Em dimensão ≥3 existiriam, em princípio, representações de SN de ordem maior, o “parabose/parafermi”, sem ocorrência na natureza; em 2D surgem os ânions, ver a observação no fim da seção.)

Buraco de Pauli e “bunching” A densidade de probabilidade de achar uma partícula em x1 e outra em x2 é ∣ψ±∣2=12[∣φa(x1)∣2∣φb(x2)∣2+∣φb(x1)∣2∣φa(x2)∣2±2 Re (φa∗(x1)φb∗(x2)φb(x1)φa(x2))]. O último termo é de interferência de troca. Para x1=x2=x ele vale ±2∣φa(x)∣2∣φb(x)∣2, logo ∣ψ+(x,x)∣2=2∣φa∣2∣φb∣2 (boˊsons),∣ψ−(x,x)∣2=0 (feˊrmions), contra ∣φa∣2∣φb∣2 para partículas distinguíveis. Férmions (de mesmo spin) nunca se encontram: o buraco de Pauli (ou de troca); bósons tendem a se aglomerar com fator 2 no contato, o análogo de partículas do efeito Hanbury Brown–Twiss e do “bunching” de fótons. Não há força alguma, só estatística de amplitudes.

N férmions: o determinante de Slater A combinação antissimétrica normalizada de N orbitais ortonormais φ1,…,φN é Ψ−(x1,…,xN)=1N!∣φ1(x1)⋯φ1(xN)⋮⋮φN(x1)⋯φN(xN)∣=1N!∑σ∈SNsgn(σ)∏kφσ(k)(xk). Duas linhas iguais (φi=φj) ⇒det⁡=0: exclusão de Pauli, nenhum estado com dois férmions no mesmo orbital. Duas colunas iguais (xi=xj, contando spin) ⇒det⁡=0: o buraco de Pauli. Para bósons, det⁡→perm (sem sinais), e orbitais repetidos são permitidos, com normalização 1/N!∏ini! para ocupações ni. A energia de N férmions livres numa caixa é a soma dos N níveis mais baixos, e a “pressão de degenerescência” sustenta anãs brancas e estrelas de nêutrons.

Enhancement bosônico Considere dois bósons: um em a, outro em b, ∣ψi⟩=12(∣ab⟩+∣ba⟩). O operador de “transição” de uma partícula b→a, T^=∑i∣a⟩ ⁣⟨b∣i, leva ∣ab⟩→∣aa⟩ (via i=2) e ∣ba⟩→∣aa⟩ (via i=1): T^∣ψi⟩=12(∣aa⟩+∣aa⟩)=2 ∣aa⟩, amplitude 2 (probabilidade 2) contra 1 se a estivesse vazio: o fator n+1 com n=1 bóson já em a. Com n bósons em a, n+1, exatamente a^a†∣n⟩=n+1∣n+1⟩ em segunda quantização (Quantização canônica): é a estatística de Bose que torna possíveis o laser (emissão estimulada, com n+1 do bloco da regra de ouro em Perturbação dependente do tempo) e o condensado de Bose–Einstein. Para férmions, a^†∣1⟩=0: bloqueio de Pauli.

Estatística e a escolha da simetria Não existe uma prova dentro da mecânica quântica não relativística de que partículas de spin semi-inteiro são férmions; é um postulado em H⊗N. A ligação é o teorema spin-estatística, que pertence à teoria quântica de campos relativística (próximo bloco).

Resultado. Bósons: estados simétricos, ∣ψ(x,x)∣2 dobra, amplitude n+1. Férmions: determinante de Slater, buraco de Pauli, exclusão. Os dois são consequências de P^12 comutar com todos os observáveis.

A troca e o hélio: o spin decide a energia sem aparecer no hamiltoniano

A repulsão elétron-elétron do hélio não depende do spin. Mesmo assim, o estado 1s2s de spin 1 (tripleto) é 0,8 eV abaixo do de spin 0 (singleto). A diferença vem da integral de troca K, uma contribuição de Coulomb que só existe porque os elétrons são idênticos.

Dois elétrons num átomo, H^=h^(1)+h^(2)+V^12, com h^=p22m−Ze24πε0r e V^12=e24πε0r12. A repulsão elétron-elétron não depende do spin e, mesmo assim, o spin decide a energia. Aproximação: tratar V^12 em teoria de perturbação de primeira ordem, a partir de orbitais ortonormais φa≠φb (por exemplo 1s e 2s), com energias εa,εb.

Funções de onda totais O estado total deve ser antissimétrico na troca 1↔2 (coordenadas e spin juntos). Como H^ não age no spin, a parte de spin é singleto (S=0, antissimétrico) ou tripleto (S=1, simétrico), e a parte espacial deve ter a simetria oposta: ΨS=ψ+(r1,r2) χsingleto,ψ±=12[φa(1)φb(2)±φb(1)φa(2)];ΨT=ψ− χtripleto. (ψ+ simétrica ↔ singleto; ψ− antissimétrica ↔ tripleto.) Normalização: ⟨ψ±|ψ±⟩=12(1+1±0±0)=1, pois ⟨φa|φb⟩=0.

Energia a primeira ordem h^(1)+h^(2) dá εa+εb em ambos. Para a repulsão, expandindo o quadrado e usando a simetria de V^12 sob 1↔2: ⟨ψ±|V^12|ψ±⟩=12[⟨ab|V|ab⟩+⟨ba|V|ba⟩]±12[⟨ab|V|ba⟩+⟨ba|V|ab⟩]=J±K, J=∬∣φa(r1)∣2 e24πε0r12 ∣φb(r2)∣2 d3r1d3r2,K=∬φa∗(1)φb∗(2) e24πε0r12 φb(1)φa(2) d3r1d3r2. J é a energia eletrostática clássica entre duas nuvens de carga (integral de Coulomb); K é a integral de troca, sem análogo clássico: mistura “elétron 1 em a” com “elétron 1 em b”.

K>0 e o sinal da diferença Com a densidade de troca ρab(r)=φa∗(r)φb(r), K=∬ρab(r1)∗ e24πε0r12 ρab(r2) é a “autoenergia coulombiana” de uma distribuição de carga complexa; como o núcleo 1/r12 é definido positivo (sua transformada de Fourier é 4π/q2>0), K≥0. Portanto Esingleto=εa+εb+J+K > Etripleto=εa+εb+J−K,ΔE=2K. O tripleto, com função espacial antissimétrica ψ−→0 quando r1=r2, tem um “buraco de troca” em torno de cada elétron: os elétrons se evitam, a repulsão média cai. É a regra de Hund no menor sistema possível. No He, para 1s2s: 2 3S em 19,82 eV e 2 1S em 20,62 eV acima do fundamental, 2K≈0,8 eV, três ordens de grandeza maior que qualquer interação magnética spin-spin do tipo μB2/r3.

Um hamiltoniano de spin efetivo S1⋅S2=12(S2−32ℏ2) vale −34ℏ2 no singleto e +14ℏ2 no tripleto. Então a energia dos dois casos é a de H^eff=εa+εb+J−K2−2Kℏ2 S^1⋅S^2: singleto →J−K2+32K=J+K, tripleto →J−K2−K2=J−K ✓. Este é o acoplamento de Heisenberg, − J S1⋅S2 com J=2K/ℏ2. A origem do ferromagnetismo é eletrostática (Coulomb mais Pauli) e não a interação entre momentos magnéticos.

O que mudou em relação ao caso distinguível Se os dois elétrons fossem distinguíveis, φa(1)φb(2) sozinha daria εa+εb+J, sem K. A degenerescência de troca (φa(1)φb(2) e φb(1)φa(2) têm a mesma energia) é levantada pelo termo de troca: o par de estados degenerados vira ψ± com J±K. Esta é teoria de perturbação degenerada em ação (ver Perturbação estacionária): a base boa é a das combinações ψ±, que são as autofunções da permutação.

Resultado. E±=εa+εb+J±K com K>0: o tripleto fica abaixo do singleto por 2K, e H^eff=const−2K S1 ⁣⋅ ⁣S2/ℏ2.

O teorema spin-estatística e o que ele pressupõe

Em mecânica quântica não relativística, a ligação entre spin e estatística é um fato empírico: spins semi-inteiros são férmions, inteiros são bósons. Pauli (1940) a demonstrou em teoria quântica de campos relativística; a demonstração moderna (Lüders–Zumino, Burgoyne, Jost) usa só os axiomas abaixo.

O mecanismo se vê já nos campos livres. Para o escalar complexo, ϕ=∫d3k(2π)32Ek(ake−ikx+bk†eikx), o comutador [ϕ(x),ϕ†(y)]=Δ(+)(x−y)−Δ(+)(y−x) se anula em separação tipo-espaço (as duas funções de Wightman são iguais e se cancelam), enquanto o anticomutador, Δ(+)(x−y)+Δ(+)(y−x), é a função de Hadamard, que não se anula (∼e−m∣x−y∣). Logo: escalar ⇒ comutador. Para o campo de Dirac, H=∑Ek(ak†ak−bkbk†): com anticomutadores, b b†=1−b†b e o termo vira +Ekb†b (antipartículas de energia positiva); com comutadores, b b†=1+b†b e o termo vira −Ekb†b, de modo que a energia não tem limite inferior. Logo: spinor ⇒ anticomutador. O desenvolvimento completo está em Quantização canônica: criação e aniquilação e Os campos do Modelo Padrão, onde cada campo tem seu tipo de estatística fixado por seu spin.