Fase geométrica: Aharonov-Bohm e Berry

Existe um experimento em que um elétron passa por uma região onde não há campo magnético nenhum — e mesmo assim o campo magnético que está em outro lugar, trancado dentro de uma bobina que o elétron nunca toca, muda o resultado da medida. Isso parece ação a distância, e incomodou muita gente em 1959.

A explicação é que a onda quântica guarda uma espécie de memória do trajeto: ao dar a volta, ela acumula um "giro" que depende só de quanto a bobina cerca, não de onde a onda passou. É a mesma ideia do pêndulo de Foucault, que gira sozinho porque a Terra é curva. Esta seção mostra que fenômenos assim têm todos a mesma forma.

Na eletrodinâmica clássica existe uma hierarquia clara: os campos E e B são reais, e os potenciais A,φ são conveniência de cálculo — tanto que se pode trocá-los livremente por

sem mudar E e B, e portanto sem mudar força nenhuma. A conclusão parecia óbvia: o potencial não é observável. Em 1959 Yakir Aharonov e David Bohm mostraram que isso é falso.

A tentação é dizer "então o potencial A é que é real". Mas A não é único — muda com a escolha de calibre. O que a fase mede é a integral fechada:

e essa é invariante de calibre, porque ∮∇χ⋅dl=0 num circuito fechado. Ou seja: nem o campo local nem o potencial local são a resposta certa. A grandeza física é o fluxo cercado pelo circuito.

Isso é uma afirmação sobre topologia, não sobre forças. A região por onde o elétron anda é um plano com um buraco, e o que importa é quantas vezes o caminho dá a volta no buraco. Dois caminhos que dão o mesmo número de voltas produzem a mesma fase, por mais diferentes que sejam.

A intensidade na tela é I∝cos⁡2 ⁣[(δ(y)+Δφ)/2], com δ a diferença de caminho geométrica e Δφ=2πΦ/Φ0 a fase de Aharonov-Bohm. A curva cinza é a figura com Φ=0, para comparação.

Leve o fluxo até Φ=Φ0 e olhe: a figura voltou a ser exatamente a de Φ=0. Depois até 2Φ0, de novo idêntica. A observável não é o fluxo, é o fluxo módulo o quantum — e em Φ=Φ0/2 a figura fica em oposição de fase, com máximo onde antes havia mínimo. Repare também no que não muda: a envoltória e a posição do centro geométrico. Não há força empurrando o elétron para lado nenhum; o que se desloca é a fase.

Berry: a mesma coisa, sem eletromagnetismo

Em 1984 Michael Berry mostrou que Aharonov-Bohm é caso particular de algo bem mais geral, que não precisa de carga nem de campo. Tome um Hamiltoniano que depende de parâmetros externos R — a direção de um campo aplicado, por exemplo — e varie esses parâmetros devagar, ao longo de um circuito fechado no espaço de parâmetros.

O teorema adiabático garante que o sistema permanece no mesmo autoestado. Mas ao voltar ao ponto de partida ele não volta idêntico: ganhou uma fase, e ela se parte em duas.

O segundo fator é a fase dinâmica de sempre, que depende de quanto tempo se levou. O primeiro é a fase geométrica γ, e ela não depende do tempo — só do caminho percorrido no espaço de parâmetros. Ande mais devagar e ela é a mesma.

Escrevendo ∣n(R)⟩ para o autoestado instantâneo, a fase geométrica é a circulação de um objeto que tem exatamente a forma de um potencial-vetor:

A conexão de Berry A muda se você redefinir a fase de ∣n⟩ ponto a ponto — é uma transformação de calibre. Mas sua circulação fechada não muda, e o rotacional dela, a curvatura de Berry F=∇×A, é invariante.

Para um spin-12 num campo de direção n^, a curvatura é a de um monopolo magnético de carga −12 sentado na origem do espaço de parâmetros — que é o ponto B=0, onde os dois níveis se cruzam. Aí a fase geométrica vira metade do ângulo sólido cercado, com sinal: γ=−Ω/2. O monopolo não está no espaço físico: está no espaço dos parâmetros, e é a degenerescência que o cria.

Um spin-12 num campo magnético cuja direção percorre um cone de semiângulo θ0. O estado é evoluído passo a passo com o U^ exato de cada instante — nenhuma fórmula de fase geométrica é usada. No fim, subtraímos a fase dinâmica e vemos o que sobra.

Aumente a adiabaticidade e acompanhe o erro: ele cai proporcionalmente a 1/ω0T — de 5×10−2 em ω0T=200 para 1,5×10−3 em 6400. A fase geométrica não é uma aproximação que melhora; ela é exata no limite adiabático, e o que melhora é o quanto o estado consegue acompanhar. E note o que ela não é: não depende de quanto tempo você levou, nem da intensidade do campo. Só da área varrida na esfera.

Um pêndulo no polo Norte oscila num plano fixo enquanto a Terra gira embaixo dele — em 24 h o plano dá uma volta completa. Em São Paulo, a 23,5° de latitude, ele gira menos, e num ponto do equador não gira nada. O ângulo por dia é −2πsin⁡(latitude), que é exatamente o ângulo sólido cercado pelo paralelo naquela latitude.

É a mesma conta do Lab 15, e a mesma conta do widget de holonomia da seção Tétradas e conexão de spin. Três problemas sem parentesco aparente — um spin quântico, um pêndulo mecânico, um vetor transportado numa esfera — governados por uma única equação, porque os três são transporte paralelo ao longo de um circuito fechado numa superfície curva. A fase de Berry é a holonomia de uma conexão; o pêndulo de Foucault é a holonomia da conexão de Levi-Civita na esfera terrestre.

O padrão comum: sempre que uma grandeza medida sai exata em vez de aproximada, desconfie de uma fase geométrica. Quantidades topológicas não se importam com detalhes sujos do material — é por isso que o quantum Hall virou padrão de resistência.

O texto cita as duas fases geométricas e afirma Δφ=2πΦ/Φ0 e γ=−Ω/2. Derivamos as duas: a primeira de H^=(p^−qA)2/2m numa região sem campo, a segunda do teorema adiabático para um spin-12 cujo campo percorre um cone de semiângulo θ0. Convenções do texto: ℏ explícito, carga q, estado de spin ∣+n^⟩ alinhado ao campo.

Aharonov–Bohm: o potencial entra como uma fase Onde B=∇×A=0 (região por onde o elétron passa), A=∇S localmente, com S(r)=∫rA⋅dl ao longo de um caminho. Se ψ0 resolve a equação livre, então ψ=eiqS/ℏψ0 resolve a equação com A, pois (p^−qA) eiqS/ℏψ0=eiqS/ℏ(p^+q∇S−qA)ψ0=eiqS/ℏ p^ ψ0. Em cada caminho a onda carrega a fase extra qℏ∫CiA⋅dl.

A diferença de fase depende só do fluxo Dois caminhos C1,C2 dos dois lados do solenoide, do mesmo ponto inicial ao mesmo ponto na tela. A diferença de fase é a circulação fechada C1−C2, e pelo teorema de Stokes é o fluxo cercado: ΔφAB=qℏ∮A⋅dl=qℏ∬B⋅dS=qΦℏ=2π ΦΦ0,Φ0=hq. Invariante de calibre (∮∇χ⋅dl=0) e periódica em Φ0. Números: Φ0=h/e=4,136×10−15 Wb para elétrons e h/2e=2,068×10−15 Wb para pares de Cooper (SQUID).

Berry: a fase que sobra no seguimento adiabático Seja H^(R)∣n(R)⟩=En(R)∣n(R)⟩, com R(t) variando devagar. O teorema adiabático mantém o sistema em ∣n⟩. Escreva ∣ψ(t)⟩=eiγ(t)e−iℏ∫tEndt′∣n(R(t))⟩ e substitua em iℏ∂t∣ψ⟩=H^∣ψ⟩. Os termos com En se cancelam e sobra, projetando em ⟨n∣: −ℏγ˙+iℏ⟨n|∂tn⟩=0 ⟹ γ=∮CA⋅dR,A=i⟨n|∇Rn⟩. A é real, porque ⟨n|n⟩=1 implica que ⟨n|∇n⟩ é imaginário puro. Redefinir a fase ∣n⟩→eiχ(R)∣n⟩ muda A→A−∇χ, mas não a circulação fechada (módulo 2π): o mesmo papel do calibre em AB, com q/ℏ trocado por 1.

O spin-12 alinhado ao campo Para H^=ℏω02 n^⋅σ, com n^ a direção do campo, o autoestado com n^⋅σ=+1 é ∣n⟩=(cos⁡θ2eiφsin⁡θ2)(esfera de Bloch), onde θ,φ são os ângulos do campo no espaço de parâmetros. Só ∂φ é não nulo ao longo de um cone: ∂φ∣n⟩=(0, ieiφsin⁡θ2) ⁣⊤.

A conexão e o cone Então Aφ=i⟨n|∂φn⟩=i⋅isin⁡2θ2=−sin⁡2θ2. Num circuito a θ=θ0 constante, de φ=0 a 2π: γ=∫02πAφ dφ=−2πsin⁡2θ02=−π (1−cos⁡θ0).

Metade do ângulo sólido O ângulo sólido da calota cercada pelo cone é Ω=∫02π ⁣ ⁣∫0θ0sin⁡θ dθ dφ=2π(1−cos⁡θ0). Logo γ=−Ω2. (Para o estado anti-alinhado, ∣−n^⟩, o sinal troca: +Ω/2. Equivalente à curvatura de um monopolo de carga −12 na origem do espaço de parâmetros.)

Conferência numérica Com θ0=60∘: Ω=2π(1−12)=π e γ=−π/2=−1,5708. Discretizando o círculo em N=2000 passos e multiplicando as sobreposições ∏k⟨nk|nk+1⟩ (a fase de Berry independente de calibre é −arg⁡ desse produto), obtém-se −1,570795, igual a −π/2 a 10−6. Em θ0=90∘ (campo no equador) γ=−π: o estado volta com sinal trocado.

Resultado. ΔφAB=qΦ/ℏ=2πΦ/Φ0 (Φ0=h/q); Berry: γ=∮i⟨n|∇n⟩⋅dR, que para o spin-12 vale −Ω/2, exatamente o dado numérico −π/2 em θ0=60∘.