Simetrias em mecânica quântica

Em Momento angular e spin a álgebra das rotações foi usada como ferramenta; aqui está o que está por trás: o que é uma simetria quando estados são raios num espaço de Hilbert, por que os geradores são observáveis e por que a mecânica quântica de rotações precisa do recobrimento duplo SU(2). O teorema de Noether de Simetrias e leis de conservação é a versão de campos; aqui só o que vale para um número fixo de partículas.

Simetria é fazer algo ao sistema sem mudar as probabilidades dos resultados: girar o laboratório, esperar um pouco, trocar o lado esquerdo pelo direito. A mecânica quântica diz que toda simetria é uma transformação “rígida” do espaço de estados (um unitário, ou, no caso de inverter o tempo, um antiunitário). Se a simetria é contínua, ela é uma exponencial de um observável: girar é e−iθJ/ℏ, esperar é e−iHt/ℏ. E se o hamiltoniano não muda com a simetria, o observável não muda no tempo: é uma lei de conservação. Há uma estranheza: para elétrons, uma volta completa troca o sinal do estado, e só duas voltas o devolvem ao original.

Wigner, Stone e a conservação

O que é uma simetria na mecânica quântica? Uma transformação que preserva todas as probabilidades de transição. De uma exigência tão fraca sai a estrutura inteira: operadores unitários (ou antiunitários), geradores hermitianos e leis de conservação. A versão de campos é o teorema de Noether (Simetrias e leis de conservação); aqui só o que já vale para uma partícula.

A definição Estados físicos são raios [ψ]={eiχ∣ψ⟩} (fase global é invisível). Uma simetria é uma bijeção S entre raios com ∣⟨ϕ′|ψ′⟩∣=∣⟨ϕ|ψ⟩∣ para todos os ϕ,ψ, onde [ψ′]=S[ψ]. Só as probabilidades de Born são exigidas.

Teorema de Wigner (1931) Toda simetria é implementada por um operador U^ unitário (U^(a∣ψ⟩+b∣ϕ⟩)=aU^∣ψ⟩+bU^∣ϕ⟩, U^†U^=1) ou antiunitário (Θ^(a∣ψ⟩+b∣ϕ⟩)=a∗Θ^∣ψ⟩+b∗Θ^∣ϕ⟩, ⟨Θϕ|Θψ⟩=⟨ϕ|ψ⟩∗), único a menos de fase. Esboço da prova (dim⁡≥2): (i) S leva uma base ortonormal {ek} em outra {fk}, pois ∣⟨ej|ek⟩∣=0 é preservado; (ii) ψ=∑ckek vai para ∑ck′fk com ∣ck′∣=∣ck∣ (preservar ∣⟨ek|ψ⟩∣); (iii) preservar ∣⟨e1+ek|ψ⟩∣ para cada k fixa a fase relativa de ck′/c1′ em função de ck/c1: ou ck′=ck para todos, ou ck′=ck∗ para todos (as duas soluções da equação ∣1+z∣=∣1+z′∣, ∣z∣=∣z′∣, são z′=z e z′=z∗). O restante é consistência entre vetores.

Transformações contínuas são unitárias Se as simetrias formam um grupo a um parâmetro, U^(s)=U^(s/2)2. O quadrado de um antiunitário é unitário (as duas conjugações se cancelam), e o de um unitário também; logo todo U^(s) é unitário. Um antiunitário nunca é deformável continuamente até 1. Os antiunitários são as simetrias discretas: reversão temporal (T), e, em TQC, CPT (Simetrias discretas C, P e T).

Gerador: teorema de Stone Seja U^(s) um grupo a um parâmetro, U^(s1)U^(s2)=U^(s1+s2) (as fases projetivas, se houver, são removíveis neste caso, ver o bloco de SU(2)). Perto da identidade, U^(ϵ)=1−iϵℏG^+O(ϵ2). Unitariedade, U^†U^=1+iϵℏ(G^†−G^)+…, exige G^†=G^. Compondo N vezes com ϵ=s/N, N→∞: U^(s)=lim⁡N→∞(1−isNℏG^)N=e−isG^/ℏ. O teorema de Stone (1932) é a recíproca rigorosa em dimensão infinita: todo grupo unitário fortemente contínuo a um parâmetro é e−isG^/ℏ com G^ autoadjunto (a distinção entre hermitiano e autoadjunto importa, e é o que fixa o domínio de p^ no intervalo). G^ é o observável associado: H^ (tempo), p^ (translação), J^ (rotação), Q^ (fase U(1)).

Conservação ⇔[H^,G^]=0 A simetria é de H^ se U^(s)†H^U^(s)=H^ para todo s. Derivando em s=0: iℏ[G^,H^]=0. Recíproca: se [G^,H^]=0, a série de e−isG^/ℏ comuta com H^. Na pintura de Heisenberg, G^˙=iℏ[H^,G^]=0: ⟨G⟩ e toda a distribuição de G^ são constantes. Esta é a versão quântica de Noether (um teorema dois em um: transformação ⇔ gerador conservado).

Degenerescências e multipletos Se há dois geradores G^1,G^2 que comutam com H^ mas não entre si (grupo não abeliano), tome um autoestado ∣E,g1⟩ de H^ e G^1. Então G^2∣E,g1⟩ tem a mesma energia (H^G^2=G^2H^) e não é autoestado de G^1 com o mesmo g1, pois G^1G^2≠G^2G^1. Logo o nível é degenerado, e os estados degenerados formam uma representação irredutível do grupo. Exemplos: 2ℓ+1 para a rotação (Momento angular e spin), n2 para SO(4) no hidrogênio (O átomo de hidrogênio).

Resultado. Simetria ⇒ U^ unitário (contínua) ou antiunitário (discreta); U^=e−isG^/ℏ com G^ autoadjunto; [H^,G^]=0⇔ G^ conservado. Não abeliano ⇒ multipletos degenerados.

Por que SU(2) e não SO(3)

Estados são raios, então uma simetria só precisa ser representada até uma fase. Para rotações essa liberdade tem conteúdo físico: a fase pode ser −1, e as representações projetivas de SO(3) são as ordinárias do seu recobrimento duplo SU(2). O spin 12 é isso.

Como estados são raios, uma simetria só precisa ser um grupo até fase: U^(g1)U^(g2)=eiξ(g1,g2)U^(g1g2). Isto permite representações que o próprio grupo não tem. Para rotações, o ganho é o spin semi-inteiro.

A fase que não some Localmente (perto da identidade) as fases ξ podem ser absorvidas redefinindo U^(g)→eiχ(g)U^(g); no nível da álgebra, so(3) não admite extensão central não trivial: uma constante cij somada a [Ji,Jj]=iℏϵijkJk é absorvida por Jk→Jk+ck (cohomologia H2(so(3),R)=0). Globalmente resta uma ambiguidade discreta ligada a π1(SO(3))=Z2: um laço de rotações que não pode ser contraído, a rotação por 2π. Logo as representações projetivas de SO(3) são as representações ordinárias do recobrimento universal SU(2).

A rotação de 2π Pelo teorema de Stone, U^(n^,θ)=e−iθ n^⋅J^/ℏ. Para um multipleto de spin j, em n^=z^ e θ=2π, cada ∣j,m⟩ ganha e−2πim: U^(z^,2π)=(−1)2j 1. Para j inteiro, +1: representação do próprio SO(3). Para j semi-inteiro, −1: só de SU(2). Uma rotação de 2π é a identidade geometricamente e é −1 no spinor. Isto não é um sinal inofensivo sempre: na interferometria de nêutrons (Werner et al., 1975; Rauch et al., 1975) um dos braços gira o spin por 2π e as franjas se deslocam por π, um efeito medido, que é o conteúdo físico do “mastro de Penrose” de Espaço de Hilbert.

O homomorfismo SU(2)→SO(3) Dado U∈SU(2), U (a⋅σ) U† é de novo hermitiano, de traço nulo e com o mesmo determinante −∣a∣2, logo igual a (Ra)⋅σ com R real, ortogonal e (por conexidade) de determinante +1, isto é, R∈SO(3). Explicitamente Rij=12Tr(σiUσjU†). Para U=e−iθσz/2: UσxU†=σx eiθσz=σx(cos⁡θ+iσzsin⁡θ)=cos⁡θ σx+sin⁡θ σy, pois σxσz=−iσy. Analogamente UσyU†=−sin⁡θ σx+cos⁡θ σy: é uma rotação de ângulo θ em torno de z. Como U tem o meio-ângulo θ/2, θ→θ+2π dá R igual e U→−U: o núcleo do homomorfismo é {±1}, o recobrimento é duplo.

A classificação As representações irredutíveis de SU(2) são as de dimensão 2j+1, j=0,12,1,… (Momento angular e spin). As de j inteiro são fiéis em SO(3) e aparecem como momento angular orbital, porque exigir ψ(r,θ,ϕ+2π)=ψ (função de onda unívoca) corta os semi-inteiros: ℓ é inteiro. O spin, não ligado a uma função no espaço, não tem essa exigência.

Superseleção Uma superposição c1∣j inteiro⟩+c2∣j′ semi-inteiro⟩ mudaria de c1∣⋅⟩+c2∣⋅⟩ para c1∣⋅⟩−c2∣⋅⟩ sob uma rotação de 2π: um estado fisicamente diferente (fase relativa distinta) obtido por uma operação geometricamente trivial. A regra de superseleção de Wick–Wightman–Wigner proíbe estas superposições (equivalentemente: (−1)F é uma carga conservada, com F o número de férmions, e (−1)F=e2πiJz/ℏ). É a mesma estrutura que reaparece em TQC, onde o par ψ→−ψ é a rotação de 2π, e no teorema spin-estatística (Partículas idênticas).

Resultado. U^(z^,2π)=(−1)2j: os spins semi-inteiros são representações projetivas de SO(3), ordinárias de SU(2); SU(2)→SO(3) é um homomorfismo 2 para 1 com núcleo {±1}. O sinal −1 é invisível num estado isolado e visível em interferência.

Paridade e regras de seleção

O operador de paridade Π^ (Π^x Π^−1=−x, Π^p Π^−1=−p, Π^J Π^−1=+J: um vetor axial) é unitário e Π^2=1, então seus autovalores são ±1. Para estados ∣nℓm⟩ do hidrogênio, π=(−1)ℓ (porque Yℓm(−r^)=(−1)ℓYℓm(r^)). Daí a regra de Laporte: como o operador de dipolo é ímpar, Π^ x Π^−1=−x,

Reversão temporal: antiunitária, Θ2=±1 e degenerescência de Kramers