Matriz densidade, decoerência e emaranhamento

Um vetor de estado só descreve conhecimento máximo. Subsistemas de estados emaranhados, feixes imperfeitos e sistemas em equilíbrio térmico exigem o operador densidade ρ^. Esta seção o constrói, mostra o que acontece a um qubit quando um ambiente o toca (decoerência), e dá o que é preciso para entender Emaranhamento e computação quântica quantitativamente: a entropia de emaranhamento e a diferença entre correlação clássica e quântica.

Um qubit no estado ∣0⟩ ou ∣1⟩ com chance meio a meio e um qubit em (∣0⟩+∣1⟩)/2 dão o mesmo resultado se você medir em z: cara ou coroa. Mas o segundo é uma superposição, e o primeiro, apenas ignorância sua. Medindo em x o segundo dá sempre “+”, o primeiro continua aleatório. A matriz densidade é a tabela que guarda as duas coisas: na diagonal, as probabilidades; fora da diagonal, a coerência que separa uma superposição de uma ignorância. A decoerência é o apagamento dessa coerência quando o ambiente espia: a bola de Bloch encolhe.

O operador densidade e a bola de Bloch

Se um sistema está em ∣ψk⟩ com probabilidade pk, as previsões de qualquer medida dependem só de ρ^=∑kpk∣ψk⟩ ⁣⟨ψk∣. As propriedades e a representação em bola do qubit:

Um vetor de estado ∣ψ⟩ descreve conhecimento máximo. Na prática há ignorância: um feixe preparado com probabilidade pk no estado ∣ψk⟩, um subsistema de algo maior, um sistema em equilíbrio térmico. Tudo isso cabe num único objeto, e as probabilidades de Born não precisam saber de qual dessas situações veio o operador.

Definição e propriedades Para um conjunto {pk,∣ψk⟩}, ∑pk=1, o valor esperado de A^ é ∑kpk⟨ψk|A^|ψk⟩. Escrevendo ⟨ψ|A|ψ⟩=Tr(∣ψ⟩ ⁣⟨ψ∣A^): ρ^=∑kpk ∣ψk⟩ ⁣⟨ψk∣,⟨A⟩=Tr(ρ^ A^). Propriedades: ρ^†=ρ^; ρ^≥0 (⟨ϕ|ρ|ϕ⟩=∑pk∣⟨ϕ|ψk⟩∣2≥0); Tr ρ^=1. Evolução: de iℏ∂t∣ψk⟩=H^∣ψk⟩ segue ρ^˙=−iℏ[H^,ρ^] (von Neumann). O estado é puro sse ρ^2=ρ^, isto é, sse Tr ρ^2=1; em geral 1/d≤Tr ρ^2≤1.

O qubit: todo ρ^ é uma seta As matrizes {1,σx,σy,σz} formam base das matrizes hermitianas 2×2, com Tr(σiσj)=2δij. Traço 1 fixa o coeficiente de 1: ρ^=12(1+r⋅σ),ri=Tr(ρ^ σi)=⟨σi⟩∈R. O vetor de Bloch r é medido diretamente pelos três valores esperados de Pauli.

Positividade ⇔ ∣r∣≤1 (r⋅σ)2=∣r∣21, então os autovalores de r⋅σ são ±∣r∣ e os de ρ^ são λ±=1±∣r∣2 ≥0 ⟺ ∣r∣≤1. Os estados formam a bola de raio 1 (a esfera de Bloch de Espaço de Hilbert era só a casca: ∣r∣=1, λ−=0, estados puros). O centro é o estado maximamente misto ρ^=1/2.

Pureza e entropia Tr ρ^2=14Tr(1+2r⋅σ+(r⋅σ)2)=12(1+∣r∣2). A entropia de von Neumann S=−Tr ρ^ln⁡ρ^=−∑λln⁡λ é S(r)=ln⁡2−12[(1+r)ln⁡(1+r)+(1−r)ln⁡(1−r)],S(0)=ln⁡2,S(1)=0. Em nats; em bits divide-se por ln⁡2. A entropia é uma medida da ignorância sobre o estado; a pureza, de quão longe do centro está.

Misturas diferentes, mesmo ρ^ 12∣0⟩ ⁣⟨0∣+12∣1⟩ ⁣⟨1∣=12∣+⟩ ⁣⟨+∣+12∣−⟩ ⁣⟨−∣=121. Dois preparos distintos, nenhuma medida possível os distingue, porque as probabilidades de qualquer experimento são Tr(ρ^ E^). Em geral, um ponto no interior da bola é uma combinação convexa de pontos da casca de infinitas maneiras. Portanto “o estado em que o sistema realmente está” não é uma pergunta bem posta para ρ^ misto; esta é a raiz da distinção entre misturas próprias e impróprias (bloco sobre o par de Bell).

O caso térmico No equilíbrio com um banho a T, ρ^=e−βH^/Z, Z=Tr e−βH^, β=1/kBT (é o e−SE de tempo imaginário periódico de Tempo imaginário periódico é temperatura). Para H^=−12ℏωσz (∣0⟩ é o fundamental): ρ^=eβℏωσz/22cosh⁡(βℏω/2) ⟹ r=tanh⁡ ⁣(ℏω2kBT) z^. T=0: polo norte (puro). T→∞: centro. A temperatura é o “comprimento” do vetor de Bloch: o aquecimento percorre o eixo z até o centro.

Resultado. Qubit: ρ^=12(1+r⋅σ), ∣r∣≤1, Tr ρ^2=12(1+r2), S=ln⁡2−12∑±(1±r)ln⁡(1±r). A bola de Bloch é o espaço de estados do qubit, com os puros na casca; o widget abaixo percorre a bola sob um canal de ruído.

Emaranhamento: traço parcial e decomposição de Schmidt

A parte do operador densidade de um par que descreve só A é ρ^A=TrBρ^AB. Para um par de Bell, ρ^A=1/2, com Tr ρ^A2=12 e S=ln⁡2, enquanto o par todo é puro (S=0). A decomposição de Schmidt dá a estrutura geral:

Dois subsistemas, espaço HA⊗HB (Emaranhamento e computação quântica). Pergunta: se só se tem acesso a A, que estado se atribui a A quando o par está em ∣ψ⟩?

O traço parcial é forçado pelas estatísticas locais Observáveis de A têm a forma O^A⊗1B. Exige-se um ρ^A tal que TrA(ρ^AO^A)=TrAB(ρ^AB O^A⊗1) para todo O^A. Tomando uma base {∣b⟩} de B, isto determina ρ^A=TrB ρ^AB=∑b(1⊗⟨b∣) ρ^AB (1⊗∣b⟩).

O par de Bell ∣Φ+⟩=(∣00⟩+∣11⟩)/2. Então ρ^AB=12(∣00⟩ ⁣⟨00∣+∣00⟩ ⁣⟨11∣+∣11⟩ ⁣⟨00∣+∣11⟩ ⁣⟨11∣). Em TrB, um termo ∣a b⟩ ⁣⟨a′ b′∣ contribui com ∣a⟩ ⁣⟨a′∣ δbb′. Os termos cruzados têm b≠b′ e somem: ρ^A=12∣0⟩ ⁣⟨0∣+12∣1⟩ ⁣⟨1∣=121,rA=0,Tr ρ^A2=12,S(ρ^A)=ln⁡2. O par como um todo está num estado puro (SAB=0), mas cada metade é maximamente misturada: o todo é mais ordenado que as partes, algo impossível classicamente, onde SAB≥SA.

Decomposição de Schmidt Um estado geral é ∣ψ⟩=∑abΨab∣a⟩∣b⟩, onde Ψ é uma matriz dA×dB. A decomposição em valores singulares dá Ψ=U Σ V†, com Σ=diag(s1,s2,… ), sk≥0. Definindo ∣uk⟩=∑aUak∣a⟩ e ∣vk⟩=∑bVbk∗∣b⟩ (bases ortonormais): ∣ψ⟩=∑ksk ∣uk⟩∣vk⟩,∑ksk2=1. Os reduzidos são ρ^A=∑ksk2∣uk⟩ ⁣⟨uk∣ e ρ^B=∑ksk2∣vk⟩ ⁣⟨vk∣: o mesmo espectro {sk2} nas duas metades. O número de sk≠0 é o posto de Schmidt; posto 1 ⇔ produto ⇔ ρ^A puro. Unitários locais UA⊗UB só giram as bases, não alteram os sk: os sk são os invariantes do emaranhamento.

Entropia de emaranhamento SE=S(ρ^A)=S(ρ^B)=−∑ksk2ln⁡sk2,0≤SE≤ln⁡min⁡(dA,dB). O mínimo é o estado produto; o máximo ocorre quando todos os sk2=1/d (maximamente emaranhado). Para cos⁡α∣00⟩+sin⁡α∣11⟩ obtém-se SE=−cos⁡2αln⁡cos⁡2α−sin⁡2αln⁡sin⁡2α, crescendo de 0 (α=0) até ln⁡2 (α=π/4). Para estados puros, SE é a medida canônica; para ρ^AB misto não é (próximo passo).

Misturas próprias e impróprias O 121 acima é uma mistura imprópria: surge ao ignorar uma parte de um estado global puro. Uma mistura própria é a de ignorância: jogar uma moeda e preparar ∣0⟩ ou ∣1⟩. As estatísticas locais de A coincidem. A diferença está nas correlações conjuntas: no par de Bell, ⟨σx⊗σx⟩=+1; na mistura clássica 12(∣00⟩ ⁣⟨00∣+∣11⟩ ⁣⟨11∣), que tem os mesmos reduzidos, ⟨σx⊗σx⟩=0. Com coerência parcial v entre ∣00⟩ e ∣11⟩ (e α geral), ⟨σx⊗σx⟩=vsin⁡2α, igual à concorrência: é o controle “coerência do par” do widget. Moral: com ρ^AB misto, S(ρ^A) deixa de medir emaranhamento (a mistura clássica tem S(ρ^A)=ln⁡2 e concorrência zero); usam-se a concorrência, a negatividade ou a entropia relativa de emaranhamento.

Decoerência e o “problema da medida” Quando um sistema S interage com um ambiente E enorme e inacessível, ∣ψ⟩S∣E0⟩→∑ncn∣n⟩S∣En⟩ com ⟨Em|En⟩≈δmn. O reduzido ρ^S=∑∣cn∣2∣n⟩ ⁣⟨n∣ é diagonal na base preferida (os “pointer states”): coerências sumiram do subsistema, sem nenhum colapso. Isto explica por que superposições macroscópicas não são observadas, mas o estado global segue puro e unitário: o que a decoerência não faz é escolher um resultado (o ponto da Medida que continua sendo interpretação).

Resultado. ρ^A=TrBρ^AB; ∣ψ⟩=∑sk∣uk⟩∣vk⟩; SE=−∑sk2ln⁡sk2. O par de Bell tem ρ^A=1/2, Tr ρ^A2=12, SE=ln⁡2 (verificado numericamente no widget, a 10−12).

O widget: bola de Bloch sob um canal de Lindblad, e um par com emaranhamento ajustável

À esquerda, o vetor de Bloch de um qubit que evolui com H=12ℏωσz e um canal de ruído. Desfasagem: a bola é achatada no eixo z, a pureza cai de 1 a 12(1+rz2), a entropia sobe. Amortecimento de amplitude: o vetor desce em espiral para o polo norte ∣0⟩, e a entropia sobe e depois cai (o ponto fixo é puro: o canal é não unital). À direita, o par cos⁡α∣00⟩+sin⁡α∣11⟩ com coerência v: em α=45∘, v=1 lê-se Tr ρ^A2=0,5, S(ρ^A)=ln⁡2, concorrência 1, informação mútua 2ln⁡2; ao baixar v a zero o par vira uma mistura clássica: S(ρ^A) continua ln⁡2 e a concorrência vai a zero.

Esquerda: ρ=12(1+r⋅σ) com H=12ℏωσz e um canal de Lindblad; Tr ρ2=12(1+r2) e S=−Tr ρln⁡ρ em nats. Desfasagem: L=γ/2 σz, coerências ∝e−γt; amortecimento: L=γ ∣0⟩⟨1∣, rz→1 e coerências ∝e−γt/2; despolarizante: r∝e−γt. Direita: ρAB=c2∣00⟩⟨00∣+s2∣11⟩⟨11∣+v cs (∣00⟩⟨11∣+h.c.), c=cos⁡α, s=sin⁡α. Com v=1 o par é puro e S(ρA) mede o emaranhamento; com v=0 restam correlações clássicas e S(ρA) continua igual, embora o emaranhamento seja nulo.