Entropia de von Neumann

Em Matriz densidade, decoerência e emaranhamento o operador densidade ρ^ foi construído, e a entropia apareceu como medida de impureza. Aqui ela é o assunto. A entropia de von Neumann, S(ρ^)=−Tr ρ^ln⁡ρ^, é ao mesmo tempo a entropia termodinâmica do estado de equilíbrio, a quantidade de informação que falta para conhecer o estado puro, e a medida de emaranhamento entre as duas metades de um estado puro. Suas desigualdades dizem o que separa correlação quântica de clássica.

Entropia mede quanto você não sabe. Uma moeda honesta tem 1 bit de entropia: falta uma pergunta de sim ou não para saber o resultado. Um estado quântico puro tem entropia zero: ele é conhecido por completo, mesmo que as medidas deem resultados aleatórios. Uma mistura tem entropia positiva. A surpresa quântica aparece em pares: um par de qubits emaranhados pode ser conhecido por completo (entropia zero) enquanto cada qubit sozinho é totalmente aleatório (1 bit cada). O todo sabe mais do que as partes, coisa que nenhum par de moedas consegue. A entropia de cada metade, nesse caso, é exatamente a quantidade de emaranhamento.

Definição

Com a decomposição espectral ρ^=∑iλi∣i⟩ ⁣⟨i∣, a entropia de von Neumann é a entropia de Shannon dos autovalores. Em nats (logaritmo natural); dividindo por ln⁡2, em bits:

Ponto de partida: ρ^=∑iλi∣i⟩ ⁣⟨i∣ (decomposição espectral), λi≥0, ∑iλi=1. A função de um operador hermitiano age nos autovalores, então S(ρ^)=−Tr ρ^ln⁡ρ^=−∑iλiln⁡λi, com 0ln⁡0=0. Toda propriedade abaixo sai de fatos sobre a função η(x)=−xln⁡x, que é côncava em [0,1] e nula em x=0 e x=1.

Positividade e estados puros Cada λi∈[0,1] dá η(λi)≥0, logo S≥0. A igualdade exige η(λi)=0 para todo i, ou seja, cada λi é 0 ou 1. Com traço 1, só um autovalor vale 1: S(ρ^)=0 ⟺ ρ^=∣ψ⟩ ⁣⟨ψ∣.

Cota superior: a mistura máxima Em dimensão d, a desigualdade de Jensen para o logaritmo (côncavo), com pesos λi sobre os autovalores não nulos, dá S=∑iλiln⁡1λi≤ln⁡(∑iλi1λi)=ln⁡(posto ρ^)≤ln⁡d, com igualdade se e só se todos os λi=1/d, isto é, ρ^=1/d. Um qubit tem no máximo ln⁡2 nats =1 bit.

Invariância unitária: a evolução isolada não muda a entropia Uρ^U† tem os mesmos autovalores que ρ^, logo S(Uρ^U†)=S(ρ^). Como a evolução de Schrödinger de um sistema isolado é ρ^(t)=U(t)ρ^(0)U(t)†, a entropia de von Neumann de um sistema fechado é constante. O aumento de entropia da termodinâmica só aparece para subsistemas (traço parcial) ou depois de uma descrição de grão grosso.

Qubit: só o comprimento do vetor de Bloch importa ρ^=12(1+r⋅σ) tem autovalores 12(1±r), porque (r^⋅σ)2=1 dá autovalores ±1 para r^⋅σ. Então S(r)=−1+r2ln⁡1+r2−1−r2ln⁡1−r2,S(0)=ln⁡2,S(1)=0. A direção de r é a base própria; girar o vetor é um unitário e não altera S.

Concavidade: misturar aumenta a entropia Para ρ^=∑kpkρ^k vale ∑kpkS(ρ^k) ≤ S(∑kpkρ^k) ≤ ∑kpkS(ρ^k)+H({pk}), onde H({pk})=−∑pkln⁡pk é a entropia de Shannon da escolha. A cota inferior é a concavidade (prova: aplique a subaditividade da próxima derivação ao estado ∑kpkρ^k⊗∣k⟩ ⁣⟨k∣); a superior vale com igualdade quando os ρ^k têm suportes ortogonais. Esquecer qual preparação foi feita custa no máximo H({pk}). Exemplo: 12∣0⟩ ⁣⟨0∣+12∣+⟩ ⁣⟨+∣ tem vetor de Bloch (12,0,12), r=1/2 e entropia ≈0,601 bit, menos que 1 bit, porque ∣0⟩ e ∣+⟩ não são ortogonais.

Medir sem ler o resultado não diminui a entropia Uma medida projetiva {P^k} cujo resultado é descartado leva ρ^→ρ^′=∑kP^kρ^P^k. Com projetores de posto 1 na base {∣k⟩}, ρ^′ é diagonal, com pk=⟨k∣ρ^∣k⟩=∑i∣⟨k|i⟩∣2λi. A matriz Dki=∣⟨k|i⟩∣2 é duplamente estocástica (linhas e colunas somam 1), e pela concavidade de η: S(ρ^′)=∑kη(∑iDkiλi)≥∑k∑iDki η(λi)=∑iη(λi)=S(ρ^). A entropia de Shannon da distribuição dos resultados é sempre ≥S, com igualdade quando se mede na base própria. Isso define S operacionalmente: é a menor entropia de Shannon que uma medida projetiva completa pode produzir.

Aditividade para produtos e entropias de Rényi Para ρ^⊗σ^ os autovalores são os produtos λiμj, e ln⁡(λiμj)=ln⁡λi+ln⁡μj dá S(ρ^⊗σ^)=S(ρ^)+S(σ^). A família de Rényi Sα(ρ^)=11−αln⁡Tr ρ^α,lim⁡α→1Sα=S,S2=−ln⁡Tr ρ^2 tem as mesmas propriedades de 1 a 3 e de aditividade. O limite segue de L'Hôpital: ddαln⁡Tr ρ^α∣α=1=Tr ρ^ln⁡ρ^. Sα decresce com α, por isso S2≤S. Em teoria de campos, Tr ρ^An com n inteiro é o que a integral de caminho calcula diretamente (truque das réplicas, no último passo da derivação seguinte).

Resultado. 0≤S≤ln⁡d; S=0 ⟺ puro; S=ln⁡d ⟺ ρ^=1/d; constante sob evolução unitária; côncava; não diminui sob medida projetiva sem leitura; aditiva em produtos. Qubit: S depende só de r=∣r∣.

Partes e todo: as desigualdades

Para um par AB com reduzidos ρ^A, ρ^B, três números, SA, SB e SAB, carregam quase toda a informação sobre a correlação. A entropia relativa S(ρ^∥σ^)≥0 gera todas as desigualdades:

Um sistema composto AB com ρ^AB e reduzidos ρ^A=TrBρ^AB, ρ^B=TrAρ^AB (Matriz densidade). Escreve-se SA=S(ρ^A), SB, SAB. Todas as desigualdades saem de uma só: a entropia relativa é positiva.

Entropia relativa e a desigualdade de Klein Defina S(ρ^∥σ^)=Tr ρ^(ln⁡ρ^−ln⁡σ^). Com ρ^=∑ipi∣i⟩ ⁣⟨i∣, σ^=∑jqj∣j⟩ ⁣⟨j∣ e Pij=∣⟨i|j⟩∣2 (duplamente estocástica): S(ρ^∥σ^)=∑ipiln⁡pi−∑ipi∑jPijln⁡qj ≥ ∑ipiln⁡pi−∑ipiln⁡ri,ri=∑jPijqj, pela concavidade do logaritmo (∑jPijln⁡qj≤ln⁡∑jPijqj). O lado direito é a entropia relativa clássica ∑piln⁡(pi/ri)≥0 (de ln⁡x≤x−1). Logo S(ρ^∥σ^)≥0,=0 ⟺ ρ^=σ^. Não é uma distância (não é simétrica), mas mede quão bem σ^ imita ρ^: é a taxa exponencial com que se distinguem as duas hipóteses com muitas cópias (lema de Stein quântico).

Subaditividade e informação mútua Tome σ^=ρ^A⊗ρ^B. Como ln⁡(ρ^A⊗ρ^B)=ln⁡ρ^A⊗1+1⊗ln⁡ρ^B, o traço parcial dá Tr ρ^ABln⁡(ρ^A⊗ρ^B)=−SA−SB. Então I(A:B)≡S(ρ^AB∥ρ^A⊗ρ^B)=SA+SB−SAB ≥ 0. A entropia do todo nunca excede a soma das partes, e a folga é a informação mútua, que mede toda a correlação, clássica e quântica. Ela é zero se e só se ρ^AB=ρ^A⊗ρ^B.

Purificação e a desigualdade de Araki–Lieb Todo ρ^AB é o reduzido de um estado puro ∣ψ⟩ABR num sistema maior (purificação: ∣ψ⟩=∑iλi∣i⟩AB∣i⟩R). Num estado puro, as duas metades de qualquer corte têm o mesmo espectro (Schmidt), logo SAR=SB e SR=SAB. A subaditividade aplicada a AR dá SAR≤SA+SR, ou seja, SB≤SA+SAB. Trocando A e B: ∣SA−SB∣ ≤ SAB ≤ SA+SB. Classicamente vale algo mais forte, SAB≥max⁡(SA,SB): o todo é pelo menos tão incerto quanto cada parte. Quanticamente não: um par de Bell tem SAB=0 e SA=SB=ln⁡2.

Entropia condicional negativa Defina S(A∣B)=SAB−SB. Para distribuições clássicas é a incerteza média sobre A dado B, sempre ≥0. Para um estado puro emaranhado, S(A∣B)=0−SB=−SE<0: o par de Bell tem S(A∣B)=−ln⁡2. Para todo estado separável, ρ^AB=∑kpkρ^kA⊗ρ^kB, vale SAB≥SB: a entropia condicional é côncava em ρ^AB (consequência da subaditividade forte, passo 5), e em cada produto ρ^kA⊗ρ^kB ela vale S(ρ^kA)≥0. Então S(A∣B)<0 ⟹ ρ^AB emaranhado. A recíproca é falsa (há emaranhados com S(A∣B)≥0: no widget, baixe θ ou aumente o ruído). Horodecki, Oppenheim e Winter (2005) deram o sentido operacional: −S(A∣B) é quanto emaranhamento sobra, por cópia, depois de transferir o estado de A para B (state merging).

Subaditividade forte Para três sistemas vale SABC+SB ≤ SAB+SBC, equivalente a I(A:BC)≥I(A:B): descartar um sistema nunca aumenta a correlação. A prova clássica é uma linha; a quântica (Lieb e Ruskai, 1973) exige o teorema de concavidade de Lieb e não é elementar. Daqui saem quase todas as outras desigualdades de entropia quântica conhecidas, e ela é usada como vínculo em teoria de campos e em gravidade (por exemplo, na prova do teorema c em 1+1 dimensões por Casini e Huerta, 2004).

Truque das réplicas: a entropia pela integral de caminho Num campo em tempo euclidiano, ρ^A de uma região A é a integral de caminho com um corte ao longo de A em τ=0; Tr ρ^An cola n cópias ciclicamente ao longo do corte, =Zn/Zn, com Zn a função de partição numa superfície de n folhas. Então SA=−lim⁡n→1∂n Tr ρ^An=−lim⁡n→1∂nZnZn. Para um intervalo de comprimento L numa teoria conforme 1+1 com carga central c e corte ε, Zn/Zn∝(L/ε)−c6(n−1n) dá SA=c3ln⁡(L/ε) (Holzhey, Larsen e Wilczek, 1994; Calabrese e Cardy, 2004). A divergência com ε→0 é física: o emaranhamento do vácuo através da fronteira, a curtas distâncias.