Emaranhamento e computação quântica

Emaranhamento é uma correlação entre duas partículas que nenhuma explicação local consegue reproduzir. Cada uma, olhada sozinha, parece um sorteio aleatório; olhadas juntas, os sorteios batem perfeitamente.

A tentação é dizer que os resultados já estavam combinados na origem, como duas cartas de um baralho separado. Esta seção mostra o cálculo — feito por John Bell — que transforma essa suspeita numa medida. E o laboratório deu a resposta: não estavam combinados.

Até aqui, cada superposição foi de uma partícula consigo mesma. Agora juntamos sistemas — e aparece algo que não tem análogo clássico nenhum. É também onde a mecânica quântica deixa de ser só descrição da natureza e vira tecnologia.

Dois qubits: o produto tensorial

O quinto postulado (O mapa da teoria) diz que sistemas compostos vivem em HA⊗HB. Para dois qubits isso dá quatro dimensões, com base ∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩:

Repare no crescimento: n qubits exigem 2n amplitudes complexas. Dois qubits, 4 números; dez qubits, 1024; e a coisa foge do controle muito rápido.

Produto ou emaranhado?

Alguns estados de dois qubits se fatoram: ∣Ψ⟩=∣a⟩⊗∣b⟩. Aí cada qubit tem seu próprio estado, e nada de especial acontece. Mas a maioria não se fatora. O critério, para dois qubits, é de uma linha:

C é a concorrência. Os quatro estados de Bell saturam o limite:

Num estado de Bell você conhece o par perfeitamente — é um estado puro, com toda a informação possível. Mas se você olhar só um dos qubits, o estado reduzido é ρ^A=121^: máxima ignorância. O vetor de Bloch dele tem comprimento zero — ele não aponta para direção nenhuma.

Classicamente isso é impossível: se você sabe tudo sobre um sistema, sabe tudo sobre as partes. Aqui, a informação está nas correlações, não nos componentes. Schrödinger chamou isso de "o traço característico da mecânica quântica" — não a superposição, o emaranhamento.

Portas de dois qubits: a CNOT

Portas de um qubit (Espaço de Hilbert) só rodam a esfera de Bloch — nunca criam emaranhamento. Para isso é preciso uma porta que faça um qubit depender do outro. A mais usada é a CNOT: inverte o alvo se o controle for ∣1⟩.

E o circuito mais importante de toda a computação quântica tem só dois passos — H no primeiro qubit, depois CNOT:

Duas portas, e você saiu de um estado banal para o estado mais emaranhado que existe. Junto com T, o conjunto {H,T,CNOT} é universal: qualquer computação quântica é uma sequência dessas três.

Clique em H₁ e depois em CNOT 1→2 e acompanhe: a concorrência sobe de 0 para 1, e ao mesmo tempo o vetor de Bloch do qubit 1 encolhe até o centro da esfera. Essa é a troca fundamental — quanto mais o par sabe sobre si, menos cada parte sabe sobre si mesma. Repare também que nenhuma porta de um qubit sozinho consegue mudar C: emaranhamento só nasce de interação.

EPR: o argumento que Einstein achou que fechava a questão

Antes de Bell veio o ataque. Em 1935 Einstein, Podolsky e Rosen publicaram um artigo com um título em forma de pergunta — "A descrição da realidade física dada pela mecânica quântica pode ser considerada completa?" — e uma resposta que eles julgavam definitiva: não.

O argumento não contesta nenhuma previsão da teoria. Ele aceita todas, e mostra que se a teoria estiver certa, então ela está deixando coisas de fora. A engrenagem é um critério de realidade, proposto no próprio artigo:

"Se, sem perturbar de modo algum um sistema, pudermos prever com certeza o valor de uma grandeza física, então existe um elemento de realidade física correspondente a essa grandeza."

É uma exigência modesta — quase inevitável, à primeira vista. Agora aplique-a ao singleto do Lab 24, o estado ∣Ψ−⟩=12(∣↑↓⟩−∣↓↑⟩), com as duas partículas separadas por anos-luz:

Vale corrigir uma versão popular. A objeção central de EPR não é "Deus não joga dados" — o indeterminismo incomodava Einstein, mas não é a estrutura do argumento. O alvo é a não separabilidade: a ideia de que dois objetos distantes possam não ter, cada um, um estado próprio.

Numa carta a Max Born, Einstein chamou isso de spukhafte Fernwirkung — "ação fantasmagórica a distância". E aqui vale ser preciso sobre o que o experimento decidiu: não existe sinal viajando de A para B. Alice não consegue transmitir nada a Bob usando o par (o teorema da não comunicação, Emaranhamento e computação quântica), porque cada lado isolado vê ruído perfeitamente aleatório. O que morreu foi a hipótese de que os resultados já estavam decididos. A correlação é real, a influência causal não é — e essa distinção é fina, mas é toda a diferença entre a mecânica quântica e uma violação da relatividade.

A desigualdade de Bell: a natureza não é local realista

Emaranhamento poderia ser explicado por "variáveis ocultas" — as partículas combinariam as respostas antes de se separar, como duas luvas em caixas. John Bell mostrou em 1964 que essa hipótese faz uma previsão numérica diferente, e portanto é testável.

Medindo o spin de cada qubit ao longo de direções a e b, a correlação no estado ∣Φ+⟩ vale E(a,b)=cos⁡(θa−θb). Monte a combinação CHSH:

Qualquer teoria local realista

Vale para toda combinação de variáveis ocultas locais, sem exceção. É um teorema, não um modelo particular.

Mecânica quântica

O limite de Tsirelson, atingido nos ângulos 0°,45°,90°,135°. Medido em laboratório e confirmado — Nobel de Física de 2022.

Comece nos ângulos ótimos: S=2,828, acima da barreira clássica em 2. Nenhuma conspiração de variáveis ocultas locais consegue passar de 2 — então a natureza não é local realista. Agora clique em ângulos ruins e veja S despencar: a violação depende de escolher bem as direções, e é por isso que o experimento levou décadas para ser feito sem brechas. Repare na curva: o quântico é cos⁡Δθ, o melhor modelo clássico possível é a reta em ziguezague — elas coincidem em 0° e 180° e divergem no meio, exatamente onde a violação mora.

Um algoritmo de verdade: a busca de Grover

Procurar um item numa lista desordenada de N entradas custa ∼N/2 tentativas classicamente. Grover faz em ∼N. Não é mágica — é interferência bem coreografada, repetindo dois passos:

1 · Oráculo

Inverte o sinal da amplitude do item procurado. Não revela qual é — só marca. Todas as probabilidades continuam iguais (o sinal some no módulo quadrado).

2 · Difusão

Reflete todas as amplitudes em torno da média: ai→2aˉ−ai. O item marcado, que estava negativo, salta para bem acima da média.

Geometricamente é uma rotação no plano gerado por "alvo" e "resto". Cada iteração gira o estado por um ângulo fixo θ com sin⁡(θ/2)=1/N, e a amplitude do alvo após k passos é exatamente:

Faça este experimento: vá até a iteração ótima (a probabilidade chega perto de 100%) e então continue clicando. A probabilidade cai. Isso surpreende quem espera que "mais computação = melhor resultado", mas é inevitável: Grover é uma rotação de ângulo fixo, e passar do ponto é girar demais. Você precisa saber quando parar — e é por isso que koˊtimo≈π4N é parte do algoritmo, não um detalhe. Aumente n e compare: para N=512, o clássico precisaria de ~256 tentativas em média; Grover resolve em ~17.

O gargalo não é ter qubits — é mantê-los coerentes. Qualquer interação com o ambiente destrói a fase relativa (a decoerência da seção Superposição e interferência), e é ela que carrega toda a informação. Máquinas atuais têm centenas a milhares de qubits físicos com taxas de erro de 10−3 a 10−2 por porta. Correção de erros quânticos funciona, mas custa caro: estimativas sérias pedem da ordem de mil qubits físicos por qubit lógico.

O ganho também é seletivo. Grover dá aceleração quadrática (útil, não revolucionária); Shor dá exponencial para fatoração; simulação de moléculas e materiais é provavelmente a aplicação mais promissora — afinal, é usar quântica para simular quântica. Para a maioria dos problemas do dia a dia, um computador quântico não ajuda em nada.

O texto dá E(a,b)=cos⁡(θa−θb) no estado ∣Φ+⟩, a combinação S=∣E(a,b)−E(a,b′)+E(a′,b)+E(a′,b′)∣ e os dois limites 2 e 22. Provamos o limite local, calculamos E e provamos que 22 é o máximo quântico, não só o valor nos ângulos escolhidos. Alice mede a ou a′, Bob mede b ou b′, com resultados ±1.