Transporte: de Drude à localização de Anderson

As seções anteriores deram o espectro: bandas, superfície de Fermi, fônons (bandas, Sommerfeld). Falta o que os elétrons fazem quando são empurrados. Transporte é a resposta linear de uma corrente a um campo, j=σE, e a pergunta é como calcular σ sabendo apenas as bandas e o que espalha os elétrons. O caminho tem três degraus: o modelo de Drude (1900), que supõe colisões ao acaso; a equação de Boltzmann, que o justifica com a estatística de Fermi; e os fenômenos mesoscópicos, em que o fio é tão pequeno ou tão sujo que a fase da função de onda importa: a condutância quantizada de Landauer e a localização de Anderson.

Imagine um salão cheio de pessoas andando em direções aleatórias, trombando umas nas outras. Se alguém inclina o chão levemente, cada um ainda trombará a cada poucos segundos, mas entre as trombadas todos ganham um pouco de velocidade para o lado da descida: o salão inteiro escorre devagar, com uma velocidade média proporcional à inclinação e ao tempo entre trombadas. Isso é a lei de Ohm. Se um vento lateral (o campo magnético) empurra cada pessoa para o lado, as que escorrem se acumulam numa parede, e o lado em que se acumulam diz se as pessoas são ‘de carga positiva ou negativa’: é o efeito Hall. Em fios finíssimos a ideia de ‘trombadas’ falha: o elétron é uma onda, e a onda passa pelo fio em degraus inteiros (um modo de cada vez), ou, se o corredor for desordenado demais, a onda fica presa entre as irregularidades e não anda: é a localização.

O modelo de Drude

Drude tratou os elétrons de condução como um gás clássico: bolas que aceleram sob o campo e perdem a memória do movimento em colisões que ocorrem, em média, uma vez a cada τ (o tempo de relaxação). Entre colisões, mv˙=qE. Logo depois de uma colisão a velocidade é aleatória, de média zero, então a velocidade média de deriva é a aceleração vezes o tempo médio desde a última colisão, que vale τ:

O Cu tem um elétron de condução por átomo, n=8,47×1028 m−3, e resistividade ρ=1,68×10−8 Ω m. Invertendo a fórmula de Drude: τ=m/(ne2ρ)=2,49×10−14 s =25 fs. Com vF=1,57×106 m/s (a velocidade dos elétrons que conduzem, não a térmica), o livre caminho médio é ℓ=vFτ=39 nm, cerca de 150 espaçamentos atômicos. A mobilidade é eτ/m=44 cm2/V s. Em campo E=1 V/m a velocidade de deriva é 4,4×10−3 m/s: 4 milímetros por segundo, milhões de vezes menor que vF. É o campo (uma onda eletromagnética que viaja na velocidade da luz no fio), e não os elétrons, que se propaga depressa.

Duas observações. Primeira: Drude usava a velocidade térmica clássica (∼105 m/s) e o calor específico clássico 32kB por elétron, dois erros de ordem 100 que se compensam na razão κ/σT, de modo que ele acertou a lei de Wiedemann–Franz por acaso; com a estatística de Fermi (Sommerfeld) tudo se conserta, e a fórmula σ=nq2τ/m sobrevive intacta. Segunda: o τ não é uma constante do metal; vem de espalhamento por impurezas e por fônons, taxas que se somam (regra de Matthiessen), 1/τ=1/τimp+1/τfo^non, e por isso ρ(T)=ρ0+ρph(T): um piso residual (impurezas) e uma parte que cai com a temperatura (∝T5 para T≪ΘD, a lei de Bloch–Grüneisen, e ∝T para T≳ΘD).

A equação de Boltzmann

A justificativa moderna acompanha a distribuição f(r,k,t) de elétrons no espaço de fase. Sem colisões, f é arrastada pelas trajetórias semiclássicas ℏk˙=F, r˙=v=ℏ−1∇kε; colisões devolvem f ao equilíbrio de Fermi–Dirac f0. Na aproximação do tempo de relaxação:

Resolvendo em primeira ordem em E, a distribuição é a de Fermi deslocada por δk=qEτ/ℏ e a condutividade é σij=q2τ∫2d3k(2π)3vivj(−∂f0/∂ε): só os elétrons na superfície de Fermi conduzem, e para uma banda parabólica o resultado coincide com Drude. Ela vale também para bandas arbitrárias, trocando vivj pela velocidade real v(k). A razão entre condutividade térmica e elétrica obedece à lei de Wiedemann–Franz, κ/σT=L0=π2kB2/3e2=2,44×10−8 W Ω K−2 (calor e carga são carregados pelos mesmos elétrons, com o mesmo τ, quando o espalhamento é elástico).

Ponto de partida: portadores de carga q e massa efetiva m, descritos por uma distribuição f(r,k,t) no espaço de fase. Sem colisões f é transportada ao longo das trajetórias semiclássicas ℏk˙=F, r˙=v=ℏ−1∇kε. As colisões entram por um único número, o tempo de relaxação τ.

Equação de Boltzmann na aproximação do tempo de relaxação A taxa de variação de f por colisões é modelada como um retorno ao equilíbrio local f0 (Fermi–Dirac) com taxa 1/τ. Com a força de Lorentz F=q(E+v×B): ∂f∂t+v⋅∇rf+qℏ(E+v×B)⋅∇kf=−f−f0τ. Para campos uniformes e regime estacionário os dois primeiros termos somem.

Resposta linear ao campo elétrico (B=0) Escreva f=f0+f1 com f1 pequeno e use ∇kf0=ℏv ∂f0/∂ε. No lado esquerdo só resta f0, porque f1 multiplica E de novo: qE⋅v ∂f0∂ε=−f1τ⟹f1=τ q E⋅v(−∂f0∂ε). A distribuição foi deslocada por δk=qEτ/ℏ: é a esfera de Fermi inteira que desliza, mas só a região em torno de εF (onde −∂f0/∂ε é grande) muda de ocupação.

A corrente e a condutividade Somando a velocidade de todos os estados (fator 2 de spin): j=q∫2 d3k(2π)3 v f1 ⇒ σij=q2τ∫2 d3k(2π)3 vivj(−∂f0∂ε). Para banda parabólica isotrópica, vivj→v2δij/3, e para T≪TF vale −∂f0/∂ε→δ(ε−εF). Com a densidade de estados g(εF)=3n/(mvF2) (gás livre, εF=mvF2/2): σ=q2τ3 vF2 g(εF)=nq2τm,ρ=mnq2τ,μmob=∣q∣τm. Só os elétrons da superfície de Fermi conduzem, mas o resultado parece envolver todos os n elétrons: a densidade de estados e a velocidade de Fermi se combinam para reproduzir a fórmula de Drude (1900), que supunha incorretamente que todos conduziam.

Com campo magnético: a equação de movimento do momento médio Multiplicando a equação de Boltzmann por ℏk e integrando, a velocidade média obedece à equação de Drude m v˙=q(E+v×B)−mv/τ. Com B=Bz^ e ωc=qB/m (com sinal), no regime estacionário: vx=qτmEx+ωcτ vy,vy=qτmEy−ωcτ vx. Resolvendo para j=nqv em termos de E: jx=σxxEx+σxyEy com σxx=σ0/[1+(ωcτ)2] e σxy=σ0 ωcτ/[1+(ωcτ)2]=−σyx, onde σ0=nq2τ/m.

Circuito aberto: o campo de Hall e o coeficiente RH Numa barra, a corrente transversal é nula, vy=0. Os portadores se acumulam numa borda até que o campo Ey criado pela carga acumulada cancele a força magnética. Da segunda equação com vy=0: Ey=B vx,RH=EyjxB=Bvxnq vx B=1nq,ρxx=Exjx=mnq2τ (independente de B). O sinal de RH é o sinal da carga dos portadores (elétrons: negativo; buracos: positivo) e o módulo dá n, sem depender de τ ou de m. A magnetorresistência de Drude é nula: uma única banda com τ constante não tem ρxx(B). A magnetorresistência real vem de várias bandas, de τ dependente da energia e da geometria da superfície de Fermi (órbitas abertas).

Números para o cobre a 300 K n=8,47×1028 m−3 (um elétron por átomo) e ρ=1,68×10−8 Ω m dão τ=m/(ne2ρ)=2,49×10−14 s =25 fs. Com vF=1,57×106 m/s, o livre caminho médio é ℓ=vFτ=39 nm (cerca de 150 espaçamentos atômicos). A mobilidade é eτ/m=44 cm2/V s, e RH=−1/(ne)=−7,4×10−11 m3/C. Em B=1 T, ωcτ=4,4×10−3: num metal comum o elétron nem completa uma volta entre colisões, e por isso a deflexão de Hall é pequena.

Resultado. σ=nq2τ/m; RH=1/(nq) (sinal e densidade dos portadores); sem magnetorresistência para uma banda parabólica. O widget reproduz isso com um Monte Carlo: o deslocamento médio medido converge para qEτ/m e o campo Hall tem o sinal de RH.

O efeito Hall e o sinal dos portadores

Com campo magnético B=Bz^ perpendicular à corrente jx, a força de Lorentz empurra os portadores para a borda y. Eles se acumulam até que o campo elétrico Ey criado pela carga acumulada equilibre a força magnética. Em circuito aberto (jy=0):

Aqui entra a surpresa que ajudou a estabelecer o conceito de buraco: RH de vários metais tem o sinal errado para elétrons. Na, K, Cu, Ag e Au têm RH<0, perto do valor −1/ne de Drude, mas Zn, Cd, Be e Al têm RH>0: neles, a corrente é carregada por estados com curvatura de banda negativa, que se comportam como cargas positivas (buracos). Em semicondutores o sinal diz o tipo da dopagem (n: negativo, p: positivo), e RHσ dá a mobilidade de Hall μH (semicondutores). A força do campo é medida por ωcτ (ωc=qB/m): se ωcτ≪1 o portador mal curva entre colisões (cobre em 1 T: ωcτ=4,4×10−3); se ωcτ≳1 completa órbitas, e a física muda: magnetorresistência, oscilações quânticas e, em 2D e campo forte, o efeito Hall quântico.