Magnetismo: de momentos independentes à ordem de longo alcance

A superfície de Fermi e as bandas descrevem elétrons independentes; magnetismo é onde a interação entra primeiro. O momento magnético de um átomo vem do spin e do movimento orbital dos seus elétrons. Em muitos materiais esses momentos não interagem e simplesmente respondem a um campo (dia- e paramagnetismo). Em outros, uma interação de troca (da ordem de dezenas a centenas de meV entre spins vizinhos) alinha os spins abaixo de uma temperatura crítica: ferro, antiferro, ferri. A seção percorre essa escala, e conecta a física de campo médio, as ondas de spin (o análogo magnético dos fônons, e um exemplo clássico de bóson de Goldstone) e a frustração, em que a geometria impede a ordem.

Um spin é uma pequena agulha de bússola. Se as agulhas não se enxergam, um campo as alinha só um pouco, e quanto mais quente, mais a agitação térmica as embaralha: é o paramagnetismo, e a magnetização cai como 1/T. Se cada agulha sente as vizinhas e prefere apontar do mesmo jeito (ferro), uma agulha alinhada ajuda as vizinhas a se alinharem, que ajudam de volta: abaixo de uma temperatura, o alinhamento se sustenta sozinho. Esse é o ferromagneto, e a ideia de Weiss é tratar o efeito das vizinhas como um campo médio. As ondas de spin são ondulações lentas desse alinhamento, e cada quantum de onda é um magnon. Se as agulhas preferem apontar em sentidos opostos, o resultado é um antiferro, sem magnetização líquida. E se três agulhas num triângulo querem todas ser ‘oposta às outras duas’, não conseguem: é a frustração.

Magnetismo não cooperativo: dia e paramagnetismo

Duas respostas existem em todo material. O diamagnetismo é universal e fraco (χ∼−10−5): pela lei de Lenz o campo induz correntes orbitais que se opõem a ele. Para elétrons de um átomo, a contribuição de Larmor é χL=−μ0natZe2⟨r2⟩/6m; para elétrons livres de condução, a de Landau é χdia=−13χPauli. Surpreendentemente, um sistema clássico não tem magnetismo nenhum em equilíbrio (teorema de Bohr–van Leeuwen): o magnetismo dos sólidos é um efeito quântico, do spin e da quantização orbital.

O paramagnetismo de momentos independentes, de spin total J (gJ o fator de Landé), tem magnetização dada pela função de Brillouin. A razão de χ para campos pequenos é a lei de Curie:

μef=272⋅92 μB=7,94 μB. A 1 K e 1 T, x=gμBSB/kBT=4,70 e B7/2(4,70)=0,90: 90% da saturação. A 4,2 K, x=1,12 e B7/2=0,43. Esses sais foram os refrigeradores do século XX: ao magnetizar isotermicamente um sal e depois desmagnetizá-lo adiabaticamente (Giauque e Debye, 1926–27), abaixa-se a entropia dos spins e leva-se a temperatura de 1 K a milikelvins.

A interação de troca e o modelo de Heisenberg

Por que um ímã tem ordem de longo alcance? A resposta honesta não é a interação dipolar entre momentos magnéticos: dois momentos de 1 μB a 0,25 nm interagem com energia μ0μB2/4πr3≈5,5×10−25 J, ou 0,04 K, enquanto o ferro se ordena a 1043 K. A origem é a troca: a função de onda total de dois elétrons é antissimétrica, então estados de spin paralelo (tripleto, função espacial antissimétrica) e antiparalelo (singleto, simétrica) têm distâncias médias diferentes entre si e, com isso, energias de Coulomb diferentes. O que parece uma interação entre spins é a repulsão de Coulomb mais o princípio de Pauli. O resultado efetivo é o hamiltoniano de Heisenberg:

Ferromagnetismo: o campo médio de Weiss

Weiss (1907) propôs que cada spin sente um campo molecular proporcional à magnetização média, Bef=B+λM. No modelo de Heisenberg, isso é o campo médio: troca o efeito dos z vizinhos pelo valor médio. A magnetização reduzida m=⟨Sz⟩/S obedece à equação autoconsistente

Duas consequências são testáveis. Acima de TC a susceptibilidade segue a lei de Curie–Weiss χ=C/(T−TC): o inverso é uma reta que corta zero em TC e não na origem. Abaixo de TC, perto da transição, m2=θS(1−t) com θS=10(S+1)2/[3(2S2+2S+1)], que vale 3 para S=12, 83 para S=1, 2,077 para S=72 e 53 no limite clássico: um expoente crítico β=12. No widget, escolha S, mova T e veja a solução gráfica: as interseções da curva de Brillouin com a reta y=m; ligue o campo externo para ver a histerese (três soluções abaixo de TC).

O momento de cada spin sente um campo efetivo proporcional à magnetização média, então m=⟨Sz⟩/S obedece à equação autoconsistente m=BS ⁣(3SS+1 mt+bt), com t=T/Tc e a função de Brillouin BS. Esquerda: as soluções são as interseções da curva com a reta y=m. Para t<1 a inclinação na origem é >1 e aparece uma solução espontânea não nula; em t=1 a inclinação é exatamente 1. Direita: m(T) para os três S, com a lei de campo médio m≃θS(1−t). Embaixo: 1/χ acima de Tc é uma reta que corta zero em Tc (Curie–Weiss); sem troca (J=0) a reta passa pela origem (Curie). Campo médio superestima Tc e erra os expoentes em 3D (ver Ising 3D: Tc=4,51J contra 6J).

Ponto de partida: o modelo de Heisenberg com z vizinhos e campo externo, contando cada par uma vez, H=−J∑⟨ij⟩Si⋅Sj−gμBB∑iSiz,J>0 (ferro). A ideia de Weiss (1907) é trocar o efeito dos vizinhos sobre cada spin pelo efeito de um campo médio. Se a convenção do seu livro soma cada par duas vezes, o J aqui é 2J lá, e as fórmulas abaixo ganham um fator 2.

Desacoplamento de campo médio Escreva Si=⟨S⟩+δSi e despreze δSi⋅δSj (flutuações). Com ⟨Sz⟩=Sm ao longo de z: Si⋅Sj≈Sm (Siz+Sjz)−S2m2 ⇒ HMF=−(zJSm+gμBB)∑iSiz+12NzJS2m2. Cada par aparece uma vez e cada spin tem z vizinhos, daí o z e o 12 na constante.

Um spin num campo efetivo: a função de Brillouin Cada spin tem níveis Sz=−S,…,S com energia −hefSz, onde hef=zJSm+gμBB. A média térmica de Sz é m=BS(x),x=S (zJSm+gμBB)kBT,BS(x)=2S+12Scoth⁡(2S+1)x2S−12Scoth⁡x2S. Para S=12, B1/2(x)=tanh⁡x; para S→∞ é a função de Langevin. Sem troca (J=0) a equação é explícita e dá o paramagneto de Brillouin; com troca é autoconsistente.

Expansão para x pequeno: TC e Curie–Weiss Para x→0, BS(x)=S+13S x−(S+1)(2S2+2S+1)90S3 x3+…. Mantendo o termo linear com B=0, a solução m≠0 exige que a inclinação na origem passe de 1: S+13S zJS2kBT=1 ⟹ kBTC=zJS(S+1)3. Com campo pequeno, T>TC, m=S+13SS(zJSm+gμBB)kBT dá m (1−TC/T)=…B, logo χ=μ0ng2μB2S(S+1)3kB 1T−TC=CT−TC (T>TC),χJ=0=CT. A mesma constante de Curie C=nμ0μef2/3kB, com μef=gμBS(S+1), vale com ou sem troca: o ponto em que 1/χ corta zero é o TC de campo médio, deslocado da origem.

Perto de TC: expoente 12 Com t=T/TC e x=3SS+1 mt (para B=0), a equação m=BS(x) com o termo cúbico fornece, para t→1−, m2=θS (1−t),θS=10(S+1)23(2S2+2S+1): θ1/2=3, θ1=83, θ7/2=2,077, θ∞=53. Portanto M∝(TC−T)1/2: expoente crítico β=12, característico de campo médio. Abaixo de TC, sobre o ramo espontâneo, 1/χ cresce com o dobro da inclinação do lado paramagnético: o gráfico de 1/χ tem a forma de um “V” assimétrico com vértice em TC (inclinações medidas no widget: 1 acima, 2 abaixo).

O que campo médio acerta e o que erra Ele acerta a existência da transição, a forma de χ(T) acima de TC e a fenomenologia da histerese (para B≠0 e T<TC há três soluções). Erra: (i) o valor de TC: para spins de Ising ±1 com H=−J∑σiσj, campo médio dá kBTC=zJ e o valor exato é 4,51 J (rede cúbica, z=6), 2,27 J (quadrada, z=4) e 0 (cadeia, z=2); (ii) os expoentes críticos em d<4 (3D Ising: β=0,326, Heisenberg 3D: 0,37); (iii) a baixa temperatura, onde M cai como T3/2 pelos magnons (lei de Bloch) e não exponencialmente. Em d≤2 o teorema de Mermin–Wagner proíbe ordem de Heisenberg a T>0.

Resultado. m=BS ⁣(3SS+1mt+bt), kBTC=zJS(S+1)/3, χ=C/(T−TC), m2≃θS(1−t). Cada um desses números é conferido numericamente no widget (por exemplo θ1/2=3 e θ7/2=2,077).

Ondas de spin: magnons ferromagnéticos

No estado fundamental ferromagnético todos os spins apontam na mesma direção e o estado é exato. As excitações de menor energia não são spins virados (que custam ∼zJS), mas ondulações coletivas, em que cada spin desvia-se de z por uma pequena quantidade com fase eik⋅ri, e o vetor de spin precessa: ondas de spin, cujos quanta são os magnons. Com a transformação de Holstein–Primakoff, Siz=S−ai†ai e Si+≈2S ai, o hamiltoniano vira um gás de bósons livres:

A dispersão quadrática é consequência de o ferromagneto ter o parâmetro de ordem M como uma quantidade conservada: as componentes Sx e Sy são conjugadas uma da outra, e os dois geradores quebrados dão só um modo de Goldstone, do tipo II. É a mesma lógica do teorema de Goldstone com uma complicação: quando o parâmetro de ordem não comuta com as cargas, a contagem de Goldstones e de graus de liberdade muda. A energia térmica dos magnons dá o calor específico Cmag∝T3/2, que se soma ao dos fônons (T3) e dos elétrons (T).