Fases topológicas da matéria

Até os anos 1980, a classificação das fases da matéria era a de Landau: uma fase se distingue por qual simetria ela quebra e mede-se por um parâmetro de ordem local. O efeito Hall quântico mostrou outra coisa: dois estados com a mesma simetria (nenhuma é quebrada) podem ser diferentes porque os estados de Bloch ocupados têm topologias diferentes, medidas por um inteiro. Thouless, Haldane e Kosterlitz receberam o Nobel de 2016 por esse passo. A partir de 2005 (Kane e Mele; Bernevig, Hughes e Zhang) a lista cresceu: isolantes topológicos, semimetais de Weyl, supercondutores topológicos, e a ideia de usar excitações com estatística não abeliana para computar. Esta seção mostra a classificação, calcula dois exemplos exatos (cadeias SSH e Kitaev), um modelo bidimensional completo (QWZ, com número de Chern e estados de borda) e termina em líquidos de spin, onde a topologia aparece nos estados de muitos corpos.

Uma rosquinha e uma xícara de café têm o mesmo número de buracos (um): uma pode ser amassada na outra sem rasgar nada. Uma esfera não: tem zero buracos. Aqui, o “objeto” é o conjunto dos estados de elétron de um isolante, e a “deformação” é qualquer mudança suave do material que não fecha o gap de energia. O inteiro (o número de buracos) não muda, a menos que o gap feche. Quando dois materiais com inteiros diferentes se encontram (um cristal topológico e o vácuo, onde o inteiro é zero), a interface precisa fechar o gap: surge uma borda condutora, sem gap, e protegida: não há como removê-la sem mudar o inteiro do material. Estados de borda, portanto, são a “costura” entre topologias.

Berry, Chern e o que “topológico” quer dizer

Num cristal, cada banda n define, em cada k, um estado ∣unk⟩ (Bandas; veja também a fase de Berry). A conexão A=i⟨u∣∇ku⟩ e a curvatura F=∇×A fazem o papel de potencial vetor e campo magnético, no espaço de momentos. Duas integrais dão invariantes inteiros:

Que simetrias estão presentes decide que inteiro pode existir em cada dimensão. A classificação de Altland e Zirnbauer, em dez classes, é a “tabela periódica dos isolantes e supercondutores topológicos” (Kitaev, Schnyder, Ryu, Furusaki e Ludwig, 2008). As entradas relevantes para esta seção:

Isolante de Chern: efeito Hall sem campo

O efeito Hall quântico exige um campo de ∼10 T. Haldane (1988) mostrou que isso não é necessário: basta uma banda com C≠0 no espaço de momentos. O modelo mais simples é o de Qi, Wu e Zhang (QWZ), com duas bandas e vetor d(k)=(sin⁡kx,sin⁡ky,m+cos⁡kx+cos⁡ky):

O widget calcula (i) as bandas ao longo de Γ–X–M–Γ e o gap, (ii) o mapa da curvatura de Berry na zona de Brillouin, de cuja soma sai C (método de Fukui–Hatsugai–Suzuki, que dá um inteiro exato por construção), e (iii) o espectro de uma tira finita, aberta em y: com C≠0 aparecem estados que cruzam o gap, localizados nas duas bordas, com velocidades opostas. Mude m de −3 a 3: C vale 0, passa a −1 em m=−2, salta de −1 para +1 em m=0 (dois cones de Dirac fecham o gap ao mesmo tempo, cada um muda C de uma unidade) e volta a 0 em m=2.

Modelo H(k)=sin⁡kx σx+sin⁡ky σy+(m+cos⁡kx+cos⁡ky) σz (Qi, Wu, Zhang), bandas ±∣d∣. O gap fecha em m=0 (dois cones de Dirac em (π,0) e (0,π)) e em m=±2 (em (0,0) e (π,π)). O número de Chern da banda inferior é a soma do fluxo de Berry em cada plaquete da malha 36×36, C=12π∑arg⁡(U1U2U3∗U4∗) (método de Fukui, Hatsugai e Suzuki, 2005): sai inteiro por construção, e muda quando o gap fecha. Convenção deste widget (orientação kx→ky): C=+1 para 0<m<2, C=−1 para −2<m<0 e C=0 para ∣m∣>2, conferido contra uma implementação independente (numpy) em oito valores de m. Por fim, uma tira finita (Ny=20 camadas, aberta em y): para C≠0 surgem estados que cruzam o gap, um em cada borda, com velocidades opostas (cor: vermelho = borda y=0, azul = borda superior, cinza = bulk); em m=+1 o estado da borda inferior vai para +x (v≈+0,97) e o da superior para −x. Bulk–boundary: o número de cruzamentos orientados é C.

A condutância Hall de um isolante de Chern, σxy=Ce2/h, foi medida sem campo magnético em filmes finos de (Bi,Sb)2Te3 dopados com Cr (Chang et al., 2013), a ∼30 mK, com σxy≈e2/h (o efeito Hall anômalo quântico); a temperatura em que o platô se observa ainda é baixa. A quantização exige magnetização que quebra a reversão temporal.

Isolantes topológicos: Kane–Mele, HgTe e Bi2Se3

Se a reversão temporal é preservada, C=0 por simetria, mas ainda existe um invariante Z2 (Kane e Mele, 2005). Com acoplamento spin–órbita forte, uma banda com spin ↑ pode ter C=+1 e a de spin ↓ pode ter C=−1: não há corrente Hall total, mas há duas bordas, cada uma com um par de canais helicais (spin ↑ para a direita, ↓ para a esquerda), o efeito Hall quântico de spin. O teorema de Kramers protege: um elétron na borda não pode inverter o sentido sem inverter o spin, e uma impureza não magnética não tem como virar o spin. A previsão original, para o grafeno (spin–órbita fraco, ∼μeV), não vale na prática; Bernevig, Hughes e Zhang (2006) propuseram poços quânticos de HgTe entre CdTe, em que a banda é invertida acima de uma espessura crítica dc≈6,3 nm. König et al. (2007) mediram: abaixo de dc, a condutância da amostra é nula; acima, ela satura em 2e2/h (dois canais helicais de e2/h cada) para amostras menores que ∼1 μm.

Em três dimensões, Bi2Se3, Bi2Te3 e Sb2Te3 são isolantes com gap de ∼0,3 eV e, em cada superfície, um único cone de Dirac cujo spin é travado ao momento:

A quiralidade do cone (um só, em vez de um par) seria proibida em qualquer sistema estritamente bidimensional, pelo teorema de Nielsen–Ninomiya (o mesmo do problema dos duplicadores na rede); ela só existe como a superfície de um sistema 3D, cujo outro cone mora na face oposta. O travamento spin–momentum, visto por ARPES com resolução de spin (Hsieh et al., 2009; veja ARPES), impede o retroespalhamento: ir de k a −k exigiria virar o spin por π, e o elemento de matriz de uma impureza não magnética é zero. Com um gap magnético o cone fica massivo, e a superfície tem σxy=(n+12) e2/h, meio inteiro: o termo θ=π da eletrodinâmica de áxions.

Semimetais de Weyl e de Dirac

Em 3D, duas bandas podem se tocar em pontos isolados, que são monopolos de curvatura de Berry de carga ±1 e dão a equação de Weyl de Dirac, spin e quiralidade num sólido. A derivação mostra a carga topológica, o teorema de Nielsen–Ninomiya, os arcos de Fermi e a anomalia quiral de Anomalias.

Num cristal 3D sem simetria de inversão ou de reversão temporal, duas bandas podem se tocar num ponto isolado do espaço de momentos. Perto dele o hamiltoniano é a equação de Weyl do módulo Antes da quebra, só que num sólido: H=χℏv σ⋅k, com quiralidade χ=±1 e v∼105 a 106 m/s no lugar de c.

O nó é um monopolo de curvatura de Berry Para H=χv k⋅σ, d=χvk e d^=χk^. A curvatura de Berry da banda superior (Mecânica Quântica) é a de um spin 12 num campo d: Ω=−χ k^2k2. O fluxo através de uma esfera qualquer em torno do nó é independente do raio: ∮S2Ω⋅dS=−2πχ ⇒ C=−χ=±1. O nó é um monopolo magnético no espaço de momentos, de carga ∓1; um nó isolado não pode ser removido por perturbações pequenas: só desaparece colidindo com outro de carga oposta.

Nielsen–Ninomiya: os nós vêm em pares A zona de Brillouin é um toro, que não tem borda: o fluxo total da curvatura de Berry através dela é zero (lei de Gauss), logo ∑χ=0. Os nós de Weyl aparecem em número par, com quiralidades opostas. É o mesmo teorema do problema dos duplicadores de férmions na rede (módulo QCD): não existe um férmion de Weyl quiral isolado numa rede.

Arcos de Fermi na superfície Fixe kz e olhe o plano (kx,ky) como um sistema 2D. Entre as projeções de dois nós de cargas opostas, esse plano tem número de Chern ±1 (o fluxo do monopólo cruza o plano); fora delas, C=0. Pela correspondência bulk–boundary, onde C=±1 a superfície tem um estado de borda quiral. O lugar desses estados, para E=EF no nó, é uma linha aberta ligando as projeções dos dois nós: o arco de Fermi, inexistente em um metal comum (superfícies de Fermi fecham). Foi observado em TaAs (Xu et al., Lv et al., 2015).