Materiais quânticos 2D e simulação quântica

Há dois tipos de materiais onde a física de muitos corpos fica à vista. Num, a dimensão baixa e a geometria da rede produzem partículas efetivas que não existem em 3D: o grafeno tem elétrons de Dirac sem massa, os dicalcogenetos têm vales e spin amarrados, a camada dupla torcida tem bandas planas. No outro, o próprio Hamiltoniano é construído por quem faz a experiência: átomos ultrafrios numa rede de luz simulam o modelo de Bose–Hubbard com parâmetros ajustáveis. Esta seção percorre os dois, e a ligação com a teoria quântica de campos é literal: a equação de Dirac de Dirac e quiralidade reaparece numa folha de carbono.

Imagine um tabuleiro de xadrez com dois tipos de casa, claras e escuras, onde cada elétron só pula de uma casa clara para uma escura vizinha. No grafeno, a rede é um favo de mel e isso basta para o elétron se comportar como uma partícula que anda sempre à mesma velocidade, não importa a energia, sem massa, como a luz. Se você torcer duas folhas de grafeno por pouco mais de um grau, as duas redes se sobrepõem num desenho maior, o moiré, e os elétrons passam a ter dificuldade de andar: a energia cinética some, e o que sobra é a repulsão entre eles. É aí que aparecem isolantes e supercondutores. O terceiro ator, os átomos frios, é a mesma conversa com outra matéria-prima: bolinhas numa caixa de ovos feita de laser, com um botão que gira a energia de pular contra a de repulsão.

Grafeno: a equação de Dirac numa folha de carbono

O grafeno é uma única camada de átomos de carbono num favo de mel. Cada átomo faz três ligações σ no plano e deixa um orbital pz meio cheio; os elétrons π desses orbitais saltam entre vizinhos com amplitude t≈2,7 eV. A rede tem duas sub-redes, A e B, e a banda de baixo está exatamente cheia: o nível de Fermi passa por seis pontos da zona de Brillouin, os cantos do hexágono, dois a dois inequivalentes (K e K′, os vales). Ali, a energia é um cone.

A conta é curta e vale a pena ver inteira (derivação abaixo): uma matriz 2×2 com f(k)=∑jeik⋅δj nas entradas fora da diagonal, cujos zeros são os pontos K. O resto, a fase de Berry π, o efeito Hall meio-inteiro e a massa por um potencial alternado, sai dessa matriz.

Ponto de partida: elétrons π que saltam entre primeiros vizinhos numa rede hexagonal com duas sub-redes, A e B. A distância carbono–carbono é acc=1,42 Å e a constante de rede é a=3 acc=2,46 Å. Quase tudo o que torna o grafeno especial sai de uma matriz 2×2.

A matriz de Bloch Cada átomo A tem três vizinhos B em δ1=acc(0,1) e δ2,3=acc(∓32,−12). Com H=−t∑⟨ij⟩(ai†bj+h.c.) e ondas de Bloch em cada sub-rede, a base (ak,bk) dá H(k)=(0−t f(k)−t f∗(k)0),f(k)=∑j=13eik⋅δj=eikyacc+2e−ikyacc/2cos⁡3kxacc2. Os autovalores são E±(k)=±t ∣f(k)∣: a simetria entre + e − (simetria partícula–buraco) vem de só haver saltos entre sub-redes diferentes. Abrindo o módulo, ∣f∣2=3+2cos⁡(3kxacc)+4cos⁡3kxacc2cos⁡3kyacc2.

Onde a energia vai a zero E=0 exige f=0. Em ky=0, f=1+2cos⁡(3kxacc/2)=0 dá 3kxacc/2=2π/3: K=(4π33 acc,0)=(4π3a,0),∣K∣=1,70 A˚−1. Das seis pontas do hexágono, três são equivalentes a K e três a K′=−K; os dois vales são distintos. Com um elétron por átomo, a banda de baixo está cheia e o nível de Fermi passa exatamente por esses seis pontos: o grafeno é um semimetal de gap zero. Os outros dois pontos especiais têm E(Γ)=3t e E(M)=t (o M é o ponto de sela de van Hove).

A expansão perto de K: um cone Com k=K+q, as derivadas de f em K são ∂kxf=−32acc e ∂kyf=+32i acc, logo f≃32acc(−qx+iqy) e HK(q)=ℏvF (σxqx+σyqy),vF=3 t acc2ℏ,E=±ℏvF∣q∣. É a equação de Dirac sem massa em 2+1 dimensões, com a velocidade de Fermi no lugar de c e o pseudo-spin σ (qual sub-rede) no lugar do spin. Numericamente, ℏvF=32tacc=5,75 eV·Å para t=2,7 eV, ou vF=8,7×105 m/s (9,1×105 m/s para t=2,8 eV); medidas dão ≈106 m/s, porque a interação elétron–elétron aumenta a velocidade. Em K′ a matriz tem σx→−σx: a quiralidade se inverte, ver Dirac e quiralidade.

A fase de Berry π Os autoestados da banda de cima são ∣u+⟩=12(1,eiφq)T (a fase relativa é o ângulo de q, φq=arg⁡(qx+iqy), a menos de um sinal). Dar uma volta em torno de K leva φ→φ+2π, e γ=∮i⟨u+∣∇qu+⟩⋅dq=±π(mod2π). Numericamente, a fase de f dá uma volta completa de 2π em torno de K (verificado em uat/v35_cm/d/verify_2d.js). Consequências: espalhamento por φ=π tem overlap ⟨u(φ+π)∣u(φ)⟩=0, então o retroespalhamento é suprimido (tunelamento de Klein, antilocalização fraca), e o nível de Landau n=0 fica exatamente em E=0.

Massa: o potencial alternado Se as duas sub-redes diferem (nitreto de boro; grafeno sobre hBN), entra um termo +Δσz com sinal ±Δ em A e B: H=ℏvF(σxqx+σyqy)+Δσz ⟹ E=±Δ2+(ℏvFq)2,m∗=Δ/vF2. É exatamente a relação relativística E2=m2c4+p2c2 com c→vF. Em notação de campos, σz faz o papel de γ0 e o termo é Δ ψˉψ: um termo de massa de Dirac. Na massa de Yukawa o campo de Higgs acopla-se como y ϕ ψˉψ e o valor esperado ⟨ϕ⟩ gera a massa; aqui a “vev” é o potencial do substrato (ou uma ordem espontânea de sub-rede, ou uma distorção de Kekulé), e quando ela varia no espaço aparecem os modos zero de Jackiw–Rebbi. O gap é 2Δ nos dois vales e a curvatura de Berry deixa de ser concentrada: Ω±(q)=∓τ (ℏvF)2Δ2(Δ2+ℏ2vF2q2)3/2, com sinal oposto nos dois vales (τ=±1), a base do efeito Hall de vale.

Níveis de Landau e o efeito Hall meio-inteiro Em campo B, ℏq→ℏq+eA. Elevando o Hamiltoniano ao quadrado, H2=(ℏvF)2[q2±eB/ℏ] é um oscilador harmônico com deslocamento do ponto zero ±12, e En=sgn⁡(n) vF2eℏB ∣n∣,n=0,±1,±2,…,E1(1 T)=36,3 meV (vF=106 m/s). O nível n=0 está em E=0 e é compartilhado igualmente por elétrons e buracos. Com quatro cópias (2 spins × 2 vales), cada nível cheio contribui e2/h por cópia, mas o n=0 conta só metade para cada lado do neutro: σxy=4 (N+12) e2/h, platôs em ±2,±6,±10 e2/h. O espaçamento E1−E0≈115 meV a 10 T é quatro vezes maior que kBT a 300 K (25,9 meV): por isso o efeito é visto à temperatura ambiente (Novoselov et al., 2007).

Resultado. Duas sub-redes e saltos entre vizinhos dão E=±t∣f∣; os zeros de f são dois pontos K,K′ onde o espectro é um cone de Dirac com vF=3tacc/2ℏ≈9×105 m/s, fase de Berry π, níveis de Landau ∝nB e σxy=4(N+12)e2/h. Um potencial alternado entre as sub-redes dá massa Δ/vF2 e gap 2Δ.

Grafeno torcido: moiré, bandas planas e correlação

Gire uma camada de grafeno de um ângulo θ em relação à outra. Onde os átomos quase coincidem (empilhamento AA) a imagem fica clara; onde se encaixam (AB e BA) fica escura: um padrão de moiré de período L=a/(2sin⁡(θ/2))≃a/θ. Em θ=1,1∘, L=12,8 nm (52 constantes de rede) e a célula do moiré tem cerca de 104 átomos.

Em θm as bandas mais próximas do neutro ficam quase planas, com largura da ordem de 10 meV. Numa banda plana a energia cinética se anula, e o que decide o estado fundamental é a interação de Coulomb, comparada à largura da banda: U/W∼2 em camadas encapsuladas em hBN. Cao et al. (2018) mediram isolantes correlacionados em dois elétrons por célula do moiré (meio preenchimento da banda de moiré) e, dopando um pouco além, supercondutividade com Tc de até 1,7 K num material em que EF é de apenas alguns meV: uma razão Tc/TF gigantesca para um supercondutor. Esse é um dos laboratórios mais limpos para o modelo de Hubbard (Hubbard e correlações) e para a competição entre isolante de Mott e supercondutividade (BCS).

Duas redes triangulares idênticas, de constante a=2,46 Å, a segunda girada de θ em relação à primeira. A geometria dá o período do padrão; o modelo de Bistritzer–MacDonald dá a escala de energia e o ângulo em que as bandas achatam.

O deslocamento local entre as camadas No ponto r da camada 1, o átomo “em cima” na camada 2 está deslocado de u(r)=(Rθ−1)r, com Rθ a rotação. A estrutura local (AA, AB ou BA) só depende de u módulo um vetor de rede: AA é u∈ rede, os átomos de cima coincidem.

Os vetores do moiré O padrão se repete nos vetores Ai com u(Ai)=(Rθ−1)Ai=ai, um vetor primitivo da rede. Como ∣Rθ−1∣=2sin⁡(θ/2) (corda do ângulo θ), Ai=(Rθ−1)−1ai,L=∣Ai∣=a2sin⁡(θ/2)≃aθ. A rede do moiré é triangular, com a mesma simetria, girada de π2+θ2 em relação à rede atômica. Numericamente (conferido em verify_2d.js): θ=1,1∘=0,01920 rad dá 2sin⁡(θ/2)=0,019198 e L=2,46/0,019198=128,1 Å =12,8 nm, cerca de 52 constantes de rede.