Efeito Hall quântico: níveis de Landau, topologia e frações de elétron

Em fevereiro de 1980, Klaus von Klitzing, medindo um transistor MOSFET de silício a ∼1 K e ∼18 T, viu que a resistência Hall não crescia linearmente com o campo: ela formava degraus planos, em valores h/νe2 com ν=1,2,3,… inteiros e uma precisão que ele logo estimou em ∼10−7, depois melhor que 10−9. Duas surpresas. A primeira: a quantização não depende do material, da geometria, da pureza nem da desordem. A segunda: nos platôs a resistência longitudinal é zero. Dois anos depois, Tsui, Störmer e Gossard viram degraus em ν=1/3, frações do que deveria ser a unidade de carga. Esta seção explica os dois efeitos: o inteiro é topologia (um número de Chern); o fracionário é correlação mais topologia (estados de Laughlin, quasipartículas com carga e/3, anyons). Os dois dão a resposta mais precisa da física da matéria condensada à pergunta “o que é conservado por uma deformação suave?”.

Um elétron em campo magnético não pode andar em linha reta: gira em círculos, e as energias permitidas são quantizadas em níveis de Landau, degraus igualmente espaçados, cada um com uma quantidade fixa de lugares por área (um por quantum de fluxo magnético). Quando exatamente um número inteiro de degraus está cheio, os elétrons ficam sem lugar para onde ir e nada os espalha: nenhuma resistência ao longo da amostra, e a resistência transversal vale h/νe2, só constantes da natureza. A desordem parece que deveria estragar isso, mas ela só aprisiona elétrons extras em poças isoladas (estados localizados), que não carregam corrente nem alteram o número de degraus cheios: por isso o valor não muda enquanto o nível de Fermi está numa região de estados localizados. No efeito fracionário, os próprios elétrons se organizam numa configuração coletiva em que o “degrau” vale uma fração, e as excitações carregam uma fração da carga.

Elétrons em campo magnético: níveis de Landau

Um elétron de massa efetiva m∗ num plano, com B=Bz^: as componentes do momento cinético π=p+eA não comutam, [πx,πy]=−iℏeB, e o hamiltoniano π2/2m∗ é um oscilador harmônico. Os níveis de Landau En=ℏωc(n+12) são macroscopicamente degenerados, com eB/h estados por área, um por quantum de fluxo Φ0=h/e.

Um elétron (carga −e, massa efetiva m∗) confinado ao plano xy com campo B=Bz^. O momento cinético é π=p+eA e H=π2/2m∗. O espectro é o de um oscilador harmônico, mas com degenerescência macroscópica (análogo ao oscilador de Mecânica Quântica).

As componentes de π não comutam [πx,πy]=−iℏe (∂xAy−∂yAx)=−iℏeB, então πx e πy são conjugadas como q e p, com ℏef=ℏeB. Definindo a=(πx−iπy)/2ℏeB, vale [a,a†]=1 e H=ℏωc(a†a+12),ωc=eBm∗,En=ℏωc(n+12), n=0,1,2,… O espectro de um oscilador, com frequência igual à de ciclotron clássica. Para GaAs (m∗=0,067 me), ℏωc=1,728 meV por tesla (17,3 meV, ou ≈200 K, a 10 T).

Gauge de Landau: onde estão os estados Com A=(0,Bx,0), H não depende de y, então py=ℏky é um bom número quântico: H=px22m∗+12m∗ωc2 (x−x0)2,x0=−kyℓB2,ℓB=ℏeB. É um oscilador em x centrado em x0, com a mesma energia En para todo ky: cada nível é infinitamente degenerado (no contínuo). O comprimento magnético ℓB=25,66 nm/B[T] é o tamanho do estado fundamental: 25,7 nm a 1 T, 8,1 nm a 10 T.

Contar os estados Numa amostra Lx×Ly com condição periódica em y, ky=2πj/Ly, e o centro x0 precisa cair dentro da amostra: 0<x0<Lx, isto é, um intervalo Δky=Lx/ℓB2. O número de valores permitidos é Nϕ=Ly2π⋅LxℓB2=eBh LxLy=BAΦ0,Φ0=he=4,1357×10−15 Wb. Nϕ é o número de quanta de fluxo através da amostra: um estado por nível por quantum de fluxo. A degenerescência por área é eB/h=2,418×1010 cm−2 T−1.

Fator de preenchimento Com n elétrons por área, ν=n/(eB/h)=nh/(eB) é o número de níveis cheios (com spin degenerado, de dois em dois). Para n=3×1011 cm−2, ν=1 em B=nh/e=12,4 T, ν=2 em 6,2 T, ν=4 em 3,1 T: exatamente as posições dos platôs do widget.

Spin O termo Zeeman ±12g∗μBB separa cada nível em dois, por 0,025 meV/T em GaAs (g∗=−0,44), uma fração de 1,5 % de ℏωc. Por isso os platôs de ν par aparecem primeiro; os de ν ímpar exigem campo alto, ou interação de troca que amplifica g∗.

Resultado. En=ℏωc(n+12), degenerescência eB/h por área (um estado por quantum de fluxo), ν=nh/eB. Em campo forte a energia cinética é congelada em níveis discretos, e as interações e a desordem passam a mandar: a base de todo o efeito Hall quântico.

A resistência Hall clássica e a quântica

No modelo de Drude, em campo B, a resistividade transversal é ρxy=B/ne, uma reta, e ρxx=m/ne2τ independe de B. A condutividade é o inverso do tensor de resistividade, σxy=ρxy/(ρxx2+ρxy2), σxx=ρxx/(ρxx2+ρxy2). Em campo forte, quando σxx→0 (nenhum caminho dissipativo), tem-se o paradoxo de que ρxx=0 e σxx=0 ao mesmo tempo: não há corrente na direção do campo elétrico, e como ρxx=σxx/(σxx2+σxy2)=0, não há queda de tensão ao longo da corrente.

O widget abaixo calcula o experimento em um gás de elétrons de GaAs com densidade fixa. A densidade de estados é uma soma de gaussianas (níveis alargados pela desordem), EF(B) sai de ∫D dE=n por bisseção (não é suposto: gruda em cada nível enquanto ele esvazia), e o transporte segue o modelo de localização nas caudas descrito na legenda: estados estendidos só no centro de cada nível, localizados fora dele. Arraste B e veja σxy e ρxx no painel de leituras: a leitura mostra “platô” quando σxx<0,02 e2/h. Aumente a temperatura ou a desordem e os platôs viram a reta clássica.

Elétrons em GaAs (m∗=0,067 me) com densidade fixa: em campo B cada nível de Landau En=ℏωc(n+12) tem eB/h estados por área, alargados por desordem em gaussianas de largura Γ(B)=Γ0B (aproximação de espalhamento de curto alcance). O nível de Fermi EF(B) sai de ∫D(E) dE=n (aqui calculado de verdade: bisseção sobre a soma de erros gaussianos) e gruda em um nível enquanto ele esvazia. O transporte é um modelo fenomenológico de localização nas caudas: só os estados perto do centro En são estendidos; com largura de transição ξ=(0,22 Γ)2+(1,6 kBT)2, cada nível contribui σxy=gl2 [1+tanh⁡((EF−En)/ξ)] e σxx=gl2 sech((EF−En)/ξ) em unidades de e2/h (lei do semicírculo (σxy−inteiro−12)2+σxx2=14). Depois ρxx=σxx/(σxx2+σxy2), ρxy=σxy/(σxx2+σxy2). Nos platôs, ρxy=h/(νe2) com h/e2=25812.807 Ω (constante de von Klitzing, hoje exata no SI). Aumente g∗ para ver os platôs de ν ímpar surgirem da separação Zeeman; aumente T ou Γ e os platôs viram a reta clássica ρxy=B/ne.

A quantização da condutância Hall independe de desordem, geometria e detalhes microscópicos. Laughlin (1981) mostrou por quê com um argumento de invariância de calibre, sem calcular nada do espectro. Geometria de Corbino: um anel (disco com furo) com campo B perpendicular, o nível de Fermi no gap entre níveis de Landau, e um fluxo Φ enfiado no furo, que varia lentamente.

O fluxo no furo é um calibre Num anel o campo em si não depende de Φ (o fluxo é só através do furo): Φ entra no hamiltoniano como A→A+Φφ^/2πr, uma fase de Aharonov–Bohm para quem dá a volta (Mecânica Quântica). Quando Φ aumenta por um quantum Φ0=h/e, a mudança é uma transformação de calibre: o hamiltoniano H(Φ+Φ0) é unitariamente equivalente a H(Φ), e o espectro volta a si mesmo.

A evolução adiabática transporta elétrons Com Φ variando devagar, cada estado evolui adiabaticamente. Em calibre de Landau cilíndrico, o estado de momento angular m (raio rm, πrm2B=mΦ0) vai se transformando no estado m+1 quando Φ cresce por Φ0: um nível de Landau cheio tem os estados deslocados radialmente para fora por um passo. O resultado líquido, depois de um ciclo, é que um elétron por nível cheio foi movido da borda interna para a externa.

Carga transferida e corrente Hall Com ν níveis cheios, a carga transferida por ciclo de fluxo é ΔQ=νe e a força eletromotriz azimutal gerada é E=−dΦ/dt. A corrente radial é I=dQdt=νe 1Φ0 dΦdt=ν e2h ∣E∣. A razão entre a corrente radial e a tensão azimutal é a condutância Hall: σxy=ν e2h. A quantização é consequência de que as cargas movidas são elétrons inteiros e o número de níveis cheios é um inteiro.

Onde entra a desordem, e por que ela não estraga o resultado Com desordem, os estados em torno do centro de cada nível de Landau permanecem estendidos (e são eles que transportam corrente na tira) enquanto os das caudas se localizam. O argumento acima só precisa de um gap de mobilidade no nível de Fermi: estados localizados são deslocados localmente e retornam ao lugar, sem transferir carga. Se EF está entre os estados estendidos de dois níveis, σxy fica constante, num platô, enquanto B ou n variam por uma faixa larga; o platô termina quando EF alcança os estados estendidos seguintes. Nesse ponto σxx tem um pico (modelo do widget).