Superfluidez: hélio líquido, condensação de Bose–Einstein e vórtices quantizados

Em 1937 Kapitza e, independentemente, Allen e Misener, mediram a viscosidade do 4He líquido abaixo de 2,17 K e encontraram praticamente zero: o líquido passava por capilares de poucos micrômetros sem atrito. A superfluidez é a versão neutra da supercondutividade: um fluido quântico com um parâmetro de ordem complexo, um gap (ou algo equivalente) nas excitações e circulação quantizada. As duas se juntam num fenômeno só quando se nota que um supercondutor é um superfluido de pares de Cooper carregados. A seção segue o fio: o hélio, o modelo de dois fluidos, o critério de Landau, o gás ideal de Bose (onde a condensação é puramente estatística), a realização em átomos ultrafrios, e a equação que descreve os vórtices.

Num fluido normal, uma colher girando na água faz redemoinhos e deixa o fluido em rotação, e a viscosidade perde energia aos poucos. Num superfluido, o escoamento é governado por uma fase quântica θ(r) comum a todo o líquido, e a velocidade é o gradiente dessa fase, v=ℏ∇θ/m. Duas consequências: o fluxo é sem rotação (um gradiente não gira), e quando o fluido gira ele só o faz em vórtices, com circulação exatamente h/m, nem mais nem menos. E como um fluxo uniforme só poderia perder energia criando excitações, e as excitações do hélio custam ao menos uma energia mínima por momento, abaixo de uma velocidade crítica o fluido não tem como perder energia: atrito zero.

Hélio-4: a transição lambda

O 4He é o único elemento que fica líquido até T=0 à pressão ambiente: a energia de ponto zero dos átomos, leves e quase não interagentes, é grande demais para a rede cristalina (só sólido acima de ∼25 atm). Resfriando o líquido, ele ferve vigorosamente até Tλ=2,17 K e então, de repente, se acalma: o calor específico tem o formato da letra grega λ (daí o nome), a condutividade térmica salta milhões de vezes (o hélio líquido abaixo de Tλ conduz calor melhor que o cobre) e o líquido passa a ser He-II, superfluido. A transição é contínua, na classe de universalidade XY em 3D (parâmetro de ordem complexo, O(2)): o expoente do calor específico é α≈−0,013, medido em órbita para evitar o gradiente de gravidade (Lipa et al.), e a densidade superfluida cresce como ρs∝(Tλ−T)2/3.

O modelo de dois fluidos

Tisza (1938) e Landau (1941) descreveram o He-II como a interpenetração de dois fluidos que não se misturam e não são feitos de átomos diferentes. A componente superfluida, de densidade ρs(T) e velocidade vs, não tem viscosidade, não carrega entropia e é irrotacional (∇×vs=0). A componente normal, ρn=ρ−ρs, com velocidade vn, se comporta como um fluido viscoso normal e carrega toda a entropia (é o gás de excitações térmicas: fônons e rótons). Com ρs(0)=ρ e ρs(Tλ)=0. O modelo prevê coisas que ninguém esperava:

O critério de Landau e o espectro de rótons

Por que o superfluido não tem atrito? Landau (1941) respondeu com uma pergunta sobre conservação: um fluido a velocidade v só pode perder energia criando uma excitação de momento ℏq e energia ε(q), e isso exige ε(q)<ℏvq para algum q. Logo o fluxo é estável abaixo da velocidade crítica de Landau

O espectro do He-II, medido por espalhamento inelástico de nêutrons (Yarnell et al., 1959; Cowley e Woods, 1971), é a assinatura do líquido. Tem três regiões: fônons, ε=ℏcq com c=238 m/s para q≲0,7 A˚−1; um máximo (máxon) de 13,9 K (1,20 meV) em q≈1,13 A˚−1; e um mínimo local (rotón) de Δ/kB=8,62 K (0,743 meV) em q0=1,92 A˚−1, onde ε≃Δ+ℏ2(q−q0)2/2μ com μ=0,16 mHe. A origem do rotón é a correlação entre átomos vizinhos (o pico do fator de estrutura estático S(q) em q∼2 A˚−1): Feynman (1954) mostrou que ε≈ℏ2q2/2mS(q) tem mínimo onde S(q) tem máximo.

O widget usa uma parametrização suave e monótona por trechos (interpolação cúbica de Hermite) que passa por esses pontos: ajuste os números e arraste a reta de velocidade ε=ℏvq a partir da origem. A região rosa é onde a reta fica acima do espectro, isto é, onde excitações podem ser criadas espontaneamente. O mínimo numérico de ε/ℏq dá vc=57,9 m/s em q∗=1,98 Å−1 (a estimativa Δ/ℏq0=58,8 m/s, ligeiramente maior; com a parábola exata de rotón, 58,1 m/s). Troque para o gás ideal, em que a reta de qualquer inclinação cruza a parábola (vc=0), e para o gás de Bogoliubov, em que vc=c.

Um fluido que se move com velocidade v só perde energia criando uma excitação de momento ℏq e energia ε(q) se ε(q)−ℏq⋅v<0 para algum q, isto é, se a reta ε=ℏvq passar acima do espectro (região rosa). Logo vc=min⁡qε(q)/ℏq (a inclinação da tangente que sai da origem). He-II: parametrização suave com inclinação de fônon c=238 m/s, máximo de 13,9 K em 1,13 Å⁻¹ e mínimo de rotón Δ/kB=8,62 K em q0=1,92 Å⁻¹ (curvatura ℏ2/2μ, μ=0,16 mHe, em pontilhado): vc≈58 m/s, bem abaixo de c. Gás ideal: ε=ℏ2q2/2m tem vc=0: nenhum fluxo é estável. Bogoliubov (interação repulsiva fraca): ε=εq(εq+2mc2) tem vc=c. Os valores medidos em canais macroscópicos são muito menores que 58 m/s porque vórtices quantizados são criados antes (ver seção).

Ponto de partida: um fluido quântico no estado fundamental, escoando com velocidade uniforme v por um tubo de parede em repouso. Para o fluido perder energia por atrito, a parede precisa criar nele uma excitação. Landau (1941) perguntou: isso é permitido pela conservação de energia e de momento?

Transformação de Galileu No referencial do fluido, a excitação elementar tem momento p=ℏq e energia ε(q). No referencial do tubo, em que o fluido (massa total M) tem velocidade v, as energias são deslocadas por p⋅v: Elab=12Mv2+p⋅v+ε(p)(com excitac¸a˜o),Elab(0)=12Mv2(sem).

A condição para criar uma excitação Pode haver dissipação se a criação diminuir a energia do fluido, ΔE=ε(p)+p⋅v<0. O caso mais favorável é p antiparalelo a v, ΔE=ε(q)−ℏqv<0, ou seja, v>ε(q)/ℏq para algum q: vc=min⁡qε(q)ℏq. Graficamente: é a inclinação da tangente que sai da origem ao gráfico de ε(q). Se v<vc a reta ε=ℏvq está inteira abaixo do espectro e nenhuma excitação pode ser criada: o escoamento é estável, sem viscosidade.

Gás ideal de bósons: vc=0 ε=ℏ2q2/2m e ε/ℏq=ℏq/2m→0 quando q→0. Qualquer velocidade, por menor que seja, pode criar excitações de baixo momento. Um condensado de Bose–Einstein ideal não é superfluido; a superfluidez exige interação (e foi por isso que a conexão entre BEC e superfluidez de He-II só ficou clara com Bogoliubov em 1947).

Bósons com interação fraca (Bogoliubov): vc=c A linearização da equação de Gross–Pitaevskii (próxima derivação) dá ε(q)=εq(εq+2mc2), εq=ℏ2q2/2m, c=gn/m. Como ε2/(ℏq)2=c2+(ℏq/2m)2≥c2, εℏq≥c⟹vc=c (no limite q→0). A velocidade crítica é a do som: o primeiro fônon que pode ser emitido.

He-II: o mínimo do rotón O espectro do hélio líquido (medido por espalhamento de nêutrons, Yarnell et al. 1959, Cowley e Woods 1971) tem fônons até q≈0,7 Å−1 com c=238 m/s, um máximo (máxon) de 13,9 K em 1,13 Å−1 e um mínimo local (rotón) Δ/kB=8,62 K (0,743 meV) em q0=1,92 Å−1, onde ε≃Δ+ℏ2(q−q0)2/2μ, μ=0,16 mHe (a curvatura ℏ2/2μ=37,9 K Å2). O mínimo de ε/ℏq está perto do rotón: vc≈Δℏq0=8,62 K⋅kBℏ⋅1,92 A˚−1=58,8 m/s,vcexato=57,9 m/s (q∗=1,98 A˚−1). Como o mínimo da razão fica um pouco à direita de q0, o valor exato é menor que a estimativa Δ/ℏq0 em ~1,5% (com a parábola de rotón exata, 58,1 m/s). Esse número vale para o espectro parametrizado do widget; a literatura cita ≈58 m/s.

O que se observa de fato Em escoamentos macroscópicos a dissipação começa em velocidades muito menores que 58 m/s, porque o que cria dissipação não é um rotón e sim um vórtice quantizado nucleado numa rugosidade da parede. Estimativa de Feynman: o escoamento em um canal de largura d é instável quando v≳(ℏ/mHed)ln⁡(d/a0), com a0∼2 Å o raio do núcleo do vórtice; para d=1 μm isso dá 0,14 m/s, o que concorda em ordem de grandeza com os ∼cm/s a dm/s medidos. O critério de Landau é uma condição necessária (só excitações elementares) e é atingido quando vórtices não são possíveis, como em canais muito estreitos ou no movimento de íons no He-II a baixa temperatura (onde a criação de rótons aparece em velocidades da ordem de 50 m/s).

Resultado. vc=min⁡qε(q)/ℏq: 0 para o gás ideal, c para o gás de Bogoliubov, ≈58 m/s para o He-II. O widget calcula o mínimo numericamente (seção áurea) sobre a parametrização do espectro, e mostra a região onde a reta ℏvq passa acima do espectro.