Ginzburg–Landau: tipo I e II, vórtices e supercondutores não convencionais

A teoria BCS é microscópica e completa, mas difícil de aplicar a um supercondutor de forma complicada ou num campo magnético não uniforme. Ginzburg e Landau (1950) propuseram, antes de BCS, uma teoria fenomenológica muito mais simples: perto de Tc, o supercondutor se descreve por um parâmetro de ordem complexo Ψ(r), e a energia livre é um funcional de Ψ e do potencial vetor A. Gor'kov (1959) mostrou que ela segue de BCS perto de Tc, com ∣Ψ∣2 proporcional à densidade de pares. É uma teoria de campo no sentido pleno: a energia livre tem a estrutura do modelo de Higgs abeliano da física de partículas, com Ψ no lugar do dubleto de Higgs e A no lugar do fóton. Aqui o que se ganha é o vocabulário de campos clássicos: vórtices (que são cordas topológicas), paredes de domínio e energia de superfície.

Imagine um pano elástico esticado sobre um chapéu mexicano: o pano em repouso se acomoda no vale circular, e em cada ponto tem um módulo (a altura do vale) e uma fase (a posição no círculo). Rodar a fase é grátis em toda parte ao mesmo tempo, mas torcê-la de ponto a ponto custa energia, e a corrente elétrica é proporcional a essa torção. Um campo magnético tenta penetrar. Se o custo de uma parede entre normal e supercondutor for positivo (tipo I), o campo é expulso em blocos grandes. Se for negativo (tipo II), compensa criar muitas paredes, tão finas quanto possível: tubos finos de campo, cada um com um único quantum de fluxo e com a fase do pano girando exatamente uma volta ao redor do tubo. Os tubos se repelem e se organizam numa rede triangular: a rede de Abrikosov.

O funcional e as equações de Ginzburg–Landau

Perto de Tc o parâmetro de ordem é pequeno e varia devagar, então a energia livre pode ser expandida em potências de Ψ e de seu gradiente. A invariância de gauge exige que o gradiente apareça com o acoplamento mínimo −iℏ∇−qA, com q=2e a carga e m∗=2m a massa do par:

Minimizar em relação a Ψ∗ e a A dá as duas equações de GL: uma equação de Schrödinger não linear para o campo e a expressão da supercorrente, em que o gradiente de fase aparece na combinação invariante de gauge ℏ∇θ−qA:

Ponto de partida: o funcional de energia livre de Ginzburg e Landau (1950) para um parâmetro de ordem complexo Ψ(r) (a função de onda macroscópica dos pares, de carga q=2e e massa m∗=2m), válido perto de Tc, onde Ψ é pequeno e varia devagar: F[Ψ,A]=∫d3r[α∣Ψ∣2+β2∣Ψ∣4+12m∗∣(−iℏ∇−qA)Ψ∣2+B22μ0],α=α0(T−Tc), β>0. O termo de gradiente com A é a derivada covariante: o funcional é invariante sob Ψ→eiχΨ, A→A+(ℏ/q)∇χ (a simetria de gauge).

Variando Ψ∗: a primeira equação de GL δF/δΨ∗=0 dá uma equação de Schrödinger não linear: αΨ+β∣Ψ∣2Ψ+12m∗(−iℏ∇−qA)2Ψ=0. Para T>Tc (α>0) a única solução é Ψ=0. Para T<Tc (α<0) o potencial α∣Ψ∣2+β2∣Ψ∣4 tem forma de chapéu mexicano, com mínimo em ∣Ψ0∣2=−α/β: é o mesmo potencial do Higgs, e Ψ é seu campo.

Variando A: a segunda equação (supercorrente) δF/δA=0 e ∇×B=μ0J dão Js=qm∗ Re[Ψ∗(−iℏ∇−qA)Ψ]=qm∗∣Ψ∣2(ℏ∇θ−qA)(Ψ=∣Ψ∣eiθ). A corrente depende do gradiente invariante de gauge ℏ∇θ−qA: a fase do condensado é a variável que carrega a corrente.

Energia de condensação e Hc Em equilíbrio uniforme, Fs−Fn=−α2/2β. Igualando a energia magnética expulsa, μ0Hc2/2 (efeito Meissner), Hc=∣α∣/μ0β, o campo crítico termodinâmico. Quanto mais frio, mais fundo o mínimo e maior Hc.

O comprimento de coerência ξ Perturbe o módulo em torno do mínimo, sem campo: Ψ=Ψ0(1+η). A primeira equação, linearizada, vira ℏ22m∗∇2η=2∣α∣ η, com solução η∼e−2 r/ξ, onde ξ(T)=ℏ2m∗∣α∣ ∝ (1−T/Tc)−1/2. É a escala em que o módulo do parâmetro de ordem se recupera depois de ser forçado a zero (núcleo de um vórtice, parede de domínio). É o análogo do comprimento de Compton do bóson de Higgs (massa mh∝1/ξ).

O comprimento de penetração λ e o efeito Meissner Com ∣Ψ∣=∣Ψ0∣ fixo e θ constante, a segunda equação é a equação de London Js=−(q2∣Ψ0∣2/m∗)A. Em ∇×B=μ0Js: ∇2B=Bλ2,λ=m∗μ0q2∣Ψ0∣2=mμ0nse2 (∣Ψ0∣2=ns2),B(x)=B0e−x/λ. O campo não entra: decai em λ (para ns=1029 m−3, λL=17 nm; λ∝(1−T/Tc)−1/2). É o mecanismo de Higgs do eletromagnetismo: o fóton ganha massa mγ=ℏ/(λc) dentro do supercondutor, e o modo de fase θ (o Goldstone) é absorvido pelo campo A.

O parâmetro de GL e a classificação em tipos ξ e λ têm a mesma dependência em T, então a razão é uma propriedade do material: κ=λξ=m∗ℏq2βμ0 ,κ<12: tipo I,κ>12: tipo II. O limiar 1/2 vem do sinal da energia de superfície de uma parede normal–supercondutora (derivação seguinte). Valores típicos (λ, ξ0 em nm): Al (16, 1600): κ≈0,01, tipo I; Sn (34, 230): 0,15; Pb (37, 83): 0,45, tipo I; Nb (39, 38): κ≈1, tipo II; cupratos como YBCO (λ∼150, ξ∼1–2): κ∼100.

Quantização do fluxo No interior de um anel espesso, a mais de λ das superfícies, Js=0, então ℏ∇θ=qA. Ψ tem de ser unívoca: ∮∇θ⋅dl=2πn, e Φ=∮A⋅dl=2πℏq n=n h2e=n Φ0,Φ0=2,0678×10−15 Wb. O fluxo preso num anel supercondutor é um múltiplo inteiro de h/2e, e não de h/e: a carga dos portadores é 2e (Deaver e Fairbank; Doll e Näbauer, 1961). Em B=1 T, isso dá 4,8×108 quanta por mm2 (uma densidade de 4,8×102 por μm2) e um espaçamento de vórtices de cerca de 49 nm.

Resultado. ξ=ℏ/2m∗∣α∣, λ=m∗/μ0q2∣Ψ0∣2, κ=λ/ξ, Hc=∣α∣/μ0β e Φ0=h/2e. O funcional é a versão estatística do que o potencial de Higgs faz na teoria de campos; a diferença é que aqui F é uma energia livre, não uma ação.

A estrutura revela duas escalas de comprimento. O comprimento de coerência ξ=ℏ/2m∗∣α∣ é o alcance com que o módulo de Ψ varia, e o comprimento de penetração λ=m∗/μ0q2∣Ψ0∣2 o alcance do campo magnético; ambos divergem como (1−T/Tc)−1/2 perto de Tc. A razão é o parâmetro de Ginzburg–Landau κ=λ/ξ, uma propriedade do material.

Tipo I e tipo II

A dependência em κ separa dois comportamentos magnéticos. Um supercondutor expulsa o campo até um campo crítico termodinâmico Hc=∣α∣/μ0β, que equilibra a energia de condensação −α2/2β com a magnética μ0Hc2/2. O que ocorre além disso depende do sinal da energia de superfície de uma parede entre região normal e supercondutora. Se κ<1/2 a energia de superfície é positiva (tipo I): o campo é expulso por inteiro até Hc e então a amostra vira normal de uma vez. Se κ>1/2 é negativa (tipo II): é energeticamente vantajoso criar o máximo de interface possível. Em Hc1<H<Hc2 o campo penetra na forma de tubos finos de fluxo quantizado: os vórtices de Abrikosov (Nobel 2003). O supercondutor continua sem resistência até Hc2, que pode ser muito maior que Hc.

Vórtices de Abrikosov

A estrutura de um vórtice é simples. No núcleo, de raio ξ, ∣Ψ∣ vai a zero. Em torno dele a fase gira 2π, e como Ψ é unívoca, o fluxo de B por qualquer laço que o envolve em região de supercorrente nula é um múltiplo inteiro do quantum de fluxo Φ0=h/2e=2,068×10−15 Wb; cada vórtice carrega exatamente um. Supercorrentes circulam em torno do núcleo e decaem em λ. Dois vórtices se repelem, e o resultado é a rede de Abrikosov, triangular (a de menor energia; Abrikosov originalmente achou a quadrada, e a correção é de Kleiner, Roth e Autler, 1964), de espaçamento a=1,075Φ0/B: em B=1 T, a=49 nm e 484 vórtices por μm2. Os campos críticos são

O widget abaixo simula a equação de GL dependente do tempo numa caixa periódica de 16 ξ de lado, com Nϕ quanta de fluxo atravessando-a (de modo que o campo é B=2πNϕ/L2, em unidades em que Bc2=1). A condição de contorno é uma translação magnética, a única compatível com um campo uniforme numa caixa periódica, e a aproximação é a de κ→∞: o potencial vetor é fixo e o campo não é blindado, o que vale para H perto de Hc2. A partir de ruído, vórtices nucleiam e relaxam. O widget conta, plaqueta por plaqueta, o enrolamento de fase: na caixa toda, o total é sempre Nϕ, e ao fim os Nϕ são vórtices simples, dispostos numa rede quase triangular.

1. Equação de GL dependente do tempo, ∂tψ=(1−∣ψ∣2)ψ+(∇−iA)2ψ, com comprimentos em ξ, num campo uniforme B=2πNϕ/L2 (B/Bc2=B) e condições periódicas magnéticas (translação magnética; BL2 múltiplo de 2π). Aproximação: κ→∞, o potencial vetor é fixo e o campo não é blindado; vale para H perto de Hc2, onde os vórtices se sobrepõem. A partir de ruído aleatório, vórtices nucleiam e relaxam para uma rede quase triangular; ψ6 mede a ordem hexática (1 = triangular perfeita; uma caixa quadrada periódica nunca comporta uma rede perfeita). A contagem por enrolamento de fase em cada plaquette dá sempre N+−N−=Nϕ, e na rede relaxada N+=Nϕ. A relaxação é lenta: defeitos (pares 5–7) podem ficar presos, e “agitar” os dissolve. 2. Perfil de ∣ψ∣ e B(x) numa interface a H=Hc resolvido por relaxação das equações κ−2f′′=A2f+f3−f, A′′=f2A; a energia de superfície é a integral da densidade de energia livre de Gibbs: positiva para κ<1/2 (tipo I, as paredes custam energia), negativa para κ>1/2 (tipo II, formar vórtices é favorável).