Transições de fase e fenômenos críticos

Uma transição de fase é o lugar onde uma variação pequena de um parâmetro (temperatura, pressão, campo, dopagem) muda a qualidade do estado macroscópico: água vira gelo, ferro perde o magnetismo, um metal vira supercondutor. Perto de uma transição contínua o sistema esquece seus detalhes microscópicos. O comprimento de correlação ξ diverge, as flutuações têm todas as escalas, e as grandezas medidas seguem leis de potência cujos expoentes só dependem da dimensão, da simetria do parâmetro de ordem e do alcance das forças. É por isso que ímãs, fluidos e ligas compartilham números, e é por isso que uma teoria de campos, que esquece tudo menos a escala, descreve todos eles: a ponte direta com o grupo de renormalização do módulo Renormalização.

Aqueça um ímã. Longe da temperatura crítica, cada átomo-bússola só “sente” os vizinhos mais próximos, e dois átomos distantes se ignoram. Perto da temperatura crítica, uma bússola que gira arrasta as vizinhas, que arrastam as vizinhas delas: o grupo de átomos que se mexem juntos cresce sem limite. Nesse ponto, olhar o ímã de perto ou de longe dá a mesma imagem estatística (invariância de escala), e as leis que o governam não dependem de se o material é ferro, um fluido ou uma liga. Só importa em quantas dimensões ele vive e que tipo de seta (um eixo, um plano, uma esfera) cada átomo carrega. Essa é a universalidade. A transição quântica é a mesma história a temperatura zero, onde o papel da agitação térmica é feito pela incerteza quântica.

Classificação das transições

Teoria de Landau

A ideia de Landau (1937) é que uma fase ordenada é definida por uma simetria quebrada e que perto da transição a energia livre é uma série de potências do parâmetro de ordem φ (φ é um escalar para uma transição de Ising, um número complexo para um superfluido, um vetor para um ímã de Heisenberg), com coeficientes suaves em T. A simetria só permite certas potências: sem campo e com φ→−φ, só pares.

Se b>0 a transição é contínua e φ∝(Tc−T)1/2. Se b<0 a energia livre ganha um segundo mínimo, e para Tc<T<Tc+b2/3ac o estado ordenado existe como metaestável: a transição é de primeira ordem em T1=Tc(1+b2/4ac), com salto do parâmetro de ordem, calor latente e histerese. Em b=0, as duas se encontram num ponto tricrítico. A forma F(φ) com a(T−Tc)<0 é o chapéu mexicano do mecanismo de Higgs, lido ao contrário: o campo de Higgs é o parâmetro de ordem de uma transição, e o potencial efetivo a temperatura finita mostra por que, para mH=125 GeV, a transição eletrofraca é um crossover e não uma transição de primeira ordem.

Parâmetro de ordem φ (um escalar, com a simetria φ→−φ), campo conjugado h. A energia livre é uma série em φ, com coeficientes analíticos em T: F=F0+a(T−Tc)φ2+bφ4+cφ6−hφ, com a,c>0. Só o sinal do coeficiente do termo quadrático muda com T; b decide a ordem da transição.

b>0: o expoente β=12 Com τ=T−Tc, c é irrelevante perto de Tc. Em h=0: ∂F/∂φ=2aτφ+4bφ3=0 tem a solução φ=0 e, para τ<0, φeq2=−aτ2b ⇒ φeq∝(Tc−T)1/2,β=12,Fmin=−a2τ24b.

Calor específico: um degrau A entropia S=−∂Fmin/∂T=a2τ2b para τ<0 e 0 acima: é contínua, mas a derivada tem salto. C=T ∂S/∂T pula em Tc de ΔC=a2Tc2b; sem divergência, α=0. Em supercondutores convencionais é o salto de BCS (Ginzburg–Landau).

Suscetibilidade e δ Com h pequeno, ∂F/∂φ=h dá h=2aτφ+4bφ3. Então χ−1=∂h/∂φ=2aτ+12bφ2, igual a 2aτ acima de Tc e a −4aτ abaixo (use φ2=−aτ/2b): χ=12a(T−Tc) (T>Tc),χ=14a(Tc−T) (T<Tc),γ=1. A razão de amplitudes é 2, universal em campo médio. Em T=Tc, h=4bφ3: δ=3.

b<0: o φ6 estabiliza e a transição vira de primeira ordem Com x=φ2, F=aτx+bx2+cx3 e ∂F/∂φ=2φ (aτ+2bx+3cx2), logo os pontos estacionários são φ=0 e x±=−b±b2−3acτ3c (mínimo para +, máximo para −). O estado ordenado existe como mínimo local para τ<b2/3ac (espinodal), mas só vence φ=0 quando Ford<0. Mínimo ordenado de energia zero ⇔ aτ+bx+cx2=0 e aτ+2bx+3cx2=0; subtraindo, bx+2cx2=0: φ12=−b2c,τ1=T1−Tc=b24ac,τsp=b23ac>τ1>0. Em T1 os dois mínimos (φ=0 e ±φ1) têm a mesma energia e o parâmetro de ordem salta de 0 a φ1. Entre Tc e Tsp coexistem metaestáveis: histerese.

Calor latente Pelo teorema do envelope, ∂Fmin/∂T=aφeq2 (a derivada em φ é zero no mínimo). Logo a entropia S=−aφeq2 cai de aφ12 na ordenação: ΔS=a ∣b∣2c,L=T1 ΔS=Tc(1+b24ac)a∣b∣2c. Conferido numericamente por diferenças finitas de Fmin(T) em b=−1,−0,5,−0,2 (verify_crit.js): o salto da inclinação é ∣b∣/2c até 5 dígitos. Em unidades a=Tc=c=1 e b=−1: T1=1,25 Tc, φ1=0,707, ΔS=0,5, L=0,625.

b=0: o ponto tricrítico Em b=0 o φ6 controla: x2=−aτ/3c, isto é, φ∝∣τ∣1/4, βt=14. Além disso h=6cφ5 dá δ=5 e Fmin=23aτ x∝−∣τ∣3/2 dá C∝∣τ∣−1/2, αt=12 (γ=1 segue de χ−1=2aτ). Para b pequeno positivo, o expoente efetivo passa de 14 (longe de Tc, onde domina o φ6) a 12 (∣τ∣≪b2/ac): o crossover tricrítico visto no gráfico log–log do widget (medido 0,27 a ∣r∣∼0,1, 0,41 em 10−3 e 0,50 em 10−6 para b=0,05).

Quando a teoria de campo médio vale A teoria de Landau ignora flutuações de φ. O critério de Ginzburg compara a energia de flutuação num volume ξd com a energia de condensação: o campo médio vale para ∣t∣≫tG, e só se d>du, a dimensão crítica superior (du=4 para φ4; du=3 no tricrítico). Em supercondutores convencionais, tG é muitíssimo menor que 1 (o comprimento de coerência ξ0 é enorme), e Landau vale até quase Tc; no hélio superfluido tG∼1 e as flutuações dominam. O resultado é a teoria de escala e o grupo de renormalização da próxima derivação.

Resultado. b>0: transição contínua, β=12, γ=1, δ=3, α=0 com salto ΔC=a2Tc/2b. b<0: primeira ordem em T1=Tc(1+b2/4ac), salto φ1=−b/2c, ΔS=a∣b∣/2c, histerese até Tc(1+b2/3ac). b=0: tricrítico, β=14, δ=5, α=12.

Parâmetro de ordem φ e energia livre F=a(T−Tc)φ2+bφ4+cφ6 (aqui a=Tc=c=1, de modo que r=T/Tc−1). b>0: o mínimo sai de zero continuamente, φ≃−r/2b (β=12), com salto de calor específico ΔC/T=a2/2b. b<0: o φ6 estabiliza; a transição é de primeira ordem em T1=Tc(1+b2/4ac), onde dois mínimos têm a mesma energia: o parâmetro de ordem salta de 0 a −b/2c, a entropia salta ΔS=a∣b∣/2c e o calor latente é L=T1ΔS. Entre Tc e Tsp=Tc(1+b2/3ac) o estado ordenado ainda existe como metaestável (histerese). b=0: ponto tricrítico, φ∼∣r∣1/4. No gráfico log–log, o expoente efetivo faz a transição de 1/4 (longe) para 1/2 (muito perto de Tc) quando b é pequeno: é o crossover tricrítico. Embaixo, os expoentes de cada classe de universalidade; os números vêm de campo médio, da solução exata de Onsager e do bootstrap conforme (Ising 3D); XY e Heisenberg 3D são de Monte Carlo e bootstrap (4 casas).

No widget, mova T e b. Com b>0 (por exemplo b=0,5), o mínimo nasce em Tc e cresce como Tc−T. Com b<0, em T1 aparecem dois mínimos iguais e o estado salta; arraste T por esse ponto e leia o salto φ1, o calor latente e a janela de histerese. O botão log–log mostra o expoente efetivo de φ, que vai de 12 perto de Tc a 14 longe dele quando b→0+ (o crossover tricrítico). Em 3He–4He, a linha de transição λ vira de primeira ordem num ponto tricrítico a T≈0,87 K, o exemplo clássico.

Expoentes críticos e universalidade

Perto de uma transição contínua, com t=(T−Tc)/Tc, as grandezas seguem leis de potência:

Os expoentes não são seis números independentes: dois bastam, os outros saem das relações de escala (derivação abaixo, de uma única hipótese de homogeneidade da energia livre):

Seis expoentes (α,β,γ,δ,ν,η) descrevem uma transição, mas só dois são independentes. A razão é uma única hipótese: perto do ponto crítico a energia livre singular é uma função homogênea de t=(T−Tc)/Tc e do campo h. O grupo de renormalização de Wilson mostra que yt e yh são os autovalores de dilatação dos dois operadores relevantes (a temperatura e o campo).

A hipótese Mudar a escala de comprimento por um fator b (agrupar blocos de spins, como em Ising e blocos) leva t→bytt, h→byhh e a energia livre por volume f→bdf: fs(t,h)=b−d fs(bytt, byhh)para todo b>0.

Calor específico e α Escolha b=∣t∣−1/yt: fs=∣t∣d/yt Φ±(h/∣t∣yh/yt). Em h=0, C=−∂2f/∂t2∼∣t∣d/yt−2, então α=2−dyt.

Magnetização e β m=−∂f/∂h em h→0: m∼∣t∣(d−yh)/yt, logo β=d−yhyt.