O líquido de Fermi e além

Num metal, a energia de Coulomb entre elétrons é da ordem da energia cinética. Pela teoria das bandas independentes não deveria dar certo, e no entanto o calor específico C=γT, a susceptibilidade de Pauli e a resistividade ρ∝T2 do gás livre de Sommerfeld (O gás de elétrons livres) continuam valendo, com parâmetros renormalizados. Landau explicou em 1956 (Fermi líquido): as excitações de baixa energia de um sistema de férmions interagentes são quasipartículas em correspondência um a um com as do gás livre. A linguagem é a das funções de Green da TQC (Funções de Green, LSZ e a matriz S): o peso Z da quasipartícula é o resíduo do polo do propagador, e a auto-energia é a soma das funções 1PI de As funções 1PI. Esta seção mostra a teoria, resolve o som zero do 3He, simula a medida direta (ARPES) e termina nos três lugares onde ela falha.

Um elétron que anda por um metal não anda sozinho: ele empurra os vizinhos, que se rearranjam e o acompanham, como uma pessoa abrindo caminho numa multidão. O conjunto, elétron mais a perturbação que carrega, comporta-se como uma partícula nova: a quasipartícula, mais pesada (arrasta a multidão) e com tempo de vida finito. Perto do nível de Fermi, tudo em volta já está ocupado, e o princípio de exclusão impede quase todas as colisões, de modo que a quasipartícula dura muito: quanto mais perto de EF, mais. Quando isso falha (1D, metais estranhos), o elétron perde a identidade e nenhum pico estreito sobrevive no espectro.

Continuidade adiabática: a ideia de Landau

Ligue a interação devagar, partindo do gás livre. Se o gás de Fermi evolui continuamente (sem transição de fase), cada estado de partícula livre ∣kσ⟩ se transforma num estado da quasipartícula de mesmo momento, spin e carga. A distribuição nkσ das quasipartículas determina a energia, e Landau a desenvolveu em torno do estado fundamental:

O ingrediente que justifica tudo é o princípio de exclusão. Uma quasipartícula de energia ε acima de EF só pode decair em estados vazios, e a conservação de energia deixa um volume de fase ∝ε2 (derivação adiante): a largura ℏ/τ∝ε2 é muito menor que a energia ε quando ε→0. As quasipartículas são excitações bem definidas só perto da superfície de Fermi. Longe dela, o conceito se dissolve.

Parâmetros de Landau e o que preveem

A interação f(θ)=∑lflPl(cos⁡θ) é expandida em polinômios de Legendre, e os coeficientes adimensionais Fls,a=N∗(0)fls,a (com N∗(0)=m∗kF/π2ℏ2 a densidade de estados em EF) fixam todas as respostas de baixa energia. Os mais importantes:

A teoria de Landau não calcula fkσ,k′σ′: toma-a como dado e prediz as relações entre grandezas medidas. Aqui, as três mais usadas. Notação: εkσ é a energia da quasipartícula na presença de outras, n0 a distribuição de equilíbrio, vF=ℏkF/m∗, N∗(0)=m∗kF/(π2ℏ2) a densidade de estados (dois spins) em EF e Fls,a=N∗(0)fls,a com fkσ,k′σ′=fs(θ)+fa(θ) σ⋅σ′, fs,a(θ)=∑lfls,aPl(cos⁡θ).

A energia depende da ocupação dos outros Perturbando a distribuição de n0 para n0+δn, a energia de cada quasipartícula muda por δεkσ=∑k′σ′fkσ,k′σ′ δnk′σ′. Perto de EF, δnk′=−∂n0∂ε u(k^′), com u o deslocamento local da superfície de Fermi, e ∑k′→N∗(0)∫dε dΩ′/4π.

Compressibilidade: κ/κ0=(m∗/m)/(1+F0s) Eleve o potencial químico por δμ. Cada estado perto de EF é preenchido segundo seu ε já deslocado por δε: δnk=−∂n0∂ε(δμ−δεk). Só o harmônico l=0 de fs importa (a perturbação é isotrópica): δε=f0s δn por partícula, onde δn=δN/V. Então δn=N∗(0)(δμ−f0s δn) ⇒ ∂n∂μ=N∗(0)1+F0s,κκ0=N∗(0)/(1+F0s)N(0)=m∗/m1+F0s. F0s>0 (repulsão) diminui a compressibilidade; F0s→−1 a faz divergir (separação de fases).

Susceptibilidade de spin: χ/χ0=(m∗/m)/(1+F0a) Num campo B, a energia de cada spin σ=±1 é εkσ=εk−σμBB+δεσ, e a magnetização é M=μB δns com δns=δn↑−δn↓. Somando sobre σ′, a parte fs cancela entre os spins e a parte faσσ′ dá δεσ=σf0a δns. Cada spin tem densidade de estados N∗(0)/2, então δnσ=12N∗(0) (σμBB−δεσ) e, subtraindo: δns=N∗(0)(μBB−f0a δns) ⇒ M=μB2N∗(0)1+F0a B,χχ0=m∗/m1+F0a,χ0=μB2N(0). F0a<0 (a interação favorece spins paralelos) aumenta χ; F0a→−1 é a instabilidade ferromagnética de Stoner. A razão de Wilson é W=χ/χ0γ/γ0=11+F0a, pois γ∝N∗(0)∝m∗: W=1 sem interação e W≈3,3 no 3He com F0a=−0,70.

Massa efetiva: invariância galileana Num sistema de partículas de massa m, o momento total é m vezes a corrente de partículas. Dê um empurrão u ao líquido todo: as quasipartículas se deslocam em momento por mu, então δnk=−∂n0∂ε vk⋅mu,jpart=n u. (A segunda igualdade diz que, depois do empurrão, todas as partículas se movem com velocidade u.) Na teoria de Landau, a corrente de partículas é j=∑knk ∂εk/∂ℏk, e ao primeiro ordem em δn ela tem dois termos: o de transporte e o de fluxo reverso (backflow) causado por δε, porque a velocidade de cada quasipartícula depende da ocupação das outras: j=∑kvk δnk+∑k(−∂n0∂ε)vk δεk. Com δn do empurrão, o primeiro termo vale m u N∗(0)vF23=m u nm∗ (porque N∗(0)vF2/3=kF3/3π2m∗=n/m∗). No segundo, δεk=∑f δn só tem componente cos⁡θ e entra f1s: a média angular ∫dΩ′4πf(θ)cos⁡θ′=13f1cos⁡θ dá m u nm∗F1s3. Impondo j=nu: 1=mm∗(1+F1s3) ⟹ m∗m=1+F1s3. Como γ=π23kB2N∗(0)∝m∗, o calor específico a baixa temperatura mede m∗. No 3He a pressão nula, F1s≈5,4 dá m∗/m≈2,8.

Resultado. m∗/m=1+F1s/3, κ/κ0=(m∗/m)/(1+F0s), χ/χ0=(m∗/m)/(1+F0a), W=1/(1+F0a). Quatro grandezas, três números (F0s,F1s,F0a); a estabilidade exige Fls,a>−(2l+1), o critério de Pomeranchuk.

Estabilidade: Pomeranchuk e Stoner

O líquido de Fermi é estável se nenhuma deformação da superfície de Fermi baixa a energia. Para uma deformação de harmônico l, a energia varia como (1+Fl/(2l+1)) vezes um termo positivo, e Pomeranchuk (1958) concluiu que a estabilidade exige

O widget abaixo calcula essas relações. Os três controles são F0s, F1s e F0a; o mapa mostra a região estável no plano (F0s,F0a) colorida por quão perto de uma divergência o sistema está, as barras mostram os observáveis em escala logarítmica (note κ/κ0<1 para repulsão e χ/χ0>1 para F0a<0), e o terceiro painel resolve o som zero (próximo bloco). Comece nos valores do 3He e arraste F0a para −1 para ver a susceptibilidade divergir.

Parâmetros adimensionais Fl=N(0)fl (densidade de estados na superfície de Fermi). Observáveis: m∗/m=1+F1s/3, κ/κ0=(m∗/m)/(1+F0s), χ/χ0=(m∗/m)/(1+F0a) e razão de Wilson W=(χ/χ0)/(γ/γ0)=1/(1+F0a). Estabilidade (Pomeranchuk): Fls,a>−(2l+1); F0s→−1 é separação de fases (κ→∞), F0a→−1 é o critério de Stoner (χ→∞). Som zero: modo coletivo de densidade da superfície de Fermi, sem colisões (ωτ≫1), solução de 1/F0s=s2ln⁡s+1s−1−1 com s=c/vF (aqui resolvida também com o termo F1s, equação 1−F0w0−F1(s2w0−13)−13F0F1w0=0, w0=s2ln⁡s+1s−1−1; conferida contra a equação cinética discretizada em 500 ângulos). Só existe para F0s>0 e sempre com s>1, fora do contínuo partícula–buraco ∣s∣<1. Velocidade em m/s usa pF do 3He à pressão de vapor (n=1,64×1028 m−3) e vF=pF/m∗; os valores de Fl do 3He são aproximados (Greywall, 1983) e dependem de quem os extrai.

Som zero: uma onda da própria superfície de Fermi

Num gás de Fermi ideal, sem colisões, não há som. Num líquido de Fermi existe um modo coletivo mesmo sem colisões: o som zero, em que a superfície de Fermi se deforma e relaxa de forma coerente, com cada ponto sentindo as quasipartículas vizinhas pela interação F0. Ele aparece quando ωτ≫1; no regime colisional (ωτ≪1) o líquido se comporta como um fluido ordinário e o som é o primeiro som, hidrodinâmico. A velocidade do modo, c=s vF, é a raiz da equação cinética de Landau (a mesma regra de ouro fixa τ):

Num líquido de Fermi sem colisões (ωτ≫1) pode propagar-se uma deformação coletiva da superfície de Fermi, o som zero. Não é um modo de spin (como às vezes se escreve): é uma onda de densidade, em que a superfície de Fermi oscila de forma e tamanho. Parte-se da equação cinética de Landau, que é a equação de Boltzmann para quasipartículas cuja energia depende da distribuição.

Equação cinética linearizada Com n=n0+δn e ε=ε0+δε, δεk=∑k′fkk′δnk′, a equação ∂tn+∇kε⋅∇rn−∇rε⋅∇kn=0 se linearizada dá ∂tδnk+vk ⁣⋅ ⁣∇δnk−∂n0∂ε vk ⁣⋅ ⁣∇δεk=0. (o último termo é a força −∇δε das outras quasipartículas, que não existe num gás ideal).