Quasipartículas, excitações coletivas e sondas

Um cristal tem 1023 elétrons e núcleos interagentes, e ninguém resolve esse problema. O que se faz é perguntar o que acontece quando se perturba o estado fundamental um pouco, e descobrir que as excitações de baixa energia se comportam como partículas livres, com massa, carga, spin e tempo de vida próprios, e que não são nem elétrons nem núcleos. Essas são as quasipartículas, e um número finito delas (fônons, mágnons, polarons, éxcitons, plásmons, rotons, quasipartículas de Bogoliubov, anyons) é o vocabulário da matéria condensada. Esta seção organiza esse vocabulário, mostra como a função dielétrica de um gás de elétrons gera plásmons, blindagem e polaritons, resume os métodos que calculam tudo isso e as sondas que o medem, e fecha a Matéria Condensada.

Uma pessoa atravessando uma festa lotada não anda sozinha: ela empurra os vizinhos, que se afastam, e uma pequena nuvem de gente se forma e a acompanha. Quem a observa de longe vê um “personagem” que se desloca, mais pesado que a pessoa sozinha, às vezes mais lento, e que acaba se cansando e se dissolvendo no mar de gente. Esse personagem é a quasipartícula: a pessoa mais a nuvem. O elétron num metal arrasta uma nuvem de outros elétrons; no cristal iônico, uma nuvem de distorção da rede (um polaron). A luz que entra num cristal pode se misturar com uma vibração da rede e virar um “fóton-vibração” híbrido (um polariton). E a própria vibração coletiva de todos os elétrons de um metal é uma onda que, quantizada, é o plásmon. O que a teoria faz é contar essas figuras e prever como elas se comportam.

O conceito de quasipartícula

O paradigma foi estabelecido por Landau na teoria do líquido de Fermi (1956): se a interação é ligada adiabaticamente, os estados de uma partícula livre evoluem continuamente para estados de quasipartícula com os mesmos números quânticos (carga, spin, momento), mas com massa efetiva renormalizada m∗, tempo de vida finito τk e peso espectral Zk<1, a fração do estado verdadeiro que ainda é “a partícula original”. Tudo isso está codificado na função de Green de uma partícula (a mesma função de dois pontos, ou propagador, que a teoria de campos usa, e a série de Dyson soma os diagramas irredutíveis de uma partícula de 1PI).

A quasipartícula é bem definida enquanto a largura é muito menor que a energia, ℏ/τ≪ϵ∗. Num líquido de Fermi, Im Σ∝−(ω2+π2kB2T2) perto da superfície de Fermi, de modo que ℏ/τ cai como ω2, mais rápido que a energia: a quasipartícula fica cada vez melhor definida quanto mais perto de ϵF. A sonda direta é a fotoemissão resolvida em ângulo (ARPES, descrita no fim), que mede A(k,ω) (líquido de Fermi).

Catálogo de quasipartículas

A tabela dá nomes e números; a galeria mostra o movimento. Cada aba é uma simulação pequena, não um desenho: a rede vibra com a dispersão de verdade, o buraco anda porque os elétrons saltam para trás, o spinon e o holon se separam porque viajam com velocidades diferentes. Escolha a quasipartícula nas abas ou percorra todas com próxima.

Cada coluna é um plano atômico (leves e pesados alternados) e o cristal inteiro obedece à cadeia diatômica exata: ω2=K (m+M)±(m+M)2−4mMsin⁡2(qa/2)mM. No ramo acústico os dois tipos de plano andam em fase; no óptico andam em oposição (perto de q=0, m um+M uM≈0). Em pacote de ondas, as cristas (linhas âmbar) correm a vf=ω/q enquanto o envelope avança a vg=dω/dq, e no limite da zona (q=π/a) o pacote para. O fônon é o quantum dessa vibração, com energia ℏω.

Polarons

Um elétron num cristal iônico polariza a rede ao redor de si, e arrasta a nuvem de fônons virtuais que cria: elétron mais nuvem é o polaron. Em acoplamento fraco (Fröhlich), a constante α mede a intensidade da interação com os fônons ópticos longitudinais (LO), os mesmos que aparecem na relação de Lyddane–Sachs–Teller, mais adiante:

Éxcitons

Um elétron promovido à banda de condução deixa um buraco na de valência, e os dois se atraem por Coulomb blindado pelo meio: um átomo de hidrogênio dentro do cristal. A série de níveis é a de Rydberg com a massa reduzida μ=(me−1+mh−1)−1 e a constante dielétrica εr:

Se aB∗≫a (constante de rede), o par é fracamente ligado e espalhado por muitos átomos: éxciton de Wannier–Mott (semicondutores, εr grande, μ pequeno). Se aB∗∼a, o par fica numa única molécula: éxciton de Frenkel (cristais moleculares e orgânicos, gases raros sólidos, Eb∼0,5–1 eV). Há um intermediário, de transferência de carga, em que o elétron e o buraco estão em moléculas vizinhas.

Plásmons

No gás de elétrons, a densidade pode oscilar coletivamente: as cargas deslocadas criam um campo restaurador que as puxa de volta, e o resultado é uma oscilação em ωp independente de q no limite longo. Quantizada, é o plásmon. Num cálculo mais fino (derivação abaixo), a dispersão é de Bohm–Gross:

Resposta linear e a função dielétrica de Lindhard

A resposta de um sistema a uma perturbação externa é descrita pela função dielétrica ε(q,ω), que diz o quanto o meio desfaz um campo aplicado: Veff=Vext/ε. Na aproximação de fase aleatória (RPA), ε=1−vqχ0, onde vq=e2/ε0q2 é a interação de Coulomb e χ0 a susceptibilidade de partículas livres, de Lindhard:

Em ω=0 e q→0, ε→1+qTF2/q2 e o potencial de uma carga é um Yukawa, V(r)=Ze24πε0e−qTFrr (blindagem de Thomas–Fermi): é o análogo, em matéria condensada, da blindagem de carga do vácuo que o grupo de renormalização faz correr (o widget vacuum-screening de lá): lá o vácuo é um dielétrico de pares virtuais, aqui um meio de pares elétron–buraco reais, e em ambos o potencial de Coulomb vira Yukawa de alcance curto. Em ambos a função dielétrica depende da escala de momento.

Gás de elétrons livres em 3D a T=0, com densidade n=kF3/3π2, ϵF=ℏ2kF2/2m, vF=ℏkF/m, densidade de estados (os dois spins) N(0)=mkF/π2ℏ2=3n/2ϵF. Perguntamos como a densidade responde a um potencial V(q,ω) e como as cargas se blindam.

A resposta de partículas livres A teoria de perturbação de primeira ordem em V dá a susceptibilidade de densidade δn=χ0V, com χ0(q,ω)=2∫d3k(2π)3 f(ϵk)−f(ϵk+q)ℏω+ϵk−ϵk+q+iη. Cada termo é uma excitação de partícula–buraco: um elétron sai de k (ocupado) para k+q (vazio). A parte imaginária, −Im χ0=2π∫d3k(2π)3[fk−fk+q] δ(ℏω+ϵk−ϵk+q), é diferente de zero só se existe um par com momento q e energia ℏω: o contínuo de partícula–buraco ∣ℏ2(q2−2qkF)/2m∣≤ℏω≤ℏ2(q2+2qkF)/2m (em unidades de ϵF: Q2±2Q com Q=q/kF).

A forma fechada Com z=q/2kF e u=ω/qvF, a integral dá, para χ0=−N(0) Φ(z,u), Φ=12+18z{[1−(z−u)2]ln⁡∣z−u+1z−u−1∣+[1−(z+u)2]ln⁡∣z+u+1z+u−1∣},Im Φ={π2uu<1−zπ8z[1−(z−u)2]∣1−z∣<u<1+z0fora Conferências numéricas (verify_qp.js): a mesma fórmula com ω→ω+iη complexo reproduz a expressão real com erro <10−6 quando η→0; Φ(z→0,0)=1 (isto é, χ0→−N(0), a compressibilidade); Φ(z,0)=12 em z=1.

Regra de soma f −Im χ0 é ímpar em ω, então ∫0∞ω(−Im χ0) dω=12∫−∞∞. O delta fixa ℏω=ϵk+q−ϵk=ℏ2(q2+2k⋅q)/2m; trocando k→−k−q no termo com fk+q, os dois termos se somam e sobra 2∑kσfk(ϵk+q−ϵk)=nℏ2q2/m (o termo k⋅q se anula na média sobre a esfera de Fermi). Com o fator π/2: ∫0∞ω (−Im χ0(q,ω)) dω=πnq22m ⟺ ∫0∞W Im Φ dW=2π3Q2(W=ℏω/ϵF). Verificado por quadratura direta em Q=0,2;0,6;1;1,7;2,6 (erro relativo <10−4). A mesma regra vale para a resposta exata do sistema interagente, porque só usa a conservação do número e o duplo comutador [[H,ρq],ρ−q], que não depende da interação.

RPA e blindagem estática O elétron responde ao potencial total (externo mais o induzido). Resolver essa auto-consistência de campo médio (“fase aleatória”) dá χ=χ0/(1−vqχ0) e, para a função dielétrica ε=Vext/Vtot, com vq=e2/ε0q2, ε(q,ω)=1−vqχ0=1+qTF2q2 Φ(z,u),qTF2=e2N(0)ε0=3ne22ε0ϵF. Em ω=0 e q→0, Φ→1: ε=1+qTF2/q2, o potencial é V(q)=Vext/ε=e2/[ε0(q2+qTF2)], a transformada de um Yukawa e−qTFr/r: blindagem de Thomas–Fermi, de alcance 1/qTF. (Nota: o texto-fonte escreve qTF2=e2N(ϵF)/ε0=6πne2/ε0ϵF, que mistura unidades: em CGS, qTF2=4πe2N(0)=6πne2/ϵF; em SI, e2→e2/4πε0 e fica 3ne2/2ε0ϵF.) Para o cobre, n=8,47×1028 m−3, ϵF=7,03 eV: qTF=1,81 Å−1, alcance 0,55 Å, menor que a distância entre átomos. Em unidades do gás: (qTF/kF)2=4/(πkFa0)=0,663 rs.