Supercondutividade: fenomenologia e a teoria BCS

Em 1911 Kamerlingh Onnes mediu a resistência do mercúrio e viu-a cair a zero, abruptamente, em 4,2 K. Durante quase cinquenta anos o fenômeno resistiu a qualquer explicação, apesar de Landau, Bloch, Feynman e Heisenberg tentarem. A teoria veio em 1957, de Bardeen, Cooper e Schrieffer (Nobel 1972), e tem uma estrutura que reaparece por toda a física: uma instabilidade de um estado normal (o mar de Fermi) para qualquer atração, um novo estado fundamental com um parâmetro de ordem Δ de fase definida, excitações com gap (as quasipartículas de Bogoliubov) e modos coletivos que lembram, em formas precisas, o campo de Higgs (mecanismo de Higgs). Esta seção traça o caminho do fenômeno à teoria microscópica; a seguinte, Ginzburg–Landau, descreve o mesmo estado de forma efetiva, em termos de um campo Ψ(r).

Num metal normal os elétrons andam sozinhos e, a cada tropeção numa impureza ou numa vibração da rede, perdem um pouco de energia: resistência. No supercondutor, uma atração fraca mediada pelas vibrações da rede junta os elétrons em pares. O truque é que os pares se comportam como bósons, que gostam de ocupar o mesmo estado, e a cooperação entre eles é tão ordenada que, para tirar um único elétron do coro, é preciso pagar uma energia mínima, o gap Δ. Se a agitação térmica e os tropeções fornecem menos que Δ, nada pode espalhar os elétrons e a corrente passa sem perdas. É como uma multidão marchando em passo: ninguém pode sair da cadência sem desmanchar o grupo todo, então pequenas perturbações não fazem nada.

Cinco fatos que qualquer teoria tem de explicar

O efeito Meissner não é só ‘resistência zero’. Um condutor perfeito (resistência nula) apenas congela o fluxo que já estava dentro quando ele passou a ρ=0; um supercondutor expulsa o fluxo, qualquer que seja a história: é um estado termodinâmico de equilíbrio, com uma energia de condensação que paga a energia magnética gasta ao expulsar o campo, μ0Hc2/2. A teoria dos irmãos London (1935) captura isso com uma equação, ∇2B=B/λL2, que faz o campo decair no interior com λL=m/μ0nse2 (para ns=1029 m−3, λL=17 nm). Esse λL é o comprimento que reaparece como massa do fóton no mecanismo de Higgs, e é derivado, a partir do funcional de Ginzburg–Landau, na seção seguinte.

A instabilidade de Cooper

O primeiro passo de BCS foi o de Cooper (1956): um mar de Fermi é instável a pares ligados para qualquer atração fraca, por menor que seja. Dois elétrons extras de momentos opostos (k↑,−k↓) acima da superfície de Fermi, com atração −V para 0<ξk<ℏωD (a atração é mediada por fônons, e só age num intervalo de energia ℏωD em torno de εF), têm um estado ligado de energia:

Ponto de partida: um mar de Fermi congelado (todos os k<kF ocupados) e dois elétrons extras acima dele, de spins opostos e momentos opostos (k↑,−k↓), interagindo por uma atração −V que só age na faixa 0<ξk<ℏωD acima da superfície de Fermi (ξk=εk−εF). Os outros elétrons só bloqueiam, pelo princípio de Pauli, os estados abaixo de kF.

A função de onda do par Com momento total nulo e spin singleto (parte espacial simétrica): Ψ(r1,r2)=∑k>kFgk eik⋅(r1−r2) ∣↑↓⟩−∣↓↑⟩2,gk=g−k. Aplicando H=∑iεi+V e projetando em cada onda plana: (2εk−E) gk=−∑k′Vkk′ gk′,Vkk′=−V se 0<ξk,ξk′<ℏωD.

Equação de autoconsistência O lado direito é uma constante C=V∑k′gk′ para todo k na faixa, então gk=C/(2εk−E). Somando em k e dividindo por C: 1=V∑k12εk−E=VN0∫0ℏωDdξ2ξ−Erel,E=2εF+Erel, onde N0 é a densidade de estados por spin na superfície de Fermi (constante na faixa estreita).

Estado ligado de energia Eb Procure Erel=−Eb<0, isto é, um par com energia abaixo de 2εF. A integral é elementar: 1=N0V2ln⁡2ℏωD+EbEb ⟹ Eb=2ℏωDe2/N0V−1 → N0V≪1 2ℏωD e−2/N0V. Existe uma solução ligada para qualquer V>0, por menor que seja. Sem o mar de Fermi, uma atração fraca em 3D não liga duas partículas (precisa de um limiar). A diferença é que o bloqueio de Pauli deixa aos dois elétrons só os estados acima da superfície de Fermi, onde a densidade de estados de dois corpos é constante já no limiar (como em 2D, e ao contrário do vácuo 3D, em que ela vai a zero): num problema com densidade de estados finita no limiar, qualquer atração liga.

O que o resultado tem de estranho Eb∝e−2/N0V tem uma singularidade essencial em V=0: não pode ser obtido por teoria de perturbação em V, nenhuma ordem finita o vê. O tamanho do par é ξpar∼ℏvF/Eb: para Eb∼1 meV e vF∼106 m/s, ∼0,7 μm, milhares de vezes o espaçamento entre elétrons. Muitos pares se sobrepõem e o problema deixa de ser de dois corpos: o estado BCS (próxima derivação) cuida disso.

De onde vem a atração Um elétron deforma a rede de íons à sua volta, que responde na escala de tempo ∼1/ωD (lenta, comparada com 1/εF). Um segundo elétron, depois que o primeiro já passou, é atraído para a região de carga positiva em excesso: atração retardada, ativa só para ∣ξ∣<ℏωD. O efeito isotópico (Tc∝M−1/2, Maxwell e Reynolds et al. 1950) mostrou que os fônons participam. Em cupratos e supercondutores à base de ferro o mecanismo não é (só) fônon.

Resultado. Eb=2ℏωD/(e2/N0V−1)≈2ℏωDe−2/N0V: existe um par ligado para qualquer atração, e a energia de ligação não é analítica em V. Com muitos pares, Δ substitui Eb e o expoente passa de 2/N0V para 1/N0V (equação do gap).

O estado fundamental BCS e a equação do gap

Como o tamanho de um par é muito maior que a distância entre elétrons, milhões de pares se sobrepõem, e o problema não é o de um par isolado. A ideia de BCS foi escrever diretamente a função de onda do conjunto: um produto, sobre todos os k, de uma superposição de ‘par (k↑,−k↓) vazio’ com amplitude uk e ‘ocupado’ com amplitude vk:

As excitações elementares não são elétrons, mas as quasipartículas de Bogoliubov, misturas coerentes de elétron e buraco (γk†=ukck↑†−vkc−k↓), com energia Ek=ξk2+Δ2≥Δ: há um gap, e a quasipartícula perto de kF tem carga efetiva eξ/E→0. O valor de Δ vem de uma autoconsistência (a equação do gap): o condensado cria o campo Δ, e o campo determina o condensado.

Ponto de partida: o modelo BCS reduzido, elétrons ckσ com energia ξk (a partir de εF) e atração só entre pares (k↑,−k↓) na faixa ∣ξ∣<ℏωD: H=∑kσξk ckσ†ckσ−V∑kk′ck↑†c−k↓†c−k′↓ck′↑. O ansatz (Bardeen, Cooper e Schrieffer, 1957) é ∣BCS⟩=∏k(uk+vk ck↑†c−k↓†)∣0⟩: cada par (k↑,−k↓) está vazio com amplitude uk ou ocupado com amplitude vk, com uk2+vk2=1. O estado é uma superposição de números de pares diferentes (fase definida, número indefinido), como um estado coerente de um oscilador.

Campo médio Defina o parâmetro de ordem Δ=V∑k⟨c−k↓ck↑⟩ e substitua o produto de quatro operadores por Δ c†c†+Δ∗ cc mais constante: HMF=∑kξk(ck↑†ck↑+c−k↓†c−k↓)−∑k(Δ ck↑†c−k↓†+Δ∗c−k↓ck↑)+∣Δ∣2V. Não conserva o número de partículas: Δ=∣Δ∣eiθ cria e destrói pares e escolhe uma fase θ, isto é, quebra espontaneamente a simetria U(1) do número de partículas, como o vácuo de um campo de Higgs (ver Goldstone).

Diagonalização de Bogoliubov No espinor de Nambu Ψk=(ck↑,c−k↓†)T, HMF=∑kΨk†(ξk−Δ−Δ∗−ξk)Ψk+∑kξk+∣Δ∣2/V. Os autovalores da matriz são ±Ek: Ek=ξk2+∣Δ∣2,ck↑=ukγk0+vkγk1†,c−k↓†=−vkγk0+ukγk1†, uk2=12(1+ξkEk),vk2=12(1−ξkEk),2ukvk=ΔEk. Os γ criam as quasipartículas de Bogoliubov, misturas coerentes de elétron e buraco, com energia Ek≥∣Δ∣: há um gap. Longe de kF (∣ξ∣≫Δ) Ek→∣ξk∣, vk→1 ou 0 e recupera-se o gás normal. Perto de kF, uk2≃vk2≃12: a quasipartícula é meio elétron, meio buraco (carga efetiva e(u2−v2)=eξ/E→0). O estado fundamental é o vácuo de quasipartículas γk0∣BCS⟩=γk1∣BCS⟩=0.

A autoconsistência: a equação do gap Calcule ⟨c−k↓ck↑⟩ nesse estado, com ocupação térmica f(E)=1/(eE/kBT+1) das quasipartículas: ⟨c−k↓ck↑⟩=ukvk(1−2f(Ek))=Δ2Ektanh⁡Ek2kBT. Inserindo em Δ=V∑k⟨c−k↓ck↑⟩ e cancelando Δ≠0: 1=V∑ktanh⁡(Ek/2kBT)2Ek=λ∫0ℏωDtanh⁡(ξ2+Δ2/2kBT)ξ2+Δ2 dξ,λ=N0V. O fator 2 do denominador foi absorvido ao passar de ∫−ℏωDℏωD para o dobro de ∫0 (simetria ξ→−ξ). Essa é a equação que o widget resolve numericamente em cada temperatura.

T=0: o gap e o expoente não analítico Com tanh⁡→1 a integral é arcsinh(ℏωD/Δ): 1λ=arcsinhℏωDΔ(0) ⟹ Δ(0)=ℏωDsinh⁡(1/λ) → λ≪1 2ℏωD e−1/λ. Com λ=0,25: Δ(0)/ℏωD=0,0366 (exato) contra 0,0366 (2e−4): diferença de 0,04%. O expoente e−1/λ tem o mesmo caráter não perturbativo do problema de Cooper, mas com 1/λ em vez de 2/λ: o gap muitos-corpos é maior que a energia de ligação de um par.