O efeito Unruh: aceleração é temperatura

O conceito de partícula depende do observador. O que é o vácuo para um observador inercial é um gás térmico para um acelerado — uma consequência direta da QFT em referenciais não-inerciais.

Coordenadas de Rindler e o horizonte

Aumente a aceleração: a hipérbole se aproxima do horizonte e o banho térmico esquenta.

Diagrama de Minkowski: um observador com aceleração própria constante segue a hipérbole x2−c2t2=(c2/a)2. As retas a 45° são o horizonte de Rindler: a luz emitida atrás delas (os raios tracejados) nunca o alcança. Para ele, o vácuo de Minkowski, sem nenhuma partícula para um observador inercial, é um banho térmico à temperatura de Unruh TU=ℏa/(2πckB)≈4×10−21 K×a/(m/s2). Um detector levado por ele clica (flashes) e as energias dos cliques seguem o espectro térmico (histograma vs. curva). O número é minúsculo: a gravidade da Terra dá 4×10−20 K; para 1 K é preciso ∼2,5×1020 m/s².

Campo escalar sem massa em 1+1 dimensões (o setor que depende só de u=t−x; o outro é análogo), no vácuo de Minkowski. A transformação de Bogoliubov entre os modos de Rindler e os de Minkowski é obtida por um argumento de analiticidade, sem integrais. O observador acelerado vive na cunha de Rindler R (x>∣t∣); a cunha L (x<−∣t∣) é a região que ele nunca alcança.

Coordenadas de Rindler logarítmicas Na cunha R, t=1aeaξ~sinh⁡aη, x=1aeaξ~cosh⁡aη (a distância ξ do texto é ξ=eaξ~/a). Em coordenadas nulas uˉ=η−ξ~: u=t−x=−1a e−auˉ(u<0). O observador com ξ~=0 tem aceleração própria a e tempo próprio η. Na cunha L, parametrizada por t=1aeaξ~sinh⁡aη, x=−1aeaξ~cosh⁡aη (com η crescendo para o futuro), tem-se u=+1aea(η+ξ~)>0.

Modos de Rindler Modos de frequência positiva em relação a η, nulos fora da própria cunha, com Ω>0: RΩ=e−iΩuˉ4πΩ=(−au)iΩ/a4πΩ θ(−u),LΩ=(au)−iΩ/a4πΩ θ(u). Em L o modo de frequência positiva em relação ao seu tempo η é e−iΩ(η+ξ~)=(au)−iΩ/a. Ambos têm norma de Klein–Gordon 1 e produto cruzado nulo (suportes disjuntos).

Modos de Minkowski são analíticos no semiplano inferior Uma superposição ∫dω f(ω)e−iωu com ω>0 é analítica e limitada em Im⁡u<0, pois ∣e−iωu∣=eωIm⁡u. Reciprocamente, uma função assim é de frequência positiva pura. Então basta achar combinações de R e L com essa propriedade.

Continuar RΩ através de u=0 Em u<0, −u>0 e ln⁡(−u) é real. Passando pelo semiplano inferior, u=∣u∣eiθ com θ de −π a 0, o argumento de −u=∣u∣ei(θ+π) vai de 0 a π: em u>0, ln⁡(−u)=ln⁡u+iπ, e (−au)iΩ/a ⟶ e iΩa(ln⁡au+iπ)=e−πΩ/a (au)iΩ/a(u>0). Como (au)iΩ/a é o conjugado do modo LΩ, a função FΩ(1)≡RΩ+e−πΩ/a LΩ∗ é analítica no semiplano inferior e é de frequência positiva pura. Simetricamente, FΩ(2)=LΩ+e−πΩ/aRΩ∗.

Normalizar (R,R)=1, (L∗,L∗)=−1, cruzados nulos: (F(1),F(1))=1−e−2πΩ/a ⇒ GΩ(1,2)=FΩ(1,2)1−e−2πΩ/a. Os G são modos de Minkowski de frequência positiva e norma 1, e seus operadores d1,2 aniquilam o vácuo de Minkowski, d1,2∣0M⟩=0.

Operadores de Rindler no vácuo de Minkowski Em ϕ=∑(bRR+bLL+h.c.)=∑(d1G(1)+d2G(2)+h.c.) o coeficiente de R dá bΩR=d1+e−πΩ/a d2†1−e−2πΩ/a,α=11−e−2πΩ/a,∣β∣=e−πΩ/a1−e−2πΩ/a,∣α∣2−∣β∣2=1.

Quantos quanta de Rindler no vácuo de Minkowski ⟨0M∣bR†bR∣0M⟩=∣β∣2⟨d2d2†⟩=∣β∣2, e portanto ⟨nΩ⟩=e−2πΩ/a1−e−2πΩ/a=1e2πΩ/a−1=1eℏΩ/kBTU−1,TU=ℏa2πc kB. A razão ∣β/α∣2=e−2πΩ/a é um fator de Boltzmann com kBT=a/2π. O estado de R é térmico porque L é inacessível (traço parcial).

Resultado. ⟨nΩ⟩=1/(e2πΩ/a−1), TU=ℏa/(2πckB). Numericamente: a=9,81 m/s2 dá TU=3,98×10−20 K; TU=1 K pede a=2,47×1020 m/s2 (e 300 K, 7,4×1022 m/s2). Em Ω=a, ⟨n⟩=1/(e2π−1)=1,9×10−3. O cálculo é do campo livre sem massa em 1+1 D; em 3+1 D o mesmo TU aparece no detector, com densidade de estados e fatores de forma diferentes.