Unruh: acelerar já aquece

A seção anterior tirou uma temperatura da geometria de um buraco negro. Agora vem a parte que incomoda: não é preciso buraco negro nenhum. Basta acelerar.

Um observador em aceleração constante, no vácuo mais vazio possível, mede um gás de partículas quentes. O vácuo que está parado e frio para você está morno para quem acelera. E a conta que produz essa temperatura é a mesma de Hawking, letra por letra — o que sugere fortemente que a temperatura de um buraco negro não é sobre buracos negros, é sobre horizontes.

Um observador com aceleração própria constante a não descreve uma reta no espaço-tempo, e sim uma hipérbole:

Essa trajetória tem uma propriedade que nenhuma reta tem. Ela se aproxima do cone de luz t=x sem nunca cruzá-lo: a razão t/x=tanh⁡(aτp) tende a 1 e não chega. Logo existem eventos que ela nunca poderá ver — tudo além daquele cone. Ele é um horizonte, e é um horizonte de verdade, com o mesmo estatuto do horizonte de um buraco negro. A diferença é que este aqui é criado pelo próprio movimento.

Adote as coordenadas naturais do observador acelerado — as de Rindler, x=ξcosh⁡η, t=ξsinh⁡η. A métrica vira

e o observador de aceleração a vive em ξ=1/a. Agora gire: η→−iθ.

É o plano em coordenadas polares — exatamente o que apareceu perto do horizonte de Schwarzschild. E vale a mesma exigência: liso na origem só se θ tiver período 2π. Como o tempo próprio do observador em ξ é ξθ, o período em tempo próprio é 2πξ:

Compare com TH=κ/2π, com κ=1/4GM a gravidade superficial. É a mesma fórmula. A verificação numérica desta página confirma que TUnruh(κ)/TH=1 exatamente — não aproximadamente, exatamente, porque são a mesma expressão avaliada no mesmo número.

À esquerda, o espaço-tempo do observador acelerado: a hipérbole, o horizonte que ela cria, e a cunha que é tudo que ela pode ver. À direita, a temperatura de Unruh contra a aceleração, com as referências que explicam por que o efeito nunca foi observado.

Aumente a no painel da esquerda e veja a hipérbole encostar no cone: acelerar mais é chegar mais perto do próprio horizonte, e a temperatura sobe junto. Repare também que a cunha nunca cobre o plano inteiro — há sempre uma região atrás do horizonte, e é o traço parcial sobre ela que produz o estado térmico. A informação não sumiu; ela ficou do outro lado, e ignorá-la é o que gera entropia.

Agora o segundo controle, que é a razão de o efeito não estar no laboratório. Na gravidade da Terra, TUnruh=3,98×10−20 K — vinte ordens de grandeza abaixo de qualquer coisa mensurável. Para chegar a 1 K seria preciso a=2,47×1020 m/s2, ou 2,5×10¹⁹ vezes a gravidade terrestre. Só nas acelerações transversais de partículas em anéis de armazenamento, da ordem de 1026 m/s2, o número sobe para centenas de milhares de kelvin — e é exatamente ali que se procura o efeito, na despolarização de elétrons circulantes (efeito Sokolov-Ternov).

Imagine um rio que corre cada vez mais rápido em direção a uma queda. Existe uma linha a partir da qual nem o barco mais potente consegue voltar — não porque a água mudou, mas porque a velocidade dela passou da velocidade do barco. Essa linha é um horizonte, e ela existe para aquele barco, com aquele motor.

O horizonte de Rindler é assim: ele depende de quem observa. Um observador inercial ao lado não vê horizonte nenhum e não mede temperatura nenhuma. Não é que um dos dois esteja errado — é que a noção de partícula depende do observador, e o vácuo de um é o banho térmico do outro. Essa é a lição mais desconfortável da seção, e ela vale igualmente para o buraco negro: quem cai livremente pelo horizonte não vê nada de especial acontecer.

A condição de regularidade dá o período, mas ainda não explica por que o observador vê um espectro de Planck em vez de um vácuo. A resposta é que ele não tem acesso ao estado inteiro.

O vácuo de Minkowski, escrito nos modos das duas cunhas de Rindler (direita R e esquerda L, separadas pelo horizonte), é um estado emaranhado:

que é exatamente a forma de um estado termofield double. O observador acelerado só mede na cunha direita, então o estado relevante para ele é o traço parcial sobre L:

Um estado puro emaranhado, visto por metade, é um estado térmico. O β que sai do traço parcial é o mesmo que saiu da regularidade geométrica — e as ocupações são de Bose-Einstein, ⟨nk⟩=1/(e2πωk/a−1).

Vale registrar as duas consequências. Primeiro: a entropia térmica que o observador atribui ao seu banho é a entropia de emaranhamento através do horizonte — a mesma ideia que reaparece em S=A/4G. Segundo: para o buraco negro, o análogo de ∣0M⟩ é o estado de Hartle-Hawking, e é exatamente por isso que a geometria euclidiana dele é compacta e sem borda na direção do tempo. Unruh não é uma analogia com Hawking. Localmente, pelo princípio da equivalência, é o mesmo efeito.

A página mostra que o tempo euclidiano de Rindler tem período 2π/a. Aqui calculamos o que um detector acelerado registra: um sistema de dois níveis com separação ω, acoplado linearmente ao campo escalar sem massa de 3+1 dimensões em seu vácuo de Minkowski. A taxa de excitação sai como uma integral que a periodicidade imaginária torna trivial. (O mesmo resultado sai dos coeficientes de Bogoliubov.)

A taxa em primeira ordem Com Hint=g μ(τ) ϕ(x(τ)), a probabilidade de passar de ∣g⟩ a ∣e⟩ (energia ω) é, em primeira ordem em g, P=g2 ∣⟨e∣μ(0)∣g⟩∣2∫dτ dτ′ e−iω(τ−τ′) W(τ,τ′),W=⟨0∣ϕ(x(τ)) ϕ(x(τ′))∣0⟩. Em trajetória estacionária, W depende só de Δτ=τ−τ′, e a taxa por tempo próprio é a função de resposta F(ω)=∫−∞∞dΔτ e−iωΔτ W(Δτ).

O intervalo na hipérbole Com t=1asinh⁡aτ, x=1acosh⁡aτ: Δt2−Δx2=1a2[2cosh⁡(aΔτ)−2]=4a2sinh⁡2 ⁣aΔτ2.

A função de Wightman No vácuo de Minkowski, W=−14π21(Δt−iϵ)2−Δx2. Com o passo 2: W(Δτ)=−a216π2 1sinh⁡2 ⁣[a(Δτ−iϵ)/2]. Para a→0 isto é −1/(4π2(Δτ−iϵ)2), a função de um detector inercial.

Periodicidade imaginária = KMS sinh⁡2 tem período iπ no argumento, logo W(Δτ+2πi/a)=W(Δτ). Os polos estão em Δτ=iϵ+2πin/a, n∈Z. Uma função de correlação periódica em tempo imaginário com período β é a condição de equilíbrio térmico (KMS), com β=2π/a: é a mesma periodicidade 2π em θ da página, vista de dentro do detector.

Deslocar o contorno para o meio da faixa O eixo real passa entre os polos n=0 (em +iϵ) e n=−1 (em −2πi/a). Deslocá-lo para Im⁡Δτ=−π/a não cruza polo. Com Δτ=s−iπ/a, sinh⁡ ⁣(as2−iπ2)=−icosh⁡as2, e portanto sinh⁡2=−cosh⁡2: W=a216π2 sech⁡2 ⁣as2,F(ω)=e−πω/a a216π2∫ds e−iωssech⁡2 ⁣as2. (O fator e−πω/a vem de e−iω(−iπ/a).)

A transformada de Fourier Usando ∫dx e−ikxsech⁡2x=πksinh⁡(πk/2) com x=as/2, k=2ω/a: ∫ds e−iωssech⁡2 ⁣as2=2a⋅2πω/asinh⁡(πω/a) ⇒ F(ω)=ω e−πω/a4πsinh⁡(πω/a)=ω2π 1e2πω/a−1.

Leitura e verificações A fórmula vale para os dois sinais de ω. Para ω>0, é a excitação, com o espectro de Planck em kBT=a/2π; para ω→−ω, a emissão: F(−ω)=F(ω) e2πω/a, o balanço detalhado com T=a/2π. No limite inercial, a→0: F(ω>0)→0 e F(−∣ω∣)→∣ω∣/2π, a emissão espontânea. Para ω=a: F(ω)/F(−ω)=e−2π=1,9×10−3.

Resultado. F(ω)=ω2π1e2πω/a−1, isto é, TU=ℏa/(2πckB) com densidade de estados ω/2π em 3+1 D. Verificação numérica: integrando F(ω) direto sobre o contorno deslocado para a=1,3, obtive ω=0,5→7,7958×10−3, ω=1,3→3,8710×10−4, ω=3→2,4089×10−7 e ω=−1→0,16043, iguais à fórmula em 12 dígitos. Aproximação: acoplamento fraco (primeira ordem), detector pontual e trajetória eterna com a constante.