Quantização em espaço curvo: não há vácuo único

Em Minkowski, o vetor de Killing tipo-tempo ∂t seleciona um vácuo único e invariante de Poincaré. Em espaço curvo genérico não há esse vetor global — e o vácuo deixa de ser absoluto.

Campo escalar curvo e expansão em modos

No espaço plano, “frequência positiva” (e−iEt) é uma noção que todos os observadores inerciais compartilham, porque o tempo de um é uma combinação linear do tempo do outro. Em espaço curvo (ou para observadores acelerados) não há um tempo privilegiado: a divisão do campo em parte de criação e parte de aniquilação depende da escolha, e com ela muda o que se chama de vácuo e de partícula.

Transformações de Bogoliubov

Dois conjuntos de modos {uk} e {uˉj}, ortonormais no produto de Klein–Gordon (f,g)=i ⁣∫dΣ (f∗∂tg−g ∂tf∗), com (uk,ul)=δkl, (uk∗,ul∗)=−δkl, (uk,ul∗)=0 (idem para uˉ). Um campo real ϕ é expandido nas duas bases. Mostramos a relação entre os operadores, a condição ∣α∣2−∣β∣2=1 e o número de partículas, e testamos com uma mudança brusca de frequência.

As duas expansões ϕ=∑k(akuk+ak†uk∗)=∑j(aˉjuˉj+aˉj†uˉj∗), com ak∣0⟩=0 e aˉj∣0ˉ⟩=0. Os modos novos são combinações dos antigos, incluindo as de frequência negativa: uˉj=∑k(αjk uk+βjk uk∗).

Os coeficientes são produtos de Klein–Gordon Aplicando (uk,⋅) e (uk∗,⋅) e as ortonormalidades: αjk=(uk,uˉj),βjk=−(uk∗,uˉj). O sinal de β vem de (u∗,u∗)=−1. Se β=0, os modos novos são só de frequência positiva e os vácuos coincidem.

Os operadores aˉj=(uˉj,ϕ). Substituindo ϕ=∑k(akuk+ak†uk∗) e (uˉj,uk)=αjk∗, (uˉj,uk∗)=−βjk∗: aˉj=∑k(αjk∗ ak−βjk∗ ak†),aˉj†=∑k(αjk ak†−βjk ak). Um operador de aniquilação novo contém criadores antigos: é por isso que aˉj∣0⟩≠0.

Condição de normalização Exigir [aˉi,aˉj†]=δij e usar [ak,al†]=δkl: [aˉi,aˉj†]=∑k(α∗ikαjk−β∗ikβjk)=δij⇒∑k(∣αjk∣2−∣βjk∣2)=1. Para um único modo k, ∣β∣2=∣α∣2−1: quanto mais as frequências se misturam, mais partículas.

O número de partículas Nˉj=aˉj†aˉj, e no vácuo antigo aˉj∣0⟩=−∑kβjk∗ ak†∣0⟩. Então ⟨0∣Nˉj∣0⟩=∥aˉj∣0⟩∥2=∑k,lβjkβjl∗ ⟨0∣akal†∣0⟩=∑k∣βjk∣2. (Com a normalização do contínuo a soma vira integral e δ(0) vira um volume.)

Teste: mudança brusca de frequência Um modo comóvel χ¨+ω2(t)χ=0 com ω=ω1 para t<0 e ω2 para t>0. O modo de vácuo inicial é u=e−iω1t/2ω1 e, para t>0, u=Auˉ+Buˉ∗ com uˉ=e−iω2t/2ω2. Continuidade de u e u˙ em t=0: 1ω1=A+Bω2,ω1ω1=ω2(A−B)ω2 ⇒ A=ω2+ω12ω1ω2,B=ω2−ω12ω1ω2. Como aˉ=Aa+B∗a† (invertendo, como no passo 3), o número de quanta de frequência final no vácuo inicial é ⟨0in∣Nˉ∣0in⟩=∣B∣2=(ω2−ω1)24ω1ω2,∣A∣2−∣B∣2=(ω2+ω1)2−(ω2−ω1)24ω1ω2=1. Para ω2=2ω1: ∣A∣2=98, ∣B∣2=18=0,125. Para ω2=ω1: B=0, nenhuma partícula criada.

Resultado. aˉj=∑k(αjk∗ak−βjk∗ak†), ∑k(∣αjk∣2−∣βjk∣2)=1 e ⟨0∣Nˉj∣0⟩=∑k∣βjk∣2. Exemplo: ω2=2ω1 cria 0,125 quantum por modo. No efeito Unruh e na radiação de Hawking, ∣β∣2 tem a forma de Bose–Einstein.

Aumente a mistura e veja o espectro térmico emergir do vácuo — a mesma curva nos três efeitos.

Um campo escalar de massa m num universo que cresce por um fator a. Cada modo k é um oscilador com frequência ωk2=k2+m2a2(t) que muda no tempo; a equação de cada modo é integrada aqui de verdade, começando no vácuo do passado. Depois da expansão, o mesmo estado, visto com os modos do futuro, é uma mistura ukin=αkukout+βkukout∗: o coeficiente βk mede partículas criadas, ⟨Nk⟩=∣βk∣2. As barras são o número de partículas instantâneo calculado; os traços brancos são o resultado exato para esse perfil (Birrell & Davies). Expansão súbita (τ pequeno) cria muitas partículas; lenta (adiabática) quase nenhuma. O vínculo ∣α∣2−∣β∣2=1 é conferido numericamente. É o mesmo mecanismo de Unruh, Hawking e da origem das flutuações na inflação.