Delta de Kronecker e símbolo de Levi-Civita

Dois símbolos fazem quase toda a contabilidade de índices. O delta de Kronecker é a identidade e o símbolo de Levi-Civita registra orientação. Com a identidade que liga os dois, determinantes, produtos vetoriais e fórmulas de cálculo vetorial viram manipulação mecânica de índices.

Delta de Kronecker

O delta com um índice em cima e outro embaixo é um tensor do tipo (1,1) cujas componentes são as mesmas em toda base: (A−1)ik Alj δlk=(A−1)ik Akj=δji. Ele representa a aplicação identidade, que não depende de base. Já δij, com os dois índices embaixo, é um objeto diferente: são as componentes da métrica numa base ortonormal, e em outra base ela vira g′=ATA. Nesta seção trabalhamos em R3 com eixos cartesianos ortonormais, onde subir ou descer índice não muda nada; por isso os índices aparecem todos embaixo e a soma sobre repetidos é feita do mesmo modo.

Símbolo de Levi-Civita

Em três dimensões, ϵijk vale +1 se (i,j,k) é uma permutação par de (1,2,3), vale −1 se é ímpar e vale 0 se há índice repetido. A paridade é a de quantas trocas de dois elementos levam a (1,2,3), e ela coincide com a paridade do número de inversões. Das 27 componentes, 21 são nulas. Trocar quaisquer dois índices inverte o sinal, enquanto permutar ciclicamente não altera nada: ϵijk=ϵjki=ϵkij=−ϵjik.

Com a=(1,2,0) e b=(0,1,3), só dois termos sobrevivem em cada componente. Por exemplo, (a×b)1=ϵ123a2b3+ϵ132a3b2=6−0. As outras dão −3 e 1, logo a×b=(6,−3,1). A ortogonalidade confere: 6−6=0 com a e −3+3=0 com b. Ela é automática, pois ai ϵijkajbk=0: aiaj é simétrico em i,j, ϵijk é antissimétrico, e o produto de um simétrico por um antissimétrico contraído nos mesmos índices se anula.

A identidade de contração

Em vez de conferir os casos um a um, escrevemos o produto de dois épsilons como um único determinante de deltas e contraímos. O método mostra de onde vem a estrutura e se estende a qualquer dimensão.

Cada épsilon é um determinante Seja P a matriz cujas linhas são os vetores canônicos e^i,e^j,e^k. Pela fórmula de Leibniz, det⁡P=ϵijk: é ±1 se as linhas são uma permutação da identidade e 0 se há linha repetida. Da mesma forma, ϵlmn=det⁡Q com linhas e^l,e^m,e^n.

O produto é um determinante de deltas Como det⁡Pdet⁡Q=det⁡(PQT) e a entrada de PQT é o produto escalar de uma linha de P com uma de Q, que é um delta, ϵijkϵlmn=det⁡(δilδimδinδjlδjmδjnδklδkmδkn).

Contrair o primeiro índice Faça l=i e some. Expandindo pela primeira linha, com δii=3: ϵijkϵimn=3 (δjmδkn−δjnδkm)−δim(δjiδkn−δjnδki)+δin(δjiδkm−δjmδki).

Eliminar os deltas com (i) Use δimδji=δjm, δimδki=δkm, δinδji=δjn e δinδki=δkn: segundo termo=−(δjmδkn−δjnδkm),terceiro termo=δjnδkm−δjmδkn=−(δjmδkn−δjnδkm). O coeficiente total é 3−1−1=1. O 3 é a dimensão. Em n dimensões, contraindo n−2 índices, o coeficiente passa a ser (n−2)!.

Conferir casos Com j=m=1 e k=n=2: à esquerda, só i=3 contribui, ϵ3122=1; à direita, 1⋅1−0=1. Com j=n=1 e k=m=2: à esquerda, ϵ312ϵ321=−1; à direita, 0−1=−1. Com j=k, ou com {m,n}≠{j,k}, os dois lados se anulam. O laboratório confere as 81 combinações de j,k,m,n.

Contrações seguintes Fazendo m=j e somando, ϵijkϵijn=3δkn−δkn=2 δkn. Fazendo n=k, ϵijkϵijk=2⋅3=6, que é o número de permutações de três objetos, cada uma contribuindo com (±1)2.

Resultado. ϵijkϵimn=δjmδkn−δjnδkm, ϵijkϵijn=2δkn e ϵijkϵijk=6.

Três fórmulas caem em uma linha cada. Na primeira e na terceira, o primeiro passo é girar um épsilon ciclicamente para que o índice somado venha primeiro. Na de Lagrange ele já vem.

Para a=(1,2,0) e b=(0,1,3), a identidade de Lagrange dá 5⋅10−22=46, igual a 62+32+12. Escolha uma permutação no laboratório e veja o sinal como paridade do número de cruzamentos. Depois edite a matriz: a soma dos seis termos com sinal é comparada com o determinante por cofatores. No terceiro modo, as duas primeiras linhas da matriz são a e b.

O épsilon não é um tensor comum

Aplique a segunda forma do determinante com M=R ortogonal: RilRjmRkn ϵijk=(det⁡R) ϵlmn. Sob rotações, det⁡R=+1 e as componentes de ϵ não mudam. Sob uma reflexão, det⁡R=−1, e a regra de tensor daria o sinal oposto ao dos números fixos da definição. Por isso ϵijk é um pseudotensor, e a×b, que carrega um ϵ, é um pseudovetor. Campo magnético e momento angular são pseudovetores: num espelho, um laço de corrente refletido inverte as componentes de B paralelas ao espelho.

Numa base geral, ϵijk com os valores 0,±1 em toda base deixa de ser tensor, porque a regra de tensor produz um fator det⁡A. Esse fator é compensado pelo fator de det⁡g visto na derivação de invariância, e o objeto tensorial é o tensor de volume, para bases de mesma orientação.

De fato, AilAjmAkn ∣det⁡g∣ ϵijk=∣det⁡g∣ (det⁡A) ϵlmn=∣det⁡g′∣ ϵlmn. Em quatro dimensões, ϵμνρσ tem quatro índices, e a convenção de sinal de ϵ0123 varia entre autores; com assinatura Lorentziana, subir os quatro índices multiplica por det⁡η=−1.

Onde aparece

O momento angular é Li=ϵijkxjpk. Os geradores de rotação satisfazem [Ji,Jj]=iℏ ϵijkJk: as constantes de estrutura do grupo de rotações são o próprio ϵ, como em momento angular e spin, e o mesmo símbolo reaparece em isospin e SU(2). As matrizes de Pauli obedecem a σiσj=δij+iϵijkσk, que junta os dois símbolos numa única relação. O campo magnético, por ser pseudovetor, é a parte espacial de um tensor antissimétrico: Bk=12ϵkijFij, com a inversa Fij=ϵijkBk garantida pela contração ϵijkϵijn=2δkn.