Operações com tensores: produto, contração, subir e baixar índices

Toda expressão tensorial da relatividade é construída com poucas operações que levam tensor em tensor: somar, multiplicar, contrair e, com uma métrica, subir e baixar índices. Se cada passo preserva a natureza tensorial, o resultado não depende de base, sem precisar de nenhuma conta com matrizes de mudança de base.

Soma e produto tensorial

Tensores de mesmo tipo se somam componente a componente, e o resultado é do mesmo tipo, porque a regra de transformação é linear. O produto tensorial multiplica as componentes sem somar nada, e assim os tipos se somam: de tipos (p,q) e (r,s) sai o tipo (p+r,q+s).

Nem todo tensor é um produto simples. A matriz de uiwj tem posto 1 e o delta δji em duas dimensões tem posto 2, logo ele precisa de ao menos dois termos: δ=e1⊗ε1+e2⊗ε2. Os produtos ei⊗εj formam uma base dos tensores do tipo (1,1), e qualquer tensor é combinação deles, por isso basta provar propriedades lineares nos produtos simples.

Contração

A contração iguala um índice em cima a um índice embaixo e soma. Ela reduz o tipo de (p,q) para (p−1,q−1). No tipo (1,1) o resultado é o traço, um escalar. Para um produto simples, a contração é o pareamento: (u⊗w)ii=wiui=w(u). A multiplicação de matrizes também é uma contração, (ST)ij=SikTkj, assim como a ação de uma matriz sobre um vetor.

Subir e baixar índices

A métrica, que é não degenerada, dá uma correspondência entre vetores e covetores. Ao vetor v associa-se o covetor u↦v⋅u, cujas componentes são vi=gijvj. A volta usa a matriz inversa gij.

Mostramos que a contração e o abaixamento preservam a natureza tensorial, usando só ej′=Aijei e as regras de covariância. Também vemos por que igualar dois índices em cima não funciona.

Regra do tipo (1,1) Um índice em cima e outro embaixo dão um fator de cada tipo: T′ ij=(A−1)ik Alj Tkl,isto eˊ,T′=A−1TA.

O traço é invariante Igualando j=i e somando, T′ ii=(A−1)ik Ali Tkl=[Ali(A−1)ik] Tkl=δkl Tkl=Tkk. Os fatores se cancelam porque um é inverso do outro. É a propriedade cíclica tr⁡(A−1TA)=tr⁡T. O mesmo cancelamento vale para um par de índices de um tensor de tipo qualquer: os demais índices seguem sua própria regra.

Dois índices em cima não contraem Para Tij a regra dá T′=A−1TA−T, e a soma ∑iT′ ii envolve A−TA−1, que só é a identidade quando A é ortogonal. Com A=2 I ela já fica dividida por 4. Por isso essa soma não é tensorial e a convenção de Einstein não a escreve.

Baixar produz um covetor Precisamos mostrar que vi=gijvj obedece à regra de covetor. Com gkl′=AikAjlgij e v′ l=(A−1)lmvm: vk′=gkl′v′ l=Aik gij [Ajl(A−1)lm] vm=Aik gij vj=Aik vi.

A inversa é tensor ((2,0)) Invertendo g′=ATgA vem g′−1=A−1g−1A−T, ou seja, g′ kl=(A−1)ki (A−1)lj gij. Um fator de A−1 por índice em cima, como manda a regra. Por isso wi=gijwj é vetor, e subir depois de baixar devolve o original: gijgjkvk=δkivk=vi.

Tudo junto Num par contraído, a altura pode ser trocada, pois uivi=gijujvi=ujvj. Para o traço, gijTij=gijgikTkj=δkjTkj=Tjj. Já a soma ∑iTii, sem a métrica, depende da base e não tem significado físico.

Resultado. T′ ii=Tii, vi=gijvj é covetor, gij é tensor (2,0) e gijTij=Tii. Contração só existe entre índice em cima e índice embaixo.

Duas descrições do mesmo vetor

Volte à base de invariância, e1′=2e1 e e2′=e1+e2, com g′=(4222) e v=(3,2), para o qual v′ i=(12,2). Baixando, v1′=4⋅12+2⋅2=6 e v2′=2⋅12+2⋅2=5. Conferindo pela definição, v⋅e1′=6 e v⋅e2′=5. As duas descrições têm leitura geométrica: vi são os coeficientes da decomposição paralela aos eixos, e vi são os produtos escalares com os vetores da base. Numa base ortonormal elas coincidem, e essa é a razão de a distinção passar despercebida.

O par confere: vi′v′ i=6⋅12+5⋅2=13=∥v∥2. A inversa da métrica é g′−1=(1/2−1/2−1/21), e ela devolve (12⋅6−12⋅5, −12⋅6+5)=(12,2).

O gradiente como seta

A diferencial df é covetor, com componentes ∂if. A seta chamada gradiente é o vetor obtido subindo esse índice: (∇f)i=gij∂jf. Em coordenadas polares g=diag⁡(1,r2), logo (∇f)r=∂rf e (∇f)θ=∂θf/r2. Passando à base unitária θ^=eθ/r, a componente fica ∂θf/r, a fórmula dos livros de cálculo. O que muda de uma expressão para a outra é a escolha da base, e o gradiente depende da métrica, enquanto df não depende.

No espaço-tempo

Com η=diag⁡(−1,1,1,1), baixar o índice inverte o sinal da componente temporal e preserva as espaciais. Para o quadrimomento pμ=(E/c,p), isso dá a relação entre energia, momento e massa como uma contração.

A relação gμν=eaμ ebν ηab da tétrada é a fórmula g′=ATgA, agora com A=e: um índice de cada espécie, contraído. Na curvatura, o tensor de Ricci é a contração Rμν=Rλμλν e o escalar é R=gμνRμν. Essas contrações são operações desta seção, aplicadas a um tensor com mais índices.

Simetria e critério de tensor

Todo Tij se decompõe em partes simétrica e antissimétrica. A decomposição não depende de base, porque T′=ATTA preserva as duas simetrias.

A prova de SijFij=0 é uma troca de nomes: SijFij=SjiFji=−SijFij. O critério do quociente faz a operação inversa da contração. Se Tijvj é covetor para todo vetor v, então Tij é tensor do tipo (0,2): de Tkl′v′ l=AikTijvj=AikAjlTijv′ l, válida para todo v′, sai a regra de transformação. É o mesmo argumento do passo 5 da derivação sobre covetores. Assim se reconhece um tensor a partir de uma lei física linear, como a condutividade de um cristal em Ji=σijEj, que é do tipo (2,0).

Tome u=(1,2) e w=(3,−1). Então Tij=(3−16−2), com traço 1=w(u). Com g=diag⁡(−1,1), a métrica de Minkowski em coordenadas (ct,x), Tij=(−316−2). A soma ingênua da diagonal dá −5, enquanto gijTij=3−2=1. Mude a métrica e a base no laboratório e acompanhe os dois painéis: o traço de Tij e gijTij continuam iguais a w(u), enquanto a soma ingênua muda. Com s=0 a base nova degenera e o laboratório avisa.

O tensor é Tij=uiwj. A base nova é A=R(θ)(sk01). Cada forma do tensor é transformada pela sua própria regra: A−1TA, ATTA e A−1TA−T. A soma da diagonal de Tij ou de Tij, em vermelho, não é contração. O que fica igual nos dois painéis é o traço de Tij e a contração com a métrica.