Covariância e contravariância: vetores e covetores

Há duas maneiras de um conjunto de números depender da base. As componentes de um vetor mudam ao contrário da base; as de um covetor mudam junto com ela. A posição do índice registra qual das duas regras vale, e o pareamento entre os dois tipos é o escalar mais simples que existe.

Covetores: funções lineares sobre vetores

Um covetor é uma função linear w:V→R, que recebe um vetor e devolve um número. Covetores se somam e se multiplicam por escalares, e formam o espaço dual V∗, de mesma dimensão que V. Nenhuma métrica entra nessa definição. Dada uma base ei, as componentes de w são seus valores nos vetores da base, e a linearidade determina todo o resto.

Exemplos já conhecidos: a diferencial df de uma função, que recebe um deslocamento e devolve a variação de f; o trabalho de uma força, que recebe um deslocamento e devolve energia; e o bra ⟨ϕ∣ da mecânica quântica, que recebe um ket e devolve uma amplitude.

As duas regras

Mantemos fixos os objetos v e w e trocamos apenas a base, ej′=Aijei. As duas regras saem de hipóteses diferentes: a do vetor vem de a seta não mudar, e a do covetor vem de suas componentes serem medidas nos vetores da base.

Vetor: a seta fica parada De v′ jej′=v′ jAijei=viei e da unicidade das componentes, vi=Aijv′ j. Multiplicando por A−1: v′ j=(A−1)ji vi. Se a base dobra, o número de vezes que ela cabe no vetor cai pela metade. Daí o nome contravariante.

Covetor: medir na base nova Só a linearidade de w é necessária: wj′=w(ej′)=w(Aijei)=Aij w(ei)=Aij wi. A regra é a mesma dos vetores da base, por isso o nome covariante. Em forma matricial, com w como linha, w′=wA.

A base dual muda ao contrário Afirmamos que ε′ j=(A−1)ji εi. De fato, ε′ j(ek′)=(A−1)ji Alk εi(el)=(A−1)ji Aik=δkj. Assim wiεi=wj′ε′ j: as componentes de um covetor mudam ao contrário da sua base, exatamente como as de um vetor. O nome depende de tomar ei como referência.

O pareamento é invariante Multiplicando as duas regras, wj′v′ j=Aijwi (A−1)jkvk=wi [Aij(A−1)jk] vk=wi δki vk=wivi.

A regra é forçada Pode-se inverter o raciocínio. Suponha que números wi satisfaçam wj′v′ j=wivi para todo vetor v. Substituindo vi=Aijv′ j, vem (wj′−Aijwi) v′ j=0 para todo v′, logo wj′=Aijwi. Não há outra lei de transformação compatível com um pareamento invariante.

Conferência numérica Com A=(2101), v=(3,2) e w=(1,−1): v′=A−1v=(12,2) e w′=wA=(2,0). Então wj′v′ j=2⋅12+0⋅2=1 e wivi=3−2=1. A componente w2′=0 diz que e2′=e1+e2 está contido no núcleo de w.

Resultado. v′=A−1v vem de manter a seta fixa; w′=wA vem de medir nos vetores novos; e wj′v′ j=wivi é consequência das duas. Índice em cima contra índice embaixo é o que permite ler esse cancelamento direto na notação.

O covetor como pilha de retas

Um vetor se desenha como seta. Um covetor no plano se desenha como a família de retas w(x)=n, com n inteiro. Retas próximas indicam covetor grande, e a orientação da pilha indica em que sentido n cresce. Assim, w(v) é o número de retas que a seta atravessa, com sinal e contando a fração do último intervalo. A contagem é geométrica e não usa ângulo nem comprimento, por isso a pilha não tem "direção perpendicular" própria: perpendicular exigiria uma métrica. A componente wi também é uma contagem: quantas retas ei atravessa.

Dobre a base e veja v′ i cair pela metade e wi′ dobrar: agora cada vetor da base atravessa o dobro de retas. Arraste o ponto da reta n=1 para mudar a pilha, a ponta de v para mudar o vetor, e e1′,e2′ para mudar a base. O desenho da pilha e da seta nunca muda com a base; só os números mudam, e o pareamento continua dando a mesma contagem de retas.

As retas são w(x)=n, com n inteiro. Arraste o círculo roxo, sobre a reta n=1, para mudar w; aproximá-lo da origem adensa a pilha. Os pontos sobre v marcam as retas que ele atravessa. O desenho da pilha usa a régua da tela, mas a contagem de retas não depende dela.

Coordenadas: a matriz é o jacobiano

Com coordenadas curvilíneas a base muda de ponto a ponto. A base coordenada é ei=∂x/∂xi, e a regra da cadeia identifica A com a matriz das derivadas parciais em cada ponto.

Tome coordenadas polares no plano, x=rcos⁡θ e y=rsin⁡θ, e a função f=x2−y2=r2cos⁡2θ. As componentes cartesianas de df são (2x,−2y). A regra covariante dá ∂rf=cos⁡θ (2x)+sin⁡θ (−2y)=2rcos⁡2θ e ∂θf=−rsin⁡θ (2x)+rcos⁡θ (−2y)=−2r2sin⁡2θ, iguais às derivadas diretas de r2cos⁡2θ. Note que ∂θf tem um fator r a mais que uma "componente do gradiente" dos livros de cálculo: eθ tem comprimento r, e o covetor mede sobre ele. A passagem de covetor para seta precisa da métrica e é feita em operações com tensores.

Tensores: a regra geral

Um tensor do tipo (p,q) é uma função multilinear de q vetores e p covetores. Suas componentes têm p índices em cima e q embaixo, e cada índice muda pela regra da sua posição: um A−1 por índice em cima e um A por índice embaixo.

Um tensor é o objeto, e essa regra é consequência de ele não depender da base. Uma tabela de números qualquer não é tensor só porque tem índices: Γλμν, usado na derivada covariante, tem três índices e não obedece à regra.

Por que o cálculo elementar não distingue

Se A é ortogonal, A−1=AT, e então (A−1)ji=Aij: as duas regras coincidem. Por isso, com eixos cartesianos e rotações, vetor e covetor parecem a mesma coisa e o gradiente passa por seta. Em bases oblíquas, em coordenadas curvilíneas ou no espaço-tempo, a diferença volta.

No espaço-tempo, as transformações de Lorentz não são ortogonais, e a diferença tem conteúdo físico. Uma onda plana eiϕ tem fase escalar, pois contar cristas não depende do observador. A fase é um pareamento entre o covetor kμ=∂μϕ e o evento xμ=(ct,x).

Como ϕ é escalar, kμ é um covetor, e isso já contém o efeito Doppler relativístico e a aberração, sem nenhuma suposição sobre fótons. O mesmo ocorre na fase dos modos de Rindler: a frequência positiva é definida em relação a um tempo, e mudar a coordenada de tempo muda a componente ω.