Galileu: eventos, referenciais e tempo absoluto

A mecânica clássica já é uma teoria da relatividade: nenhum experimento mecânico distingue um referencial inercial de outro. O que ela mantém absoluto é o tempo. Escrever isso com precisão mostra exatamente qual hipótese terá de cair.

A área adota a assinatura (−,+,+,+). Três seções usam (+,−,−,−), comum em teoria de campos: tétradas, vácuo e Bogoliubov e cosmologia quântica. O restante do módulo Campos em espaço curvo escreve as métricas lorentzianas como (−,+,+,+). A física é a mesma; mudam os sinais intermediários.

Regra de conversão: η→−η, e cada índice movido com η ganha um fator −1. Assim, xμ, pμ e ∂μ ficam, enquanto xμ, pμ e ∂μ trocam de sinal. A ação da partícula é −mc2∫dτ nas duas colunas, porque o sinal sob a raiz compensa a troca.

Eventos, linhas de mundo e referenciais

Um evento é algo que acontece num lugar e num instante: um estalo, uma colisão, o clique de um detector. Ele existe antes de qualquer coordenada. Um referencial atribui a cada evento quatro números (t,x,y,z), e a sucessão de eventos que compõem a história de uma partícula é a sua linha de mundo. Um referencial é inercial quando uma partícula livre tem, nele, velocidade constante.

Tome dois referenciais inerciais S e S′ com eixos paralelos e origens coincidentes em t=0, em que S′ se move com velocidade v ao longo de +x. A origem de S′ está em x=vt. Se uma régua de S′ mede a distância até um evento, ela encontra o que S mede menos o quanto a origem andou.

Um exemplo com v=5 m/s. Um evento em t=4 s, x=30 m tem x′=30−20=10 m e t′=4 s. Um segundo evento no mesmo ponto x=30 m, um segundo depois, tem x′=30−25=5 m. Para S os dois aconteceram no mesmo lugar; para S′ estão separados por Δx′=−vΔt=−5 m. "Mesmo lugar" depende do referencial. Agora dois eventos simultâneos em t=4 s, em x=30 m e x=80 m: em S′ ficam em 10 m e 60 m, ainda simultâneos e ainda a 50 m. "Mesmo instante", e a distância entre eventos simultâneos, não dependem.

O diagrama de espaço-tempo

Suprimindo y e z, cada evento é um ponto de um plano, com x na horizontal e ct na vertical. Uma partícula em repouso em S traça uma reta vertical; uma partícula com velocidade constante u, uma reta de inclinação u/c em relação à vertical; um pulso de luz, as retas a 45∘ com x=±ct. Nessas coordenadas a transformação de Galileu é uma matriz.

Três fatos se leem na matriz. A linha de simultaneidade ct=const vai nela mesma, de modo que o corte do plano em "agoras" é o mesmo para todos. O eixo ct′, lugar de x′=0, é a reta inclinada x=β ct, que é a linha de mundo da origem de S′. E o eixo x′, lugar de t′=0, coincide com o eixo x: os dois observadores só discordam sobre o que está parado.

Mova o controle de velocidade na vista de S′ e veja os eventos correrem na horizontal sem mudar de altura: com v/c=0,5, o evento A vai de (ct;x)=(3;1) para (3;−0,5), e o evento B, mais baixo, de (1;2,5) para (1;2). A diferença Δ(ct) entre eles não muda. Repare também nas retas tracejadas da luz: elas se inclinam, e a leitura mostra a luz andando a 0,5 c num sentido e a 1,5 c no outro. Na vista de S, o que se inclina é o eixo ct′. Arraste A e B para colocá-los na mesma altura e confira que continuam simultâneos para qualquer v.

Unidades com c=1: os eixos são ct e x, e a velocidade é v/c. Arraste os eventos A e B. Os anéis apagados marcam onde cada evento está em S. As tracejadas verdes leem as coordenadas de A nos eixos inclinados. A transformação de Galileu não tem limite de velocidade; o controle para em 0,999 só para ser o mesmo do modo de Lorentz.

O grupo de Galileu

A configuração padrão é só um caso. Trocar a orientação dos eixos, a origem ou o instante zero também leva um referencial inercial a outro. O conjunto de todas essas mudanças forma um grupo de dimensão 10, com 3 rotações, 3 velocidades, 3 translações no espaço e 1 no tempo, e a estrutura desse grupo já diz o que é absoluto.

Partimos de duas hipóteses sobre as medidas: o intervalo de tempo entre dois eventos é o mesmo para todos, e a distância entre dois eventos simultâneos também. Acrescentamos que uma partícula livre tem velocidade constante em todo referencial inercial. Queremos a forma geral da transformação e o que ela preserva.

A forma geral Conservar Δt obriga a t′=t+τ. Em cada instante, conservar distâncias obriga a uma isometria do espaço euclidiano, x′=R(t) x+b(t), com R(t) ortogonal. Uma partícula livre tem x¨=0, e sua imagem deve ter x¨′=0 para todo x e x˙. Isso exige R˙=0 e b¨=0: t′=t+τ,x′=R x+u t+a. Restringindo a det⁡R=+1, são 1+3+3+3=10 parâmetros.

A composição fecha Aplicando g1=(R1,u1,a1,τ1) e depois g2, x′′=R2R1 x+(R2u1+u2) t+(R2a1+u2τ1+a2),t′′=t+τ1+τ2. O resultado tem a mesma forma. A identidade é (I,0,0,0).

A inversa existe Isolando x e usando t=t′−τ, x=RTx′−RTu t′+RT(uτ−a). Logo g−1=(RT, −RTu, RT(uτ−a), −τ), e o conjunto é um grupo.

Velocidades se somam Para R=I, o passo 2 dá u′′=u1+u2. No plano (ct,x), os cisalhamentos se multiplicam somando os parâmetros: (10−β21)(10−β11)=(10−(β1+β2)1). Derivando x′=x−vt com t′=t, um corpo de velocidade w em S tem w′=w−v em S′. Nada impede w′ de ser arbitrariamente grande: não há velocidade especial no grupo.

As leis de Newton são covariantes Derivando duas vezes, x¨′=R x¨: a parcela u t+a some. Se as forças dependem só das diferenças xi−xj e do tempo decorrido, elas giram com R, F′=RF, e a massa não muda. Então mx¨=F implica mx¨′=F′. A velocidade absoluta não aparece em lugar nenhum da dinâmica, e por isso nenhum experimento mecânico a mede.

Nenhuma métrica inversível sobrevive Procure uma forma G=(abbd) em (ct,x) preservada por todo cisalhamento B, no sentido de BTGB=G. A conta dá BTGB=(a−2bβ+dβ2b−dβb−dβd). Para valer em todo β, é preciso d=0 e depois b=0. Sobra G=adiag⁡(1,0), de determinante nulo: o único invariante quadrático é (cΔt)2. A distância Δx2 só é invariante no caso Δt=0.

Resultado. As transformações t′=t+τ, x′=Rx+ut+a formam um grupo de dimensão 10 sob o qual a mecânica newtoniana é covariante. A geometria que ele preserva é degenerada: um tempo universal e, em cada instante, um espaço euclidiano, sem uma métrica única para o espaço-tempo.

O que muda e o que fica

Muda: a posição, a velocidade, o juízo de que dois eventos ocorreram no mesmo lugar, a energia cinética. Fica: o intervalo de tempo, a simultaneidade, a distância entre eventos simultâneos, a aceleração, a massa, a força. O espaço-tempo galileano não é um espaço com um só comprimento, é uma pilha de espaços, um para cada instante, sem identificação canônica entre as camadas. Por isso "o mesmo lugar em instantes diferentes" não tem resposta absoluta, enquanto "o mesmo instante em lugares diferentes" tem.

A regra w′=w−v vale para qualquer coisa que se mova, e essa generalidade é o seu problema. Aplicada à luz, ela prevê que um observador em movimento mede c−v num sentido e c+v no outro. Se isso fosse verdade, a luz serviria de velocímetro absoluto, e a relatividade de Galileu valeria para a mecânica, mas não para o eletromagnetismo. A próxima seção, o que quebra, mostra esse conflito na equação de onda e no experimento que o testou.