Invariância: o que não muda quando a base muda

Um vetor é um objeto geométrico; suas componentes são a descrição dele numa base escolhida. Separar as duas coisas é o ponto de partida da relatividade: só tem significado físico o que sobrevive a uma mudança de base.

Objeto e descrição

Fixe um espaço vetorial real V de dimensão n e uma base {e1,…,en}. Todo vetor se escreve de um único modo como combinação dos vetores da base. A partir daqui vale a convenção de Einstein: um índice repetido, uma vez em cima e uma vez embaixo, significa soma de 1 a n. Esse índice é mudo, e pode ser renomeado à vontade; um índice livre precisa aparecer igual nos dois lados de uma equação.

A segunda base se relaciona com a primeira por uma matriz inversível A, cujas colunas são os vetores novos escritos na base antiga. Substituir ej′ em v=v′ jej′ dá v=(Aijv′ j) ei, e a unicidade das componentes na base antiga fornece a regra das componentes.

Um exemplo no plano, com e1,e2 ortonormais. Tome e1′=2e1 e e2′=e1+e2, isto é, A=(2101), e o vetor v=3e1+2e2. Com A−1=12(1−102) vem v′ 1=12 e v′ 2=2. Conferindo: 12(2,0)+2(1,1)=(3,2). A soma dos quadrados vale 13 na base antiga e 174 na nova, embora a seta seja a mesma. Logo essa soma não é o comprimento de nada na base nova.

O comprimento exige a métrica

O produto escalar é bilinear, então basta conhecê-lo nos vetores da base. Expandindo u⋅v=(uiei)⋅(vjej) aparece a tabela gij, que é simétrica e tem determinante não nulo.

No exemplo acima, g11′=e1′⋅e1′=4, g12′=e1′⋅e2′=2 e g22′=2. Então gij′v′ iv′ j=4⋅14+2⋅2⋅12⋅2+2⋅4=1+4+8=13, o valor correto. Os termos cruzados carregam a informação de que e1′ e e2′ não são perpendiculares; g11′ e g22′ carregam os tamanhos deles.

Queremos mostrar que gkl′u′ kv′ l=gijuivj para qualquer A inversível. A prova usa só a bilinearidade e as regras de mudança de base; nenhuma base precisa ser ortonormal.

A métrica na base nova Pela definição e pela bilinearidade, gkl′=ek′⋅el′=(Aikei)⋅(Ajlej)=AikAjl gij. Em forma matricial, g′=ATgA. Dois fatores de A, um para cada índice embaixo.

As componentes na base nova Da regra de componentes, u′ k=(A−1)km um,v′ l=(A−1)ln vn.

Substituir Juntando os dois passos, gkl′u′ kv′ l=gij [Aik(A−1)km][Ajl(A−1)ln] umvn.

Cancelar Cada colchete é AA−1=I, a matriz identidade, ou seja, δmi e δnj: gkl′u′ kv′ l=gij δmiδnj umvn=gij uivj. O caso u=v dá o comprimento; a razão u⋅v/(∥u∥∥v∥) dá o ângulo, invariante pela mesma razão.

Quando a soma de quadrados sobrevive Se as duas bases são ortonormais, g=g′=I, e o passo 1 vira ATA=I: A é ortogonal. A soma de quadrados é invariante sob rotações e reflexões, e só sob elas. Uma dilatação A=2 I já a multiplica por 14, enquanto g′=4 I devolve o fator.

Área e volume Tomando o determinante de g′=ATgA, det⁡g′=(det⁡A)2det⁡g⇒∣det⁡g′∣=∣det⁡A∣∣det⁡g∣. Para a área do paralelogramo gerado por u,v, a expressão ∣det⁡g∣ ∣u1v2−u2v1∣ é invariante: o determinante das componentes muda por 1/det⁡A e compensa o fator acima. No exemplo do plano, com e1′=2e1 e e2′=e1+e2, ∣det⁡g′∣=4=2=det⁡A.

Resultado. g′=ATgA e gkl′u′ kv′ l=gijuivj para toda A inversível. A métrica muda exatamente o necessário para compensar a mudança das componentes.

Arraste as pontas de e1′ e e2′ e compare as leituras. A soma ingênua dos quadrados oscila com a base, enquanto gij′v′ iv′ j permanece igual a ∥v∥2. Ao alinhar os dois vetores da base, A deixa de ser inversível e as componentes de v ficam indefinidas: não há solução se v está fora da reta dos dois vetores, e há infinitas se está sobre ela.

Arraste as pontas de e1′ (verde), e2′ (âmbar), v (branco) e u (azul). Os pontos são as combinações inteiras da base nova; o caminho tracejado é v′ 1e1′+v′ 2e2′. A base fixa é a ortonormal dos eixos do desenho.

Invariante, escalar e componente

Uma componente é um número, mas não é um escalar. Num giro de 90∘ da base, v1 passa a valer o que antes era ±v2, portanto o rótulo "primeira componente" não descreve uma propriedade do vetor. Um escalar é um número construído de modo que a mudança de base não o altera, como ∥v∥ ou u⋅v. A mesma distinção separa grandezas físicas: energia é uma componente do quadrimomento e muda de um observador para outro, enquanto a massa de repouso é um escalar.

Daí vem a regra de trabalho. Se dois objetos do mesmo tipo são iguais numa base, são iguais em todas, porque a diferença deles é um objeto cujas componentes são nulas e combinações lineares de zeros continuam nulas. Por isso Fi=mai vale para eixos girados: os dois lados mudam com a mesma matriz, e m é escalar. Uma lei física escrita como igualdade entre objetos de mesmo tipo não precisa de uma base privilegiada. Uma lei como "F1=ma1 e F2=0 em toda base" não faria sentido.

A mesma estrutura no espaço-tempo

Nada na derivação exigiu que g fosse positiva. Basta que seja simétrica e inversível. O espaço-tempo plano usa coordenadas xμ=(ct,x,y,z) e a métrica de Minkowski, com índices gregos de 0 a 3. O "comprimento ao quadrado" chama-se intervalo e pode ter qualquer sinal. As seções que usam a assinatura oposta estão no quadro de sinais.

Considere dois eventos com cΔt=5 m e Δx=3 m. O intervalo é Δs2=−25+9=−16 m2. Um observador com β=v/c=35, logo γ=54, mede pela transformação de Lorentz cΔt′=γ(cΔt−βΔx)=54⋅165=4 m e Δx′=γ(Δx−βcΔt)=0. As duas componentes mudaram, uma delas até zerou, e Δs′2=−16 m2 como antes. Esse é o observador para quem os dois eventos ocorrem no mesmo lugar, e o tempo que ele mede, cΔτ=4 m, é o invariante que os demais calculam por −Δs2.

Numa variedade curva, gμν passa a depender do ponto, mas a relação g′=ATgA continua valendo ponto a ponto. A tétrada é justamente uma matriz A que leva gμν à forma ηab em cada ponto. A rotação de Wick da métrica euclidiana troca o sinal de η00 e, com ele, o grupo que preserva a forma.