Simultaneidade e soma de velocidades

O termo vx/c2 em t′, que parecia desprezível em Lorentz, é o coração da teoria. Sem ele, a dilatação não seria recíproca e a velocidade da luz não seria a mesma para todos. Ele diz que agora, para um evento distante, depende do referencial. A soma de velocidades é a mesma história contada para um corpo em movimento.

A simultaneidade depende do referencial

Dois eventos separados por Δx e simultâneos em S têm, em S′, Δt′=−γvΔx/c2. Basta a transformação de Lorentz. Mas vale ver o mecanismo físico, com os eventos nomeados. O solo é S, e o trem é S′, com velocidade v ao longo de +x. No solo há duas marcas separadas por L, e O está parado no meio.

Usamos só que a luz viaja a c nos dois referenciais e a dilatação da seção anterior. Depois a resposta é comparada com a transformação de Lorentz.

Em S: quando a luz chega a O′ O′ está em x=vt. A luz da frente percorre x=L/2−ct, e a de trás, x=−L/2+ct. Igualando, tAF=L/2c+v,tAR=L/2c−v. AF vem antes de AR para todos, porque os dois eventos estão na linha de mundo de O′, e a separação entre eles é tipo tempo.

O intervalo lido pela passageira AF e AR ocorrem no mesmo lugar de S′. O relógio dela lê o tempo próprio: Δτ=tAR−tAFγ=1γ L2 2vc2−v2=1γ Lvγ2c2=γvLc2.

O que ela conclui em S′ As marcas no vagão estão à mesma distância L0/2 dela, e em S′ a luz viaja a c nos dois sentidos. Cada pulso levou o mesmo tempo L0/2c. A diferença de chegada é, portanto, a diferença de emissão: tR′−tF′=tAR′−tAF′=γvLc2>0. Em S′, o raio da frente cai primeiro.

Conferir com Lorentz Com t′=γ(t−vx/c2), tR=tF=0 e xR−xF=−L, tR′−tF′=−γvc2(xR−xF)=γvLc2. Os dois caminhos concordam, e o primeiro não usou o termo vx/c2: ele é consequência da constância de c.

O limite da discordância Em geral, Δt′=γ(Δt−vΔx/c2). Para inverter a ordem, é preciso vΔx/c2>Δt, com Δt>0, ou seja, v>c2Δt/Δx. Com ∣v∣<c isso só é possível se cΔt<∣Δx∣. Eventos que a luz não consegue ligar podem trocar de ordem. Eventos em relação causal, não. A próxima seção dá a isso o nome de separação tipo espaço e tipo tempo.

Resultado. Dois eventos simultâneos em S, separados por L ao longo de x, têm ∣Δt′∣=γvL/c2 em S′, e o evento mais à frente no sentido de v vem antes.

Com β=35, γ=54 e L=400 m, a discordância é cΔt′=54⋅35⋅400=300 m, cerca de 1,0 μs. Em um trem real a 100 m/s, com L=300 m, são vL/c2≈3×10−13 s. Por isso a simultaneidade parece absoluta.

Rode o trem. Em cima está a cena, e embaixo o diagrama, no mesmo eixo x. Na vista do solo, R e F ficam na mesma horizontal, e a reta verde tracejada é o que o trem considera simultâneo. Na vista do trem, os raios deixam de estar na mesma horizontal, o trem mede γL e as marcas do solo, agora em movimento, ficam a L/γ. Com v/c=0,6, cΔt′=1,50 e a diferença lida pela passageira é a mesma. No extremo, a escala do desenho acompanha γ, e na vista do solo a chegada da luz de trás sai do quadro, mas a leitura continua finita.

Unidades com c=1, e a distância entre as marcas no solo é L=2. R é o raio de trás, F o da frente. O observador O está no solo, e O′ no meio do trem. No diagrama, as linhas amarelas são a luz dos raios, a horizontal cinza é o simultâneo da vista escolhida, e a verde tracejada é o simultâneo do outro referencial. O anel marca o instante que a cena mostra.

Soma de velocidades

Velocidade é razão entre diferenças de coordenadas de dois eventos numa mesma linha de mundo. Como tempo e espaço se misturam, a soma simples não sobrevive. Tome um corpo que se move ao longo de x, e dois eventos dele. Em S′, medido com réguas e relógios de S′, ele tem velocidade u′. Queremos u, medida em S para os mesmos eventos.

A regra vem da razão entre duas linhas da transformação inversa. Depois a substituição β=tanh⁡φ a transforma em adição.

Dividir as diferenças Para dois eventos próximos do corpo, com dx′=u′ dt′, a inversa dá dx=γ(dx′+v dt′)=γ(u′+v) dt′,dt=γ(dt′+v dx′c2)=γ(1+u′vc2)dt′. Dividindo, u=dxdt=u′+v1+u′v/c2.

Direção transversal Se o corpo também tem dy′=uy′ dt′, então dy=dy′, e uy=uy′γ (1+ux′v/c2). A componente transversal muda mesmo com y′=y, porque o tempo mudou. É o que dá a aberração da luz.

A soma nunca passa de c Com a=u′/c e b=v/c, ambos em (−1,1), 1−uc=1−a+b1+ab=(1−a)(1−b)1+ab>0, e, com o mesmo cálculo, 1+u/c=(1+a)(1+b)/(1+ab)>0. Logo ∣u∣<c. Se a=1, o numerador se anula: u=c, qualquer que seja v. A luz tem a mesma velocidade para todos, que é o postulado voltando como conferência.

Rapidez Defina φ por β=tanh⁡φ, de modo que φ=12ln⁡1+β1−β. A identidade da tangente hiperbólica é, letra por letra, a regra acima: tanh⁡(φ1+φ2)=tanh⁡φ1+tanh⁡φ21+tanh⁡φ1tanh⁡φ2. Velocidades ao longo de uma reta se compõem somando rapidezes.

Por que soma: as matrizes Com Λ(φ) da seção de Lorentz, as identidades de cosh⁡(φ1+φ2) e sinh⁡(φ1+φ2) dão Λ(φ1) Λ(φ2)=Λ(φ1+φ2). Boosts ao longo de um mesmo eixo formam um grupo de um parâmetro, como rotações em torno de um eixo fixo, e φ é o parâmetro aditivo. Isso só vale em uma reta. Dois boosts em direções diferentes não dão um boost puro: sobra uma rotação.

Resultado. u=(u′+v)/(1+u′v/c2), com ∣u∣<c sempre que ∣u′∣,∣v∣<c. Em rapidez, φu=φu′+φv.

Um exemplo exato: β=35 tem φ=ln⁡2. Dois desses dão φ=ln⁡4, logo β=tanh⁡ln⁡4=1517≈0,882, o mesmo que (0,6+0,6)/(1+0,36). A rapidez cresce sem limite, e cada novo impulso igual, dado no referencial do momento, soma a mesma parcela. A velocidade é que satura. Dez impulsos de β=35 dão φ=10ln⁡2, e 1−β≈1,9×10−6.

Mova os controles. A curva verde é β=tanh⁡φ. As setas no eixo horizontal são φv e φu′, uma depois da outra, e a curva leva a soma de volta à velocidade. A marca rosa no eixo vertical é u′+v, a soma de Galileu, livre para passar de 1. No extremo, compor 0,999 com 0,999 dá uma folga de 5,0×10−7 até a luz. Ela fica pequena, mas não zera.

Unidades com c=1: velocidades em frações de c. A curva é β=tanh⁡φ, e as linhas amarelas marcam β=±1, que ela nunca alcança. As setas somam as rapidezes. O ponto branco é u, e a marca rosa é a soma de Galileu u′+v.

Duas verificações

Água em movimento. Em 1851, Fizeau mediu a luz em água corrente e achou que ela é arrastada só em parte. Em 1886, Michelson e Morley repetiram a medida e obtiveram o coeficiente 0,434±0,02, contra 1−1/n2=0,437, o valor que Fresnel tinha obtido de um éter parcialmente arrastado. Em 1907, von Laue mostrou que nada disso exige éter. A luz tem velocidade u′=c/n na água, e a água tem velocidade v≪c no laboratório:

Fonte quase à velocidade da luz. Em 1964, Alväger, Farley, Kjellman e Wallin mediram no CERN, por tempo de voo em 31,45 m, a velocidade de raios gama de mais de 6 GeV emitidos pelo decaimento de píons neutros com β≈0,99975. A soma de Galileu daria quase 2c. O resultado foi (2,9977±0,0004)×108 m/s. Escrevendo c′=c+kv, obtém-se k=(−3±13)×10−5.