Intervalo e espaço-tempo de Minkowski

Em 21 de setembro de 1908, em Colônia, Hermann Minkowski abriu sua palestra dizendo que o espaço e o tempo, cada um por si, estavam condenados a virar sombras, e que só uma união dos dois manteria independência. O que ele tinha nas mãos era a observação de que a transformação de Lorentz é a simetria de uma geometria. Minkowski morreu em janeiro de 1909, antes da publicação do texto.

O intervalo

A invariância pode ser conferida por substituição, como foi feito em Lorentz. Mais instrutivo é o caminho inverso: ela decorre diretamente do segundo postulado, sem a forma da transformação.

Hipóteses: a transformação é linear, as direções são equivalentes, e a volta de S′ para S é a mesma lei com −v. Tudo isso já foi estabelecido em Lorentz. O dado físico é só que um pulso de luz é pulso de luz para todos.

O postulado em forma de equação Dois eventos ligados por um pulso de luz satisfazem s2=0 em S. A velocidade da luz é a mesma em S′, então s′2=0 para o mesmo par. A condição é: s2=0⇒s′2=0.

s′² é uma forma quadrática em Δx Como Δx′μ é linear em Δxν, temos s′2=aμν ΔxμΔxν, com aμν simétrico e dependente apenas de v. Separe o tempo do espaço: s′2=a00(cΔt)2+2a0i cΔt Δxi+aij ΔxiΔxj.

Quem se anula no cone é proporcional Tome um pulso na direção unitária n: Δxi=ni cΔt. O pulso oposto tem −n. Cada um anula s′2: a00±2a0ini+aijninj=0. Subtraindo, a0ini=0 para todo n, logo a0i=0. Somando, aijninj=−a00 para todo n unitário, logo aij=−a00 δij. Com k≡−a00, s′2=k (−c2Δt2+Δx2+Δy2+Δz2)=k(v) s2.

A constante vale 1 Pela isotropia, k não depende do sentido de v: k(−v)=k(v). Indo de S a S′ e voltando, s2=k(−v) s′2=k(v)2 s2, logo k=±1. Como k(0)=1 e k é contínua, k=1. s′2=s2.

Tipo tempo: existe um referencial sem deslocamento Se s2<0, então ∣Δx∣<c∣Δt∣ e v=Δx/Δt é menor que c. No referencial com essa velocidade, Δx′=0, os eventos ocorrem no mesmo lugar, e s2=−c2Δτ2. Igualando ao valor em qualquer outro referencial, Δτ=Δt2−Δx2/c2=Δt 1−v2/c2=Δtγ. A dilatação do tempo é a invariância do intervalo escrita em dois referenciais.

Tipo espaço: existe um referencial sem intervalo de tempo Se s2>0, então c∣Δt∣<∣Δx∣, e v=c2Δt/Δx é menor que c. Nesse referencial Δt′=γ(Δt−vΔx/c2)=0: os eventos são simultâneos, e s2 é a distância entre eles, L0. A fórmula é a do caso anterior com Δx e cΔt trocados, e por isso os eixos inclinados do diagrama se fecham simetricamente em torno da linha da luz.

Resultado. Uma transformação linear que preserva o cone multiplica s2 por um fator k(v). A isotropia, que dá k(−v)=k(v), e a inversa ser a mesma lei com −v fixam k=1. As duas hipóteses são necessárias: só com a segunda, um fator de escala eαv/2 em Λ ainda passaria. No referencial mais simples, ∣s2∣ é cΔτ ou L0.

As três classes

O sinal de s2 é invariante, e por isso a classificação é um fato sobre o par de eventos, não sobre quem olha.

Tipo tempo, s2<0. Um corpo com velocidade menor que c pode estar nos dois eventos. A ordem é absoluta: como ∣vΔx/c2∣<∣Δt∣, o sinal de Δt′=γ(Δt−vΔx/c2) é o de Δt. Só esses pares podem ter relação de causa e efeito por meio de matéria. Tipo luz, s2=0. Só um sinal à velocidade da luz liga os dois, e a ordem também é absoluta. Tipo espaço, s2>0. Nenhum sinal liga os dois. Existem referenciais em que A vem antes de B, em que são simultâneos e em que B vem antes de A, como na seção anterior. Um sinal mais rápido que a luz, que ligasse esses eventos, seria um efeito antes da causa em algum referencial.

Os dois exemplos a seguir são espelhos um do outro, com β=35 e γ=54. O par com cΔt=5 m e Δx=3 m tem s2=−25+9=−16 m2. Em S′, cΔt′=54(5−1,8)=4 m e Δx′=54(3−3)=0: cΔτ=4 m. O par com cΔt=3 m e Δx=5 m tem s2=−9+25=16 m2. Em S′, cΔt′=54(3−3)=0 e Δx′=54(5−1,8)=4 m: L0=4 m.

Um caso astronômico. A luz leva 499 s do Sol à Terra. Se uma erupção no Sol e uma falha em um satélite perto da Terra estão separadas por 300 s, no referencial do Sistema Solar, então cΔt<Δx: o par é tipo espaço, e a erupção não pode ser a causa. Em um referencial com β=300/499≈0,60, os dois eventos são simultâneos, e em outros mais rápidos no mesmo sentido a ordem se inverte.

A métrica η

A forma s2 define um produto entre deslocamentos, exatamente como a métrica em operações com tensores e no tensor métrico. Para dois quadrivetores Aμ e Bμ, A⋅B=ημνAμBν=−A0B0+A⋅B. Baixar o índice troca o sinal só da componente temporal: xμ=ημνxν=(−ct,x,y,z). Exigir que todo Λ preserve s2 para todo Δx é o mesmo que exigir

Dessa condição sai (det⁡Λ)2=1, e a componente μ=ν=0 dá (Λ00)2=1+∑i(Λi0)2≥1. Assim det⁡Λ=±1, e Λ00 ou é ≥1 ou é ≤−1. Os boosts e as rotações têm det⁡Λ=+1 e Λ00≥1; a paridade, x→−x, tem det⁡Λ=−1 e mantém Λ00=1; a inversão temporal, t→−t, tem det⁡Λ=−1 e Λ00=−1; as duas juntas têm det⁡Λ=+1 e Λ00=−1. A inversa não precisa ser calculada: Λ−1=η−1ΛTη, que no plano (ct,x) é trocar β por −β. Somando translações, tem-se o grupo de Poincaré.

A geometria que resulta não é a de Euclides. Dois eixos e0′=γ(1,β) e e1′=γ(β,1), desenhados inclinados no plano (ct,x), são ortogonais por η: −γ2β+γ2β=0. Vetores tipo luz são ortogonais a si mesmos. E vale a desigualdade triangular ao contrário. Para eventos A, B, C com A→B e B→C tipo tempo e futuros, tome o referencial em que A e C estão no mesmo lugar. Nele ΔτAC=ΔtAB+ΔtBC, e cada trecho tem Δτ≤Δt. Logo

Essa desigualdade decide o caso dos gêmeos, e a norma definida por η dá a massa do quadrimomento.

Arraste A e B. O cone sombreado sai de A, e a curva dourada é a hipérbole de s2 constante que passa por B, centrada em A. O segmento muda de cor com a classe do par: verde para tipo tempo, amarelo para tipo luz, rosa para tipo espaço. Mova o controle de velocidade, e os dois eventos deslizam enquanto s2 não muda. B fica preso à hipérbole e, no caso tipo espaço, atravessa a horizontal de A: a ordem se inverte. O botão de referencial simples aplica o boost que anula Δx′ ou Δ(ct′). Com o par tipo tempo (5;3), ele vai a v/c=0,600 e lê cΔτ=4,00. Para um par tipo luz, esse referencial não existe, e a leitura diz isso.

Unidades com c=1: os eixos são ct e x, e o desenho é o referencial S′ que o controle escolhe, igual a S em v=0. Os anéis apagados marcam onde os eventos estão em S. O boost é em torno da origem do desenho, por isso A também se move. O par é o que importa: Δ(ct) e Δx vão de A a B.