Dilatação do tempo e contração do comprimento

A transformação de Lorentz relaciona coordenadas de eventos. Tempo decorrido e comprimento não são coordenadas: são respostas a uma pergunta sobre um par de eventos. Quase todo erro aqui vem de aplicar a fórmula sem dizer qual é o par.

Quem mede o quê

Tempo próprio Δτ é o tempo entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar de um referencial inercial, lido por um único relógio parado nesse lugar. Dois tiques de um relógio são um par assim, no referencial do relógio. Em outro referencial os dois tiques ocorrem em lugares diferentes, e a medida exige dois relógios sincronizados entre si, um em cada lugar.

Comprimento próprio L0 é a distância entre as extremidades de um corpo no referencial em que ele está parado. Ali as marcas podem ser lidas com calma, em qualquer instante. Num referencial em que o corpo se move, medir o comprimento significa registrar as duas extremidades no mesmo instante daquele referencial. O par de eventos é esse: extremidade A em t, extremidade B no mesmo t.

S′ se move com velocidade v ao longo de +x em relação a S. Para diferenças de coordenadas entre dois eventos, a transformação de Lorentz vale com Δ em tudo, porque é linear. Em cada passo está dito qual é o par e o que se fixou nele.

Par 1: dois tiques de um relógio parado em S′ Os eventos são os tiques E1 e E2 de um relógio em x′ fixo. Em S′ sabemos Δx′=0 e Δt′=Δτ. Queremos Δt, lido por dois relógios de S. A inversa dá Δt=γ(Δt′+v Δx′c2)=γ Δτ,Δx=γ(Δx′+v Δt′)=γv Δτ=v Δt. A segunda igualdade confere que o relógio percorreu vΔt em S.

A armadilha: usar a transformação direta Escrever Δt′=γ Δt a partir de Δt′=γ(Δt−vΔx/c2) exige Δx=0, ou seja, outro par: dois tiques de um relógio parado em S. Com o par 1, Δx=vΔt, e a mesma fórmula devolve Δt′=γ Δt(1−v2c2)=Δtγ. Não há contradição. Nos dois casos, o menor dos dois tempos é o de quem lê o par com um relógio só.

Conferência independente: o relógio de luz Um pulso vai e volta entre dois espelhos separados por d na direção y, parados em S′. Os eventos são a saída e a volta ao mesmo espelho. Em S′ eles estão no mesmo lugar, e Δτ=2d/c. Em S o espelho anda vΔt, e a separação d é a mesma, porque y′=y. O pulso percorre dois lados de um triângulo, a c nos dois referenciais: (c Δt2)2=d2+(v Δt2)2⇒Δt=2d/c1−v2/c2=γ Δτ.

Par 2: as extremidades de uma barra parada em S′ A barra está ao longo de x′, com comprimento próprio L0. Em S ela se move, e os eventos são o registro das duas extremidades com Δt=0. Chame L=Δx. Como a barra está parada em S′, a diferença de posições nesse referencial é L0, seja qual for o instante t′ de cada registro. A transformação direta dá L0=Δx′=γ(Δx−v Δt)=γL⇒L=L0γ.

A armadilha simétrica Em S′, esses dois registros não são simultâneos: Δt′=γ(Δt−vΔx/c2)=−γvL/c2=−vL0/c2. Isso não atrapalha, porque a barra não se move em S′. Já fixar Δt′=0 e calcular Δx=γL0 é o erro clássico: esses dois eventos têm Δt=γvL0/c2≠0, e em S a barra andou entre um e outro. O número γL0 não é comprimento de nada.

Uma fórmula gera a outra Uma barra de comprimento próprio L0 está parada em S, e um relógio passa por ela com velocidade v. Os eventos são a passagem do relógio pelas duas pontas. Em S, Δt=L0/v. No referencial do relógio os dois eventos ocorrem no mesmo lugar, logo Δτ=Δt/γ. Nesse referencial é a barra que passa, com a mesma velocidade v, de modo que seu comprimento é L=v Δτ=vγ L0v=L0γ. As duas medidas descrevem o mesmo par de eventos. Quem aceita uma é obrigado a aceitar a outra.

Resultado. Para um par no mesmo lugar de S′, Δt=γΔτ. Para as extremidades de um corpo parado em S′, registradas com Δt=0, L=L0/γ. Distâncias transversais não mudam, pois y′=y e z′=z.

As duas fórmulas

Um exemplo com números exatos. Para β=1213, γ=135=2,6. Um relógio parado em S′ marca cΔτ=5 m entre dois tiques. Em S, cΔt=13 m e Δx=12 m. A quantidade invariante confere: −132+122=−25=−52. Uma barra com L0=26 m em S′ mede 10 m em S.

A reciprocidade é exata. Cada referencial conclui que os relógios do outro atrasam, e isso não gera paradoxo porque as duas afirmações usam pares diferentes: um relógio de um lado contra dois sincronizados do outro. Quem acha a sincronia de S correta discorda da de S′, como mostra a relatividade da simultaneidade. Quando um relógio sai e volta, a comparação é de um contra um, nos mesmos dois eventos, e aí há uma resposta única: é o caso dos gêmeos.

Os múons da alta atmosfera

Raios cósmicos produzem múons a altitudes típicas de 15 km. Tome um múon com v=0,995 c, logo γ≈10,0. O par de eventos é sempre o mesmo: E1, o múon nasce; E2, o múon chega ao solo. O modelo tem velocidade fixa e queda vertical.

No referencial da Terra. A distância é h=15 km e Δt=h/v=50,3 μs, medido por relógios no alto e no solo. O relógio interno do múon está nos dois eventos, e portanto marca o tempo próprio Δτ=Δt/γ=5,0 μs. No referencial do múon. Ele está parado, e o solo sobe com velocidade v. Os dois eventos ocorrem no mesmo lugar, e o tempo é 5,0 μs porque a atmosfera, em movimento, tem h/γ=1,5 km. A sobrevivência é uma contagem, e nisso todos concordam.

Sem a dilatação, e−50,3/2,197≈1,1×10−10. Com ela, e−5,02/2,197≈0,10. Chega um múon em cada dez, em vez de cerca de um em dez bilhões. Múons reais não têm essa velocidade fixa: perdem cerca de 2 GeV no ar, e os que chegam ao solo têm energia média próxima de 4 GeV. O modelo mostra a escala do efeito, não o fluxo.

Compare as curvas. A rosa é a previsão sem dilatação, e a verde é a relativística, ambas em escala logarítmica. Troque de vista: na Terra, o múon cai a coluna inteira; no múon, a atmosfera encolhida sobe até ele. Leve v/c ao extremo: em 0,999 o fator passa de 22, e mais de um terço dos múons chega. O botão de Frisch e Smith usa a altitude do Monte Washington, e o modelo de velocidade fixa dá cerca de 30 e 420 múons por hora, perto dos valores do experimento citados abaixo.

Unidades do SI, com τμ=2,197 μs. O modelo tem velocidade fixa e queda vertical. A reta rosa é e−t/τμ, com o tempo t da Terra, e a verde é e−τ/τμ, com o tempo próprio τ=t/γ. Na vista do múon não há relógio da Terra na leitura: os relógios do solo e do alto não estão sincronizados nesse referencial.

O que foi medido

Rossi e Hall, 1941. Compararam o fluxo de mésotrons, como os múons eram chamados, em Echo Lake (3.240 m) e Denver (1.616 m), no Colorado, separando-os por poder de penetração. O grupo mais lento decaía cerca de três vezes mais depressa que o mais rápido, como prevê a dependência de γ com a energia, e o resultado para a vida própria foi (2,4±0,3) μs.

Frisch e Smith, 1963. Contaram múons de velocidade selecionada, perto de 0,995 c, no alto do Monte Washington (1.917 m) e perto do nível do mar, em Cambridge, Massachusetts. Foram cerca de 563 por hora no alto e cerca de 412 embaixo. Sem dilatação, chegariam só cerca de 27, depois de 6,4 μs de voo. A conta direta, ln⁡(563/412)≈0,31 vidas médias, dá 0,69 μs de tempo próprio e um fator perto de 9. O valor publicado é 8,8±0,8.

CERN, 1977. Bailey e colaboradores guardaram múons em um anel de 14 m de diâmetro, com γ=29,33. Mediram τ+=64,419(58) μs e τ−=64,368(29) μs, contra γτμ≈64,4 μs previstos. O par de eventos, aqui, é nascimento e decaimento, em pontos quaisquer do anel, separados em média por cerca de 440 voltas. O Δτ é acumulado ao longo da órbita, e como a velocidade tem módulo constante, Δt=γΔτ continua valendo. O resultado de 1977 concorda com a relatividade em cerca de 2×10−3, e o relatório final de 1979 dá (0,8±0,7)×10−3. No anel, a aceleração própria é γ2v2/r≈1019 m/s2, cerca de 1018 g, e a taxa de decaimento continua dada por γ. O relógio responde à velocidade instantânea, não à aceleração. Essa é a hipótese do relógio, e é ela que permite somar tempo próprio ao longo de uma linha de mundo curva.

Átomos como relógios. Ives e Stilwell, em 1938, usaram raios canais de hidrogênio e mediram o deslocamento Doppler de segunda ordem, o efeito de γ sobre a frequência de um átomo em movimento. A versão moderna é a de Botermann e colaboradores, em 2014, com íons 7Li+ a β=0,338 no anel ESR, em Darmstadt: a relação γ1−β2=1 vale dentro de ±2,3×10−9.