Aceleração, movimento hiperbólico e Rindler

Uma ideia comum diz que a relatividade restrita não lida com aceleração. Ela lida: nos paradoxos a aceleração já entortava linhas de mundo. Minkowski ligou em 1908 a quadriaceleração à curvatura de uma hipérbole, e Max Born deu ao caso constante o nome de movimento hiperbólico em 1909. O resultado surpreende: quem acelera para sempre tem às costas um horizonte, sem massa nenhuma por perto.

Aceleração própria

Com uμ=dxμ/dτ, a quadrivelocidade, a quadriaceleração é a derivada seguinte. O que um acelerômetro a bordo mede é o tamanho dela.

Hipóteses: α constante e movimento retilíneo. A segunda não é detalhe. Um corpo em órbita circular uniforme também tem aμaμ constante, e sua linha de mundo é uma hélice. Em linha reta, ao longo de x, y e z não participam.

Ortogonalidade Derivando uμuμ=−c2 em relação a τ, vem 2uμaμ=0. No referencial que acompanha o corpo, uμ=(c,0), e a condição dá a0=0. Sobra aμ=(0,α), com α=dv/dt nesse referencial. Portanto aμaμ=α2, e por ser escalar esse valor é o mesmo em qualquer referencial.

Parametrizar pela rapidez Em 1+1 dimensões, a condição uμuμ=−c2 é resolvida de uma vez por uμ=c (cosh⁡φ, sinh⁡φ), com φ(τ). De fato, γ=cosh⁡φ e γv/c=sinh⁡φ.

Derivar Com φ˙=dφ/dτ, aμ=c φ˙ (sinh⁡φ, cosh⁡φ),aμaμ=c2φ˙2(cosh⁡2φ−sinh⁡2φ)=c2φ˙2. Logo α=c φ˙: a aceleração própria é a taxa de variação da rapidez por tempo próprio. Com α constante e φ(0)=0, φ=ατ/c. A rapidez cresce sem limite, e v=ctanh⁡φ não passa de c.

Integrar De d(ct)/dτ=ccosh⁡φ e dx/dτ=csinh⁡φ, com L=c2/α, ct=Lsinh⁡ατc,x=Lcosh⁡ατc. As constantes de integração foram escolhidas para que t=0 em τ=0 e para que a origem de x fique a L do ponto de partida. Essa escolha é o que põe o centro da hipérbole na origem.

Eliminar o tempo próprio De cosh⁡2−sinh⁡2=1 sai x2−c2t2=L2, ou seja, x(t)=L2+c2t2. Derivando, v(t)=αt1+(αt/c)2,γv=αt. A segunda igualdade diz dp/dt=mα: em linha reta, aceleração própria constante é o mesmo que força constante no referencial do laboratório.

Limite clássico Para αt≪c, x≈L+c2t2/2L=L+12αt2 e v≈αt. A parábola de Galileu é o vértice da hipérbole.

Resultado. ct=Lsinh⁡(ατ/c), x=Lcosh⁡(ατ/c), v=ctanh⁡(ατ/c) e x2−c2t2=L2. Os componentes de aμ mudam ao longo do caminho; o que fica constante é o seu quadrado.

Com α=9,81 m/s2, a conta dá c/α=0,968 ano e L=0,968 ano-luz. Depois de 1 ano de bordo, a nave tem v=0,775 c, para quem ficou passaram 1,187 ano, e ela percorreu 0,564 ano-luz. Depois de 10 anos de bordo, γ≈15 265, passaram cerca de 14 783 anos e a distância percorrida é de cerca de 14 782 anos-luz. O crescimento é exponencial em τ: é por isso que uma vida de bordo cobre distâncias galácticas, se a energia não for problema.

O exemplo natural é uma carga em campo elétrico uniforme, desprezando a radiação. Um elétron em E=1 MV/m tem α=eE/m≈1,76×1017 m/s2 e L=mc2/eE=0,511 m. Como γ=cosh⁡φ=x/L, depois de percorrer d a partir do repouso, γ=1+d/L: em 0,511 m ele chega a γ=2, e a energia ganha, eEd, é igual a mc2. A seção de eletromagnetismo covariante mostra por que esse campo vale o mesmo no referencial da carga a cada instante.

O horizonte

A hipérbole se aproxima da reta x=ct sem tocá-la. Essa reta é a trajetória de um raio de luz que passa pela origem, e é dela que nasce o horizonte.

A conta fica simples em coordenadas nulas, U=ct−x e V=ct+x. Um raio para +x tem U constante, e um raio para −x tem V constante.

A linha de mundo em coordenadas nulas De sinh⁡φ∓cosh⁡φ=∓e∓φ, U=−L e−ατ/c,V=L eατ/c,UV=−L2. Ao longo da nave, U vai de −∞ a 0 sem chegar lá.

Sinais vindos de trás Um evento com Ue<0, à esquerda da hipérbole, emite um raio para +x. Ele alcança a nave quando U=Ue, isto é, em τ=−cαln⁡−UeL. O tempo de chegada diverge quando Ue→0−.

O horizonte futuro Se Ue≥0, não existe τ nenhum: o raio para +x nunca alcança a nave, e o raio para −x se afasta dela. Como um sinal lento vai atrás da luz, nada com U≥0 influencia a nave. A reta U=0, isto é, x=ct, é o horizonte futuro.

O horizonte passado e as quatro cunhas Por inversão temporal, os sinais da nave só alcançam eventos com V>0. A reta V=0, isto é, x=−ct, é o horizonte passado. As duas retas dividem o plano em quatro cunhas, nomeadas em letra reta: R (x>∣ct∣), onde a nave vive e troca sinais nos dois sentidos; F (ct>∣x∣), que recebe da nave e nada devolve; P (ct<−∣x∣), que envia à nave e nada recebe dela; e L (x<−∣ct∣), sem contato nos dois sentidos. A cunha L não tem relação com o comprimento L.

A distância até o horizonte Em τ=0, a nave está em x=L e o horizonte passa pela origem. Um boost em torno da origem leva a hipérbole nela mesma e cada reta nula que passa pela origem nela mesma, e ele leva qualquer ponto da nave ao ponto de partida. Logo, no referencial que acompanha a nave, o horizonte está sempre a L=c2/α atrás dela.

Resultado. Nada com ct≥x chega à nave. A distância própria até o horizonte é constante e igual a c2/α: a luz corre a c e nunca reduz essa folga.

Suponha que a nave parta do repouso de uma base em x=L, em t=0. A base, parada, cruza o horizonte em ct=L. Mensagens enviadas depois de t=c/α nunca chegam, e a 1 g isso são 0,968 ano. Nas imagens que chegam a bordo, o relógio da base anda cada vez mais devagar e tende a parar nesse valor. Na base, porém, nada acontece nesse instante: ela segue seu caminho e cruza a reta sem notar nada.

Duas ressalvas. O horizonte depende da hipótese de aceleração eterna: se o motor desliga, a linha de mundo vira reta tipo tempo, e os sinais atrasados alcançam a nave. E ele pertence ao observador, não ao espaço-tempo, que continua sendo o de Minkowski. Outra nave, com outro centro de hipérbole, tem outro horizonte.

Coordenadas de Rindler

Agora o referencial do próprio viajante. Uma única hipérbole não basta: é preciso preencher a cunha R com uma família de observadores. O nome vem de Wolfgang Rindler, que discutiu essas coordenadas em 1966, comparando-as ao diagrama de Kruskal; formas equivalentes aparecem antes, em Kottler e Møller.

Basta derivar a mudança de coordenadas e substituir em ds2=−c2dt2+dx2+dy2+dz2. Escreva θ=αη/c.

Diferenciais c dt=sinh⁡θ dξ+ξcosh⁡θ dθ,dx=cosh⁡θ dξ+ξsinh⁡θ dθ.

Quadrados Em −c2dt2+dx2, o termo cruzado é 2ξ(cosh⁡θsinh⁡θ−sinh⁡θcosh⁡θ) dξ dθ=0. Sobram −c2dt2+dx2=dξ2−ξ2dθ2=dξ2−(αξc)2dη2, que é a métrica acima, porque (αξ/c)2=(αξ/c2)2c2.

Tempo próprio e aceleração em cada ξ Com ξ fixo, c2dτ2=−ds2 dá dτ=(αξ/c2) dη. A curva é a hipérbole de L=ξ, de modo que a aceleração própria é c2/ξ. Quanto mais perto do horizonte, maior a aceleração e mais devagar corre o relógio em relação a η.

Simultaneidade e rigidez A reta η constante passa pela origem, com ct/x=tanh⁡θ. Em todos os pontos dela, a velocidade é v=ctanh⁡θ, e esta é justamente a inclinação da reta de simultaneidade de v. Logo η constante é a simultaneidade de todos os observadores da família ao mesmo tempo, e a distância entre dois deles, Δξ, não muda com η. A família se move com rigidez de Born: as distâncias próprias não mudam, porque o movimento é prescrito. Não é o corpo rígido dinâmico que os paradoxos excluem.

Nada de singular O jacobiano de (η,ξ)→(ct,x) é αξ/c, que se anula em ξ=0. É lá que gηη zera. O defeito é da carta: a métrica é a de Minkowski escrita em outras coordenadas, e sua curvatura é nula em toda parte.

Resultado. ds2=−(αξ/c2)2c2dη2+dξ2+dy2+dz2, com dτ=(αξ/c2) dη e aceleração própria c2/ξ em cada ξ.

Isso resolve o outro lado das naves de Bell. Lá as duas naves tinham o mesmo programa de aceleração em S, e o fio arrebentava. Para o fio não esticar, as naves precisam ficar em dois ξ fixos, e a de trás deve acelerar mais: α(ξ)=c2/ξ. Num corpo com rigidez de Born, cada ponto tem aceleração diferente.

Perto de ξ=L, escreva ξ=L+h, com h a altura acima do observador de referência. O coeficiente temporal fica −(1+αh/c2)2c2. Sinais trocados entre dois observadores fixos saem e chegam com o mesmo Δη, porque a métrica não depende de η. Logo as frequências obedecem a νrec/νem=ξem/ξrec, e subir uma altura h desvia a frequência em αh/c2. A conta é de espaço plano, só com aceleração. Com α=9,81 m/s2 e h=22,5 m, a altura da torre de Harvard onde Pound e Rebka mediram em 1960 o desvio gravitacional, o valor é 2,5×10−15. Tratar o resultado como efeito da gravidade é um passo a mais, o princípio de equivalência.