Paradoxos: gêmeos, Bell, celeiro

Já em 1905, Einstein notou que um relógio levado por um caminho fechado volta atrasado em relação ao que ficou. Em abril de 1911, Paul Langevin deu forma humana à conta: um viajante que passa dois anos em uma nave e volta à Terra depois de duzentos. O nome de paradoxo veio porque a dilatação parece recíproca, e nenhum dos dois poderia ser o mais jovem. Não é contradição: a teoria dá uma resposta só, e ela foi medida.

O tempo próprio é um comprimento

A dilatação foi deduzida para velocidade constante. Para um caminho qualquer é preciso uma hipótese a mais, e ela é um dado físico, não um teorema.

Hipótese do relógio Um relógio ideal marca, em cada trecho infinitesimal, o mesmo que marcaria um relógio inercial com a sua velocidade naquele instante. A taxa depende de v, e não da aceleração. Em cada trecho, então, c2dτ2=−ημνdxμdxν, como em Minkowski.

Somando os trechos Com dxμ=(c dt,v dt), vem −ημνdxμdxν=c2dt2(1−v2/c2), e daí dτ=dt/γ. Integrando de A a B, sai a fórmula do alto. Como cada dτ é invariante, a soma também é. Qualquer referencial inercial dá o mesmo número.

A reta é o máximo Se A e B são ligados por um caminho tipo tempo, existe um referencial inercial em que estão no mesmo lugar, a uma distância de tempo T. Nele, o corpo inercial tem v=0 e Δτ=T. Em qualquer outro caminho, o integrando é 1−v2/c2≤1, com igualdade só em v=0. Logo Δτcaminho ≤ Δτreta, com igualdade só para a própria reta. É a desigualdade triangular invertida, em forma contínua.

Ida e volta Se a velocidade é ±v nas duas metades de um tempo total T, a integral dá Δτ=T/γ. Com T=10 anos e v=0,8 c, γ=53 e Δτ=6 anos.

Uma manobra de duração finita Suponha que a velocidade vá de +βc a −βc de forma linear em um tempo D. Nessa etapa, a integral é ∫1−β(t)2 dt=D f(β),f(β)=121−β2+arcsin⁡β2β, e o total é Δτ=(T−D)/γ+D f(β). Com β=0,8, f=0,880. A manobra corrige Δτ em D (f−1/γ), e essa correção some com D. Enquanto isso, a aceleração própria cresce como 1/D.

Resultado. Δτ é o comprimento da linha de mundo, invariante e maior para a reta. O efeito não está na aceleração: quanto mais brusca a manobra, maior a aceleração e menor a sua contribuição para a conta. A aceleração é o que entorta a linha de mundo, e o que importa é a forma final da linha.

A hipótese do relógio foi testada em condição extrema. No anel de múons do CERN, Bailey e colaboradores mediram em 1977 múons com γ=29,33, em órbita circular, sob aceleração transversal da ordem de 1018 g. A vida média foi de 64,4 μs, que é γ vezes o valor em repouso, e a concordância com a dilatação pura ficou, nesse resultado de 1977, em cerca de 2×10−3. O relatório final de 1979 chegou a (0,8±0,7)×10−3. O múon volta ao mesmo ponto do anel muitas vezes: é, literalmente, um gêmeo viajante.

Os gêmeos

Ana fica. Bia parte a 0,8 c, inverte o sentido a 4 anos-luz e volta. Para Ana passam 10 anos e para Bia 6. O argumento contrário é este: do ponto de vista de Bia, quem se afasta é Ana, e então Ana deveria ser a mais jovem. O erro está em "do ponto de vista de Bia": ela não tem um referencial inercial, tem dois. A reciprocidade da dilatação vale entre dois referenciais inerciais, e compara um relógio com dois relógios sincronizados. Aqui há um relógio contra um relógio, nos mesmos dois eventos. A assimetria é geométrica: a linha de Ana é reta e a de Bia tem uma quina. Max von Laue observou isso já em 1911.

Bia pode calcular do seu jeito, desde que faça a conta completa. Em cada trecho ela calcula que o relógio de Ana atrasa pelo fator 35. Quando chega à quina, seus 3 anos correspondem, pela simultaneidade da ida, a t=5−0,8⋅4=1,8 anos de Ana. Pela simultaneidade da volta, ao mesmo evento correspondem t=5+0,8⋅4=8,2 anos. A soma dos dois trechos dá só 3,6 anos, e os 6,4 anos que faltam estão no salto das retas de simultaneidade. Esse salto é uma mudança de coordenadas de Bia, e nada acontece com Ana.

Uma conta sem simultaneidade nenhuma confirma isso. Cada uma envia um sinal de luz por ano do próprio relógio. Enquanto elas se afastam, o espaçamento dos sinais recebidos é multiplicado pelo fator de Doppler k=(1+β)/(1−β)=3, e enquanto se aproximam, por 13. O fator vem da regra do covetor de onda: para luz que corre no sentido do afastamento, com número de onda kx=ω/c, ω′=γ(ω−vkx)=γ(1−β) ω=ω(1−β)/(1+β)=ω/k. Bia inverte o sentido no seu ano 3 e daí em diante recebe em ritmo alto: 1 sinal na ida e 9 na volta, somando 10. Ana só vê a inversão em t=5+4=9 anos, porque essa notícia viaja à velocidade da luz: 3 sinais até lá, e 3 no último ano, somando 6. Cada uma conta exatamente a idade da outra, e a assimetria aparece no momento da troca de ritmo.

Edite a trajetória. Em ida e volta, a integral dá 6,000, igual à soma Δt/γ. Com parada, Bia fica 4 anos parada no meio do caminho, e a leitura é 7,600. Em ziguezague há três inversões, em vez de uma, e a leitura volta a 6,000: só a velocidade importa, e a quantidade de manobras não. Agora volte a ida e volta e abra a duração da manobra para 1 ano: τ=6,280, com aceleração máxima de 7,41 c/ano. Com 0,10 ano, τ=6,028, e a aceleração sobe para 74,07 c/ano. Dez vezes mais aceleração, efeito menor.

Os botões de referencial redesenham a mesma história. Na ida de Bia, ela fica parada 3 anos, com taxa dτ/dt′=1, depois persegue Ana a 0,976 c. A duração total no desenho sobe para 16,667 anos e a altura da linha de Ana desce para 0,6. As áreas continuam sendo 10 e 6, e o τ de Bia, calculado só pelo intervalo dos pontos transformados, não muda.

Unidades com c=1: tempo em anos, distância em anos-luz, e 1 c/ano vale cerca de 0,97 g. Ana é a reta verde e Bia a linha rosa, com uma marca por ano de tempo próprio. No referencial de Ana, arraste os anéis: o losango é o que os dois eventos permitem. No segundo painel, a altura é dτ/dt no referencial do desenho, a área preenchida é o τ de Bia e a linha verde dá o de Ana. O τ de Bia sai de ∫ ⁣1−v2 dt por Simpson, e a linha τ pelo intervalo refaz a conta com os pontos transformados, só com s2: uma soma de cordas, exata nos trechos retos e aproximada nas manobras. Partida e chegada são de passagem, sem manobra.

Em 1971, Hafele e Keating levaram relógios de césio em voos comerciais ao redor do mundo. Aí entram dois efeitos, o da velocidade em relação ao centro da Terra e o gravitacional. Os números estão em dilatação: o relógio que voa para leste volta atrasado e o que voa para oeste volta adiantado em relação aos que ficaram em terra.

As naves de Bell

Duas naves iguais estão paradas em S, a uma distância L, com um fio esticado de uma à outra. Em t=0 de S, as duas ligam os motores com o mesmo programa, e depois os desligam ao mesmo tempo em S, com velocidade v. O fio arrebenta? A questão foi proposta por Dewan e Beran em 1959. Em 1976, John Bell relatou uma consulta informal no CERN, com consenso claro de que o fio não arrebentava. Arrebenta.

Em S, as duas naves têm a mesma x(t) a menos de uma constante, então a distância entre elas é sempre L. A tentação é dizer que tudo contrai junto. Mas contrair não é uma regra sobre distâncias impostas de fora: é o que acontece com um corpo que acha seu equilíbrio. Um fio livre com velocidade v teria em S comprimento L/γ. Aqui ele é obrigado a cobrir L. No referencial em que as naves ficam paradas no final, o vão é

Quem está nas naves vê a causa de outra forma. Os dois eventos de partida são simultâneos em S, e não no referencial final S′. De t′=γ(t−vx/c2), a nave da frente parte antes da de trás, por γvL/c2, e essa vantagem faz o vão crescer. Para v=0,6 c, o vão vai a 1,25 L, e a nave da frente parte 0,75 L/c antes. As duas descrições dão o mesmo resultado, que não depende de referencial: o fio arrebenta ou não. Para manter o fio sem tensão, a nave de trás precisaria acelerar mais do que a da frente.

Aumente a velocidade. O segmento verde, tomado na horizontal de S, mantém o tamanho L. O dourado, tomado ao longo da reta de simultaneidade das naves, cresce com γ. Com o limite de 40%, o fio rompe em v/c=0,700. Em v/c=0,600 o alongamento é de 25,0%. Reduza o limite e veja o ponto de ruptura mudar.