Eletromagnetismo covariante e tensor F

O artigo de 1905 abre com um ímã e um condutor. O fenômeno depende só do movimento relativo, mas a teoria da época dava duas explicações: campo elétrico num caso, força sobre a carga em movimento no outro. Em 1908, Minkowski escreveu as equações do campo em quatro dimensões, com E e B reunidos em um único objeto antissimétrico. O que se separa em elétrico e magnético é o referencial, e não a natureza.

Quadripotencial e tensor F

Toda esta seção está em unidades SI, na assinatura (−,+,+,+), com xμ=(ct,x) e ∂μ=(1c∂t,∇). O potencial escalar e o vetor entram em um quadrivetor, e o campo é o rotacional dele em quatro dimensões.

A única entrada é a definição dos potenciais. O sinal em A0 vem de baixar o índice com η00=−1.

Parte temporal F0i=∂0Ai−∂iA0=1c∂tAi+1c∂iϕ=−Eic.

Parte espacial Fij=∂iAj−∂jAi. Em particular, F12=∂xAy−∂yAx=Bz, e em geral Fij=ϵijkBk.

Subir os índices Fμν=ημρηνσFρσ. Para F0i, entra um fator η00ηii=−1, e daí F0i=+Ei/c. Para Fij, o fator é +1.

Liberdade de calibre Trocar Aμ→Aμ+∂μχ não muda Fμν, porque as derivadas parciais comutam. Em componentes, ϕ→ϕ−∂tχ e A→A+∇χ. Por isso o observável é F, e não A.

Resultado. F0i=−Ei/c, F0i=+Ei/c, Fij=Fij=ϵijkBk, invariante por Aμ→Aμ+∂μχ.

Maxwell em duas linhas

Basta escolher os índices e usar a tabela de F. A carga é invariante, e isso faz de (cρ,J) um quadrivetor: ρ cresce por γ com a contração do volume, como u0.

μ = 0: Gauss ∂iF0i=1c∇⋅E deve ser μ0cρ. Com μ0c2=1/ε0, sai ∇⋅E=ρ/ε0.

μ = i: Ampère-Maxwell ∂0Fi0+∂jFij=−1c2∂tEi+ϵijk∂jBk. Igualando a μ0Ji, sai ∇×B=μ0J+1c2∂tE.

Índices 1, 2, 3: sem monopolos ∂1F23+∂2F31+∂3F12=∂xBx+∂yBy+∂zBz=0.

Índices 0, 1, 2: Faraday ∂0F12+∂1F20+∂2F01=1c(∂tBz+∂xEy−∂yEx)=0, que é o componente z de ∇×E=−∂tB. Os outros dois saem das permutações.

Conservação de carga Derivando a primeira, μ0∂μJμ=∂μ∂νFμν=0: simétrico contra antissimétrico. A equação de continuidade não é hipótese extra.

Equação de onda Substituindo F em termos de A e impondo o calibre de Lorenz, ∂νAν=0, resta □Aμ=−μ0Jμ, com □=∂ν∂ν=−1c2∂t2+∇2. Esse operador é invariante, e é ele que Galileu não preservava.

Resultado. As quatro equações vetoriais são ∂νFμν=μ0Jμ e a identidade cíclica. Como ambas são equações tensoriais, valem do mesmo jeito em todo referencial inercial.

Força de Lorentz

Os componentes de mistura são F0i=Fi0=Ei/c e Fij=ϵijkBk. Com uν=γ(c,v), em que v é a velocidade da carga, a parte espacial é dp/dτ=qγ(E+v×B), ou seja, dp/dt=q(E+v×B). A parte temporal é dEtot/dt=q E⋅v: o campo magnético não realiza trabalho. Aqui Etot=p0c é a energia da dinâmica, e não o campo.

Como E e B se transformam

Fμν tem dois índices, e cada um recebe um Λ: F′μν=ΛμρΛνσFρσ. Use o boost de velocidade v=βc ao longo de +x, com Λ00=Λ11=γ, Λ01=Λ10=−γβ e Λ22=Λ33=1.

Componentes paralelos F′01=γ2F01+γ2β2F10=γ2(1−β2)F01=F01. Logo Ex′=Ex. E F′23=F23, porque nem 2 nem 3 são tocados: Bx′=Bx.

E transversal F′02=γF02−γβF12 dá Ey′/c=γ(Ey/c−βBz). E F′03=γF03−γβF13, com F13=−By, dá Ez′/c=γ(Ez/c+βBy). Portanto Ey′=γ(Ey−vBz),Ez′=γ(Ez+vBy).

B transversal F′12=−γβF02+γF12 dá Bz′=γ(Bz−βEy/c). E F′13=−γβF03+γF13 dá −By′=−γβEz/c−γBy. Portanto By′=γ(By+vEzc2),Bz′=γ(Bz−vEyc2).

Forma vetorial Como v×B=(0,−vBz,vBy) e v×E=(0,−vEz,vEy), as quatro equações são as componentes da forma compacta abaixo, que não cita o eixo x e vale para v em qualquer direção.

Conferir com a força Uma carga parada em S′ sente qE′. Em S, ela tem velocidade v e sente F⊥=q(E+v×B)⊥. Portanto F⊥′=γF⊥. É o que a quadriforça prevê: seus componentes transversais não mudam com o boost, e valem γF⊥ em S e F⊥′ em S′, onde a carga está parada.

Resultado. A regra sai só de F ser um tensor de ordem 2. Os pares de índices (0,1) e (2,3) ficam parados, e os demais se misturam dois a dois, cada um com seu parceiro.

O ímã e o condutor de Einstein, com números. Em S há só Bz=1 T. Em S′, a 0,6 c ao longo de +x, a regra dá Bz′=1,25 T e Ey′=−γvBz=−2,25×108 V/m. Uma carga parada em S′ sente esse campo elétrico; em S, a mesma carga sente qv×B. Uma descrição fala em campo elétrico, a outra em força magnética, e a regra acima liga as duas.

O campo paralelo não muda, e isso fecha o exemplo de movimento hiperbólico. Em campo uniforme Ex, a carga vê o mesmo Ex em cada referencial que a acompanha. A força no referencial dela, e portanto a aceleração própria qEx/m, é constante.

Uma carga em movimento uniforme é outro resultado direto. Em S′ há Coulomb. Transformando de volta e reescrevendo x′=γ(x−vt), o campo em S continua radial a partir da posição atual da carga:

Em θ=90∘, o campo é γ vezes o de Coulomb. Em θ=0, é 1−β2 vezes. Para β=0,6, são 1,25 e 0,64.

Os invariantes

Escreva I1=E2−c2B2 e I2=c E⋅B. Com esses dois números se classifica qualquer campo em um ponto. Se I2=0 e I1>0, existe um referencial com B′=0. Se I2=0 e I1<0, existe um com E′=0. Se I2≠0, nenhum dos dois existe, mas há referencial com E′∥B′. Se I1=I2=0 com campo não nulo, como na onda plana, E⊥B e E=cB em todo referencial, e nenhum boost simplifica nada. Nos três primeiros casos, o referencial se move ao longo de E×B, com β/(1+β2)=c ∣E×B∣/(E2+c2B2). O lado direito é menor que 12, de modo que β<1. Se E×B=0, o próprio referencial já serve.

Em campos cruzados com E<cB, a fórmula dá v=E/B na direção de E×B. Uma carga com essa velocidade não sofre força: é a deriva E×B e o princípio do filtro de Wien.

Escolha um caso. O laboratório usa c=1: E e cB aparecem na mesma unidade, e a velocidade é v/c. A seta dourada é E, a verde é cB, e as tabelas mostram Fμν em cada referencial, com os componentes elétricos em dourado e os magnéticos em verde. Em só B com v/c=0,600, aparecem Ey′=−0,75 e cBz′=1,25, e I1=−1,00 dos dois lados. Em cruzados, Ey=0,6 e cBz=1: o botão de referencial especial leva a v/c=0,600, onde E′ some e cBz′=0,80, com I1=−0,64=−(0,80)2. Em onda plana, I1=I2=0, e a leitura de referencial especial diz que ele não existe; a v/c=0,600, os dois campos caem à metade, o fator de Doppler. Mova o controle até o extremo e veja γ passar de 22 sem que I1 e I2 se mexam. A linha de diferença compara a regra vetorial com a conta ΛFΛT feita na matriz.

Unidades com c=1: E e cB têm a mesma unidade, e a velocidade é v/c. Isso é SI com B multiplicado por c, e não gaussiano. A seta dourada é E, a verde é cB, com a mesma escala nos dois painéis. As tabelas são Fμν, com F0i=Ei e Fij=ϵijkcBk. Aqui I1=E2−c2B2 e I2=c E⋅B.

As fórmulas acima são SI. Livros como os de Landau e Lifshitz usam gaussiano, em que E e B têm a mesma unidade. A conversão é EG=4πε0 E, BG=4π/μ0 B e qG=q/4πε0, e a mesma de q para ρ e J. O c=1 do laboratório não é gaussiano: é SI, com E e cB em V/m, sem fatores de 4π.