Quadrivetores, energia, massa e energia cinética

Em setembro de 1905, três meses depois do artigo sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento, Einstein mandou aos Annalen der Physik uma nota de três páginas. Ela concluía que um corpo que emite uma energia L em forma de radiação perde massa L/c2. A fórmula famosa não aparece escrita assim na nota, mas o conteúdo é esse: massa e energia de repouso são a mesma grandeza em unidades diferentes. Aqui ela sai de um único objeto, o quadrimomento.

Quadrivelocidade

A velocidade comum dx/dt não é parte de um quadrivetor, porque tanto dx quanto dt mudam com o referencial. A solução é derivar pelo que não muda: o tempo próprio τ, definido em Minkowski por c2dτ2=−ημνdxμdxν. Como dτ=dt/γ,

Quem se transforma por Λ é uμ, e isso reúne a soma de velocidades em uma multiplicação de matrizes. Em repouso, uμ=(c,0,0,0). Um corpo não tem como ficar parado no espaço-tempo: a norma fixa impede uμ=0, e mesmo com a parte espacial nula resta a parte temporal c.

Quadrimomento

A lei de movimento covariante é dpμ/dτ=fμ, com a quadriforça fμ. A parte espacial, dp/dt=F, tem a forma das leis de Newton, com p=γmv no lugar de mv. A parte temporal é a que traz novidade.

Hipóteses: m constante, ou seja, a força não altera o estado interno do corpo, e dp/dt=F com p=γmv. O objetivo é identificar a componente temporal de pμ com uma energia e depois usar a norma.

A taxa de γ De γ=(1−v2/c2)−1/2, derivando em t: γ˙=γ3c2 v⋅v˙.

A potência da força é uma derivada exata A potência é F⋅v=ddt(γmv)⋅v=mγ˙v2+mγ v⋅v˙. Pelo passo anterior, γ v⋅v˙=c2γ˙/γ2=c2γ˙(1−v2/c2). Somando, F⋅v=mγ˙ v2+mc2γ˙−mγ˙ v2=ddt(γmc2).

A energia é a componente temporal O trabalho da força muda γmc2, e essa é a definição de energia a menos de uma constante. A constante é fixada pela exigência de que a energia forme um quadrivetor com p. Como p0=mu0=γmc, temos E=cp0=γmc2, sem constante aditiva. A energia cinética, que zera em repouso, é T=(γ−1)mc2.

A norma Com η=diag⁡(−1,1,1,1), pμpμ=−(E/c)2+p 2. Por outro lado, pμpμ=m2uμuμ=−m2c2. Igualando e multiplicando por −c2: E2=p2c2+m2c4.

Baixas velocidades Para β=v/c≪1, γ=1+12β2+38β4+…, então E=mc2+12mv2+38 mv4c2+… O segundo termo é o clássico. O primeiro é constante enquanto m for constante, e por isso a mecânica clássica nunca precisou dele. A correção relativa à energia cinética é 34β2.

Em função do momento, e o caso sem massa Isolando, E=mc21+p2/m2c2≈mc2+p2/2m. Dividindo as componentes de pμ, v=pc2/E, que vale para qualquer massa. Com m=0, a norma dá E=pc, e daí v=c. Esse caso não pode ser escrito como γm, que seria ∞⋅0: nele E e p são os dados primários, e τ não existe.

Resultado. E=γmc2, p=γmv e E2=p2c2+m2c4. No plano (p,E), todo estado de um corpo de massa m está em uma hipérbole que tem a reta da luz E=pc como assíntota. O limite clássico é a parábola tangente a ela em p=0.

Como pμ é quadrivetor, passar de S a S′ é a mesma conta de sempre: E′=γ(E−vpx) e px′=γ(px−vE/c2). A combinação E2−p2c2 não muda, exatamente como s2.

Um exemplo mostra o tamanho do erro clássico. Um elétron, com mc2=0,511 MeV, acelerado por 1 MV ganha T=1 MeV. A conta clássica daria v=c2T/mc2≈1,98 c. A relativística dá γ=1+T/mc2≈2,957 e v≈0,941 c. Nesse regime, mais energia aumenta γ e quase não aumenta v.

Mova a velocidade. As curvas verde e rosa ficam juntas até cerca de v/c=0,3, onde T só excede o valor clássico em 7%, e se separam depois, porque a verde sobe contra a parede amarela em v=c. Em v/c=0,600 o laboratório lê γ=1,250, T/mc2=0,250 e a clássica 0,180. No segundo gráfico, o ponto corre pela hipérbole, e a linha E2−p2c2 fica em 1,000 para qualquer velocidade. Em v/c=0,941, com o elétron, a leitura é T=0,999 MeV. O controle para em 0,999, com γ=22,366.

Unidades com c=1 nos gráficos: E em mc2, p em mc e v em c. A curva verde é E=γmc2 e a rosa é a soma clássica mc2+12mv2. No segundo gráfico o mesmo estado está na hipérbole E2−p2c2=m2c4, que cola na linha amarela da luz; a rosa é a parábola mc2+p2/2m. As duas são tangentes em p=0. A escala vertical muda quando E sai do quadro. O botão da partícula só muda as leituras em MeV.

Massa não é aditiva

A massa de um sistema é a norma do quadrimomento total: M2c2=−PμPμ, com Pμ=∑ipiμ. Em termos do total de energia e momento em qualquer referencial,

Nada na conservação de Pμ obriga a soma das massas a se manter. O que se conserva é a energia e o momento. Numa colisão em que os corpos grudam, a energia cinética perdida fica no composto como calor, deformação e movimento interno. Medida de fora, essa energia interna é massa.

Dois corpos grudam. Só se usa a conservação de Pμ e o fato de que produto de quadrivetores é invariante.

Conservação Pμ=p1μ+p2μ antes, e Pμ=Muμ depois. Tomando a norma, −M2c2=−m12c2−m22c2+2 p1μp2μ.

O produto cruzado no referencial do corpo 2 O produto é invariante, então pode ser calculado onde é mais simples. Com o corpo 2 parado, p2μ=(m2c,0) e p1μ=(γrm1c,… ), em que γr é o fator da velocidade relativa. Assim p1μp2μ=−γrm1m2c2.

A massa final Substituindo, M2=m12+m22+2γr m1m2.

A desigualdade Como γr≥1, M2≥(m1+m2)2, com igualdade só se a velocidade relativa for nula, caso em que não há colisão. Subtraindo, M2−(m1+m2)2=2(γr−1) m1m2 ≥ 0.

Para onde foi a energia cinética A conservação de E dá m1c2+m2c2+Tantes=Mc2+Tdepois, logo (M−m1−m2) c2=Tantes−Tdepois. O ganho de massa é a energia cinética perdida, dividida por c2, em todo referencial. O lado esquerdo é invariante, e por isso a diferença do lado direito também é, embora cada T dependa do referencial.

Resultado. Dois corpos iguais de massa m a ±35c têm γ=54, E=52mc2 e p=0: M=52m, meio m a mais do que a soma. Pela fórmula, γr=178 e M2=m2(2+174)=254m2, o mesmo valor.

Veja a colisão. O caso frontal é o do resultado acima: M=2,500 e ΔM=0,500, toda a barra rosa vira dourada. Com o alvo parado, m1=1 a 0,800 e m2=2, resulta M=3,416, com V/c=0,364 em vez dos 0,267 clássicos. Parte da energia cinética sobrevive, porque o momento obriga o composto a andar. O botão de centro de momento leva ao referencial com p=0, e a leitura de M não muda. No caso lento, ΔM é da ordem de 10−4: é por isso que a massa parece conservada no dia a dia.

Unidades com c=1: energia e momento na unidade da massa. O corpo 1 vem da esquerda e o 2 da direita, e eles grudam. Nas barras, o comprimento total é a energia E, igual antes e depois. Verde é a soma das massas m1+m2, rosa é a energia cinética e dourado é a massa nova, ΔM=M−m1−m2. O centro de momento troca de referencial por soma de velocidades: E, p e V mudam, M não. Se nesse referencial alguma velocidade passar de 0,999, o limite dos controles, o botão não troca e avisa.

O inverso é o que acontece nos núcleos. Em 1932, Cockcroft e Walton bombardearam lítio com prótons e observaram p+7Li→2 4He. Os reagentes têm cerca de 0,0186 unidade de massa atômica a mais do que os produtos, e isso corresponde aos cerca de 17 MeV de energia cinética que as partículas alfa levam. O teste direto mais preciso veio em 2005: Rainville e colaboradores compararam a diferença de massa entre isótopos de silício e de enxofre, medida em armadilhas de íons, com o comprimento de onda dos raios gama emitidos quando o núcleo captura um nêutron. Com Δm a massa perdida e E a energia emitida, resultou 1−Δmc2/E=(−1,4±4,4)×10−7, compatível com zero.

Note o que esses exemplos não dizem. A energia não se perde nem se cria, e a massa não vira energia como quem troca de moeda. A energia total se conserva, e a massa de um sistema já a contém. O que muda é a soma das massas das partes quando a energia passa de interna a cinética ou o contrário.