O que quebra: Maxwell contra Galileu

As equações de Maxwell contêm um número com dimensão de velocidade, sem dizer em relação a quê. Sob a transformação de Galileu elas mudam de forma, de modo que no máximo um referencial as obedeceria. Procurar esse referencial foi o experimento nulo mais importante da física.

Maxwell fixa uma velocidade

No vácuo, sem cargas nem correntes, as equações de Maxwell em unidades do SI são ∇⋅E=0, ∇⋅B=0, ∇×E=−∂tB e ∇×B=μ0ε0 ∂tE. Tomando o rotacional da terceira, usando ∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E e substituindo a quarta, cada componente de E satisfaz uma equação de onda. O mesmo vale para B.

Uma lei que vale em todo referencial inercial deveria manter a forma quando se troca de referencial. A mx¨=F de Newton mantém. A equação acima não mantém.

Basta uma dimensão espacial. Queremos escrever c−2∂t2ϕ−∂x2ϕ=0 nas coordenadas t′=t, x′=x−vt e ver o que acontece com a forma da equação.

Regra da cadeia Como ϕ(t,x)=ϕ′(t′,x′) com ∂t′/∂t=1, ∂x′/∂t=−v, ∂t′/∂x=0 e ∂x′/∂x=1, ∂t=∂t′−v ∂x′,∂x=∂x′.

Segundas derivadas Os operadores têm coeficientes constantes, então comutam e o quadrado se expande como um binômio: ∂t2=∂t′2−2v ∂t′∂x′+v2∂x′2,∂x2=∂x′2.

Substituir A equação de onda fica 1c2∂t′2ϕ′−2vc2∂t′∂x′ϕ′−(1−v2c2)∂x′2ϕ′=0. Surgiu um termo misto, e o coeficiente de ∂x′2 deixou de ser 1. A equação só tem a forma original para v=0.

Ondas planas em S′ Experimentando ϕ′=ei(k′x′−ω′t′), os fatores ∂t′→−iω′ e ∂x′→ik′ dão ω′2+2v ω′k′+(v2−c2)k′2=0, isto é, (ω′+vk′)2=c2k′2⇒ω′k′=±c−v. A velocidade de fase é c−v para a onda que vai para +x′ e tem módulo c+v para a que vai para −x′. É a regra w′=w−v.

O efeito sobre a onda A solução f(x−ct) de S vira f(x′−(c−v)t′) em S′. Com v=c, o pulso ficaria parado no espaço de S′, um campo estático que oscila no espaço sem oscilar no tempo. Esse campo não satisfaz as equações de Maxwell, que no vácuo não têm solução assim. Einstein conta que essa imagem o incomodava desde a juventude.

As três saídas Sobram três possibilidades, e não há uma quarta. Primeira: as equações de Maxwell estão erradas e devem ser trocadas por outras, invariantes por Galileu. Segunda: Maxwell vale em um só referencial, o do éter, e o movimento em relação a ele é mensurável. Terceira: Maxwell vale em todos os referenciais, e quem está errada é a transformação de Galileu.

Resultado. Em S′ a equação de onda ganha um termo misto e a velocidade da onda depende do sentido, c−v e c+v. Ou existe um referencial privilegiado, ou a transformação está errada.

Havia ainda um incômodo mais antigo. Um ímã que se aproxima de uma espira parada e uma espira que se aproxima de um ímã parado produzem a mesma corrente, e essa corrente só depende do movimento relativo. A descrição de Maxwell, porém, era assimétrica: num caso aparece um campo elétrico induzido, no outro a força qv×B sobre as cargas da espira. Um mesmo fenômeno tinha duas explicações, e é assim que Einstein abre o artigo de 1905.

O vento do éter

A segunda saída era a mais razoável em 1880. Toda onda conhecida vivia em um meio, e a Terra percorre a órbita a 30 km/s, de modo que em alguma época do ano deveria haver um vento de éter de ao menos essa ordem. A dificuldade é o tamanho do efeito: β≈10−4, e os efeitos de ida e volta são de ordem β2≈10−8.

O interferômetro de Michelson divide um feixe em dois, envia cada metade por um braço, reflete-as em espelhos e as recombina. O que se observa é a diferença entre os tempos de ida e volta. Num braço paralelo ao vento, a luz anda a c−v contra ele e c+v a favor. Num braço perpendicular, ela precisa apontar contra a deriva, e a componente útil da velocidade é c2−v2.

Queremos o número de franjas que passam pelo retículo quando o aparelho gira 90∘. Tudo é calculado com a soma galileana de velocidades, que é a hipótese em teste.

Expandir em β Para β≪1, T∥≈2Lc(1+β2),T⊥≈2Lc(1+β22).

Diferença de tempo Subtraindo, ΔT=T∥−T⊥≈2Lc⋅β22=Lβ2c. Para L=11 m e β=10−4, são 3,7×10−16 s. Nenhum relógio da época mediria isso. Um interferômetro mede, porque compara o atraso com o período da luz.

De tempo para franjas Um atraso ΔT equivale a uma diferença de caminho cΔT, e cada comprimento de onda de diferença é uma franja: N=c ΔTλ=Lβ2λ.

Girar o aparelho A posição absoluta da franja não é conhecida, porque os braços nunca são iguais com precisão de λ. Mas essa parte fixa não muda com o giro. Ao girar 90∘, os braços trocam de papel e N vira −N: ΔN=2Lβ2λ=2Lv2c2λ. Com braços desiguais, a mesma conta dá (L1+L2)β2/λ. A igualdade dos braços não é necessária.

Ângulo qualquer Com um braço a um ângulo θ do vento, a composição das velocidades dá um tempo de ida e volta T(θ)≈2Lc(1+β2−12β2sin⁡2θ), que reproduz T∥ em θ=0 e T⊥ em θ=90∘. O outro braço está em θ+90∘, e a diferença é N(θ)=ΔN2cos⁡2θ. A assinatura do éter é uma senoide com dois ciclos por giro completo.

Os números de 1887 Com múltiplas reflexões, L=11 m. Com λ=590 nm e β=10−4, ΔN=2×11×10−85,9×10−7≈0,37. Michelson e Morley esperavam cerca de 0,4 franja e podiam ver 0,01. O que encontraram foi menos de um vigésimo do previsto.

Resultado. ΔN=2Lβ2/λ, com dependência cos⁡2θ. Para os valores de 1887 isso dá ΔN≈0,37, enquanto o medido ficou abaixo de 0,02.

Compare a curva verde com a faixa clara. A curva é a previsão do éter e a faixa é o que os instrumentos permitem. Escolha os dois experimentos e leia a velocidade máxima que o vento pode ter sem contradizer a medida: cerca de 7 km/s em 1887 e de 1,5 km/s em 1930, contra 30 km/s da órbita. Mude L e λ para ver por que braços longos e luz azul aumentam a previsão, enquanto o limite medido fica fixo. Só ventos abaixo desse limite concordam com o que se viu; a órbita sozinha já exige 30 km/s em relação a qualquer referencial fixo, ao menos em alguma época do ano.

A curva verde é N(θ)=12ΔNcos⁡2θ, com ΔN=2Lv2/(c2λ): o que o éter prevê ao girar o aparelho. A faixa clara, de altura igual ao limite medido, é o que a observação permite, e ela é do experimento escolhido, por isso não acompanha os controles. Nas franjas, a de cima segue a previsão e a de baixo fica onde os instrumentos a viram. Para Joos, λ é a linha verde do mercúrio, 546 nm: a conta dá cerca de 0,77 franja, que as tabelas arredondam para 0,75.

As tentativas de salvar o éter

Arrasto. Talvez a Terra arraste o éter consigo, como um barco arrasta água junto ao casco. Isso explicaria o nulo, mas destrói a aberração estelar observada por Bradley na década de 1720: a posição aparente das estrelas oscila cerca de β≈10−4 rad, ou 20,6′′, ao longo do ano, e um éter preso à Terra não dá conta desse efeito sem contradições.

Fonte. Talvez a luz ande a c em relação à fonte, como uma bala em relação à arma. Mas então a luz de uma estrela binária chegaria com velocidades diferentes conforme a estrela se aproxima ou se afasta, e a órbita observada ficaria distorcida. De Sitter mostrou em 1913 que isso não se vê.

Contração. FitzGerald, em 1889, e Lorentz, em 1892, propuseram que o braço paralelo ao vento encurta pelo fator 1−β2. De fato, L→L1−β2 em T∥ dá 2Lc(1−β2)−1/2=T⊥, exatamente, em qualquer ordem. O nulo fica explicado, ao preço de um efeito feito sob medida para um meio que nunca se detecta. O fator está certo, e a interpretação como deformação mecânica causada pelo éter é que sai. Kennedy e Thorndike, em 1932, usaram braços bem desiguais e também não acharam variação, o que exclui a contração sozinha: é preciso que os relógios também mudem.

Para onde isso aponta

Restou a terceira saída. Mantenha Maxwell como lei em todos os referenciais inerciais, desista de detectar o éter, e aceite que a regra w′=w−v falha. Ela vem de t′=t, que nunca foi medido em velocidades próximas de c: era uma hipótese sobre relógios. As transformações que preservam a equação de onda já estavam em Lorentz em 1904, ligadas à dinâmica do éter; Einstein as obteve em 1905 de dois postulados, sem nenhum modelo de éter.