Postulados e transformações de Lorentz

Em vez de remendar o éter, Einstein tomou o resultado nulo como princípio. Dois enunciados curtos, somados à homogeneidade e à isotropia do espaço, determinam uma única transformação entre referenciais inerciais. O preço é abandonar o tempo absoluto.

Os dois postulados

Princípio da relatividade. As leis da física têm a mesma forma em todo referencial inercial. Isso já valia para a mecânica em Galileu; a novidade é incluir o eletromagnetismo, e portanto a equação de onda com seu c.

Constância da velocidade da luz. A luz se propaga no vácuo com velocidade c, independente do movimento da fonte. Esse enunciado sozinho seria compatível com um éter: o som também não depende da velocidade da fonte. A força vem da combinação. Se em S a luz tem velocidade c qualquer que seja a fonte, o primeiro postulado obriga o mesmo em S′. Logo todo observador inercial mede c para o mesmo pulso, e isso contradiz w′=w−v.

Faltam as hipóteses que costumam ficar implícitas. O espaço e o tempo são homogêneos: nenhum ponto nem instante é especial. O espaço é isótropo: nenhuma direção é especial, exceto a que a própria velocidade relativa escolhe. Com isso a derivação abaixo não precisa de mais nada.

Tome S e S′ na configuração padrão: eixos paralelos, S′ com velocidade v ao longo de +x, origens coincidentes em t=t′=0. Procuramos x′μ=fμ(x), sem nenhuma hipótese sobre a forma de f. Usamos a homogeneidade, depois a isotropia, depois a relatividade, e só no fim a invariância de c.

Homogeneidade: a transformação é linear A separação em S′ entre dois eventos não pode depender de onde e quando o par está em S, mas só da separação em S. Isto é, f(x+a)−f(x)=g(a) para todo x. Então g(a+b)=f(x+a+b)−f(x+b)+f(x+b)−f(x)=g(a)+g(b). Uma função aditiva e contínua é linear, e f(0)=0 porque as origens coincidem. Logo x′μ=Λμνxν com coeficientes que só dependem de v.

Isotropia: as direções transversais A rotação de π em torno do eixo x leva (y,z)→(−y,−z) e deixa v, t e x como estão. Portanto t′ e x′ não podem depender de y,z, e y′,z′ não podem depender de t,x. Giros em torno de x e a reflexão z→−z impedem misturar y com z, de modo que y′=k(v) y,z′=k(v) z. A rotação de π em torno do eixo y troca v por −v e não toca em y. Logo k(−v)=k(v).

Reciprocidade: S se afasta a −v Seja σ(v) a velocidade de S medida em S′. Trocar os papéis duas vezes volta ao início, então σ(σ(v))=v, e a reflexão x→−x, x′→−x′ dá σ(−v)=−σ(v). Uma função contínua e inversível é monótona, e σ é decrescente, porque para v pequeno S recua no sentido oposto. Assim ψ=−σ é crescente e satisfaz ψ(ψ(v))=v. Uma involução crescente é a identidade: se ψ(v)>v, então ψ(ψ(v))>ψ(v)>v, contradição, e o mesmo para <. Logo σ(v)=−v. A volta de S′ para S é portanto y=k(−v) y′, o que dá k(v) k(−v)=k(v)2=1. Como k(0)=1 e k é contínua, k=1: y′=y e z′=z.

O plano (t, x) Sobra uma matriz 2×2. A origem de S′ satisfaz x=vt, e x′ precisa anular-se nessa reta. Uma forma linear que se anula nela é proporcional a x−vt. Sem saber nada de t′, escreva x′=γ(v) (x−vt),t′=δ(v) t+ε(v) x. A mesma reflexão troca v por −v e dá γ(−v)=γ(v). Além disso, γ(0)=1. A transformação de Galileu é o caso γ=δ=1, ε=0, que não será suposto.

Relatividade: a inversa tem a mesma forma O primeiro postulado diz que a lei de S′ para S é a mesma, com −v no lugar de v: x=γ (x′+vt′). Substituindo x′=γ(x−vt) e isolando t′, para v≠0, t′=γ[t−xv(1−1γ2)]=γ (t−κ v x),κ≡1−1/γ2v2. Até aqui só usamos simetria e relatividade, e já sobrou uma função κ(v). Galileu é κ=0. A exigência de que dois boosts seguidos deem um boost obriga κ a ser uma constante universal, mas nem é preciso provar isso: o segundo postulado a fixa de uma vez.

Invariância de c Um pulso emitido da origem em t=0 satisfaz x=ct, e em S′ deve satisfazer x′=ct′. Substituindo, γ(c−v) t=c γ (1−κvc) t⇒c−v=c−κvc2⇒κ=1c2. Da definição de κ, 1/γ2=1−v2/c2. A raiz positiva é a que dá γ(0)=1: γ=11−v2/c2,t′=γ(t−vxc2),x′=γ(x−vt).

Conferir o que não foi imposto Só o pulso para +x foi usado. O pulso para −x, com x=−ct, dá x′=−γ(c+v)t e t′=γ(1+v/c)t, logo x′=−ct′. Um pulso transversal, com x=0, y=ct, dá x′=−γvt, y′=ct, t′=γt, e x′2+y′2=c2t2(γ2β2+1)=c2γ2t2=c2t′2. Em geral, γ2[(x−βct)2−(ct−βx)2]=γ2(1−β2)(x2−c2t2)=x2−c2t2. A luz sai esférica nos dois referenciais.

Resultado. Homogeneidade, isotropia, relatividade e invariância de c fixam ct′=γ(ct−βx), x′=γ(x−βct), y′=y, z′=z, com γ=(1−β2)−1/2. Nenhuma forma foi suposta.

A transformação

A raiz em γ só é real para ∣v∣<c. Um referencial que acompanhasse a luz não existe nesta teoria: o pulso teria x′=0 e, ao mesmo tempo, x′=ct′. Isso responde à imagem da onda parada da seção anterior.

Um exemplo com β=45, logo γ=53. O evento ct=9 m, x=6 m tem ct′=53(9−4,8)=7 m e x′=53(6−7,2)=−2 m. Conferindo o intervalo: −81+36=−45 e −49+4=−45. O evento ct=5 m, x=5 m, sobre a linha da luz, vai a ct′=x′=53 m: continua nela. Dois eventos simultâneos em S, separados por Δx=6 m, têm cΔt′=−γβΔx=−8 m: deixaram de ser simultâneos.

O limite de baixa velocidade

Para β≪1, γ≈1+12β2, e a transformação fica x′≈x−vt e t′≈t−vx/c2. A primeira é Galileu. A segunda difere por um termo que parece desprezível e que é a própria relatividade da simultaneidade. Num avião a 300 m/s, β=10−6 e γ−1≈5×10−13. Para dois eventos a 1 km de distância, vΔx/c2≈3×10−12 s. Galileu não é uma teoria errada no domínio em que foi testada; é o limite de c→∞, com o termo vx/c2 sumindo.

Matriz, métrica e rapidez

Em forma matricial no plano (ct,x), a transformação tem determinante γ2(1−β2)=1. O que a caracteriza é preservar η, no mesmo sentido em que uma rotação preserva a identidade, como em invariância. Lá as componentes mudam por v′=A−1v e aqui por x′=Λx, logo Λ=A−1. Preservar η substitui a forma degenerada que resta em Galileu por uma métrica inversível.

Por isso cada evento, sob todos os boosts, percorre a curva −(ct)2+x2=s2. Assim como a rotação move um ponto sobre um círculo, o boost o move sobre uma hipérbole. Para s2<0, o evento fica no cone futuro ou passado da origem, em um ramo que não cruza ct=0: a ordem temporal em relação à origem é a mesma para todos. Para s2>0, o ramo cruza ct=0: existe referencial em que o evento é simultâneo à origem, e referenciais em que ele vem antes ou depois. Para s2=0, a hipérbole degenera na própria linha da luz.

Mova o controle de velocidade. Na vista de S, os eixos ct′ e x′ fecham como uma tesoura em torno da linha da luz, cada um fazendo com o eixo correspondente de S um ângulo de tangente β, e as marcas de unidade correm sobre eles. Na vista de S′, são os eventos que deslizam: A fica sobre a hipérbole dourada, seja qual for v, e a linha da luz não se move. Com v/c=0,6, A vai de (3;1) a (3;−1), e B, de (1;2,5) a (−0,63;2,38): B acontece depois da origem em S e antes dela em S′, e isso é permitido porque s2>0. Arraste A para fora do cone e a hipérbole muda de família. Leve o controle ao extremo: γ passa de 22, as leituras crescem, e a velocidade da luz em S′ continua igual a 1.

Unidades com c=1: os eixos são ct e x, e a velocidade é v/c. Arraste os eventos A e B. A curva dourada é −(ct)2+x2=s2 pelo evento A; as marcas nos eixos inclinados são as unidades do outro referencial, e as tracejadas verdes leem as coordenadas de A nesses eixos. A linha da luz fica a 45° nas duas vistas.