O tensor métrico e suas operações

Em operações com tensores a métrica era uma matriz fixa que sobe e desce índices, e em Minkowski era a forma η, igual em todo lugar. Agora ela depende do ponto. Toda a geometria que se pode medir numa variedade está nessa única função, e esta seção mostra como extrair cada medida dela.

Um produto escalar em cada ponto

Uma métrica numa variedade é a escolha, em cada ponto x, de uma forma bilinear gx sobre os vetores tangentes em x, simétrica e não degenerada, que varia suavemente com x. Não degenerada significa que gx(u,⋅)=0 só para u=0, e é isso que garante a inversa gij. Positiva ela não precisa ser: η não é, e os tipos de métrica nascem daí. Numa carta de coordenadas xi, os vetores ei=∂/∂xi formam uma base em cada ponto, e as componentes são funções.

Uma superfície em R3 recebe sua métrica de graça. Se X(u1,u2) é a superfície, os vetores tangentes são ei=∂iX, e o produto escalar do espaço ambiente, restrito a eles, dá a métrica induzida gij=∂iX⋅∂jX. Na esfera X=a(sin⁡θcos⁡φ,sin⁡θsin⁡φ,cos⁡θ) sai g=diag⁡(a2,a2sin⁡2θ). Na sela z=xy/2, com ∂xX=(1,0,y/2) e ∂yX=(0,1,x/2), sai uma métrica com termo cruzado, pois as linhas de coordenadas não se cruzam em ângulo reto.

A partir daqui esquecemos o espaço ambiente: tudo o que segue usa só gij(x). É o único ponto de vista disponível para o espaço-tempo, que não está dentro de nada.

Comprimento, ângulo e volume

Numa base ortonormal as três fórmulas são as da escola. Aqui nada é ortonormal: partimos de vetores v=viei com ei⋅ej=gij e chegamos às fórmulas gerais. Nos passos 1 a 5, g é positiva; o último conta o que muda quando não é.

Comprimento de vetor e de curva Por bilinearidade, ∥v∥2=g(viei,vjej)=gijvivj. Uma curva percorre, em dλ, o vetor x˙idλ, logo L=∫λ0λ1gij(x(λ)) x˙ix˙j dλ. Trocar o parâmetro por μ(λ) crescente multiplica a velocidade por dλ/dμ e a medida de integração por dμ/dλ: os fatores se cancelam. L é da curva, não do parâmetro.

Ângulo Para todo t real, g(u+tv,u+tv)≥0. Esse trinômio em t não muda de sinal, então seu discriminante não é positivo: g(u,v)2≤g(u,u) g(v,v). É a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que garante ∣cos⁡α∣≤1 na definição cos⁡α=gijuivjgklukul gmnvmvn. Para os próprios eixos, cos⁡α12=g12/g11g22. Eis o sentido do termo cruzado: g12=0 é o mesmo que linhas de coordenadas perpendiculares.

Área de um paralelogramo Sejam u,v em duas dimensões e B a matriz cujas colunas são suas componentes. A matriz dos produtos, ou de Gram, é G=BTgB, portanto det⁡G=∥u∥2∥v∥2−g(u,v)2=det⁡g (det⁡B)2. O lado esquerdo é ∥u∥2∥v∥2sin⁡2α, a área ao quadrado. Logo aˊrea=det⁡g ∣u1v2−u2v1∣. O segundo fator é a área que se leria nas etiquetas, e det⁡g é a correção.

Volume em n dimensões Tome em um ponto uma base ortonormal e^a e escreva ei=Eaie^a. Na base ortonormal, o volume do paralelepípedo de arestas ei é ∣det⁡E∣, e gij=EaiEbj δab⇒g=ETE⇒det⁡g=(det⁡E)2. Assim, o volume da célula unitária de coordenadas é det⁡g, e a célula de lados dxi tem dV=det⁡g dnx.

Por que esse volume não depende da carta Em outra carta, a mesma célula tem g′=JTgJ, com J o jacobiano, e portanto det⁡g′=∣det⁡J∣det⁡g. Já dnx=∣det⁡J∣ dnx′. Multiplicando, det⁡g′ dnx′=det⁡g dnx. Nem det⁡g nem dnx são escalares. O produto é. Por isso todo integrando físico vem com esse fator.

Quando g não é positiva Na assinatura (−,+,+,+) vale det⁡g<0, e o volume usa −g d4x, que continua invariante pelo mesmo cálculo. O comprimento se divide: uma curva tipo tempo tem c dτ=−gμνdxμdxν. O trinômio do passo 2 muda de sinal, e a desigualdade se inverte para dois vetores tipo tempo u,v: g(u,v)2≥g(u,u) g(v,v),cosh⁡φ=−g(u,v)g(u,u) g(v,v)(u,v no mesmo cone). O ângulo entre dois vetores tipo tempo é a rapidez, não limitada. Com uμ=(1,0) e vμ=γ(1,β) em (ct,x), a fórmula dá cosh⁡φ=γ. Para β=35, γ=54 e φ=ln⁡2.

Resultado. L=∫gijx˙ix˙j dλ, cos⁡α=g(u,v)/∥u∥∥v∥ e dV=∣g∣ dnx. Só o último precisa do determinante, e só o produto ∣g∣ dnx é escalar.

Um exemplo em cada fórmula, com a sela no ponto (1,1), onde g=(5/41/41/45/4). Os eixos fazem ali cos⁡α=14/54=15, ou 78,5°. O vetor (1,0) tem comprimento 5/2≈1,118. A célula unitária tem área 3/2≈1,225, menor que o produto dos lados, 5/4, porque está inclinada: de fato 54sin⁡78,5°≈1,225.

As operações que usam g

Subir e baixar índices seguem como em operações com tensores, com fatores que agora mudam de lugar para lugar. Com g=diag⁡(1,r2), vθ=r2vθ. Na sela em (1,1), a inversa é g−1=(5/6−1/6−1/65/6), e o vetor (1,0) desce a (54,14): baixar um índice mistura componentes quando há termo cruzado. O que é novo aqui é o que depende de ∣g∣.

A divergência mede o fluxo que sai de uma célula por unidade de volume. A célula tem volume ∣g∣ dnx, e o fluxo pelas faces é contado por ∣g∣ vi. Compondo com o gradiente gij∂jf sai o laplaciano. As duas fórmulas valem em qualquer carta.

Em polares, g=r e gθθ=1/r2, logo Δf=1r∂r(r ∂rf)+1r2∂θ2f. Na esfera, g=a2sin⁡θ e Δf=1a2sin⁡θ∂θ(sin⁡θ ∂θf)+1a2sin⁡2θ∂φ2f. Teste com f=cos⁡θ, a altura sobre o equador: Δf=−2f/a2, o primeiro harmônico esférico, com ℓ(ℓ+1)=2.

Uma última operação aparece em toda conta de curvatura. A derivada do determinante é um traço, δdet⁡g=det⁡g gijδgij, como mostra a expansão de det⁡(g+δg)=det⁡g det⁡(I+g−1δg) em primeira ordem. Portanto

Contas completas

Espiral no plano. A curva r=θ, com θ de 0 a 2π, tem r˙=1 e θ˙=1 tomando λ=θ. Então gijx˙ix˙j=1+θ2, e L=∫02π1+θ2 dθ=12[θ1+θ2+arsinh⁡θ]02π≈21,26.

Circunferência numa esfera. A métrica decide o que é um círculo. Todos os pontos a distância ρ do polo, medida ao longo da superfície, formam o paralelo θ=ρ/a, cuja circunferência é C=∫02πasin⁡θ dφ=2πasin⁡(ρ/a), menor que 2πρ. Da mesma forma, a calota tem área ∫ ⁣ ⁣∫a2sin⁡θ dθ dφ=2πa2(1−cos⁡θ), e θ=π dá 4πa2. Na Terra, com a=6371 km e ρ=1000 km, C/2πρ≈0,9959: um déficit de 0,41%, mensurável sem sair da superfície. É um primeiro sinal de curvatura.

Um relógio no espaço-tempo. Um relógio parado na carta tem c dτ=−g00 dx0. Em Rindler, gηη=−(αξ/c2)2c2 dá dτ=(αξ/c2) dη: o ritmo depende da posição. Dada a métrica de Schwarzschild, em unidades c=G=1, gtt=−(1−2M/r), e em r=6M o relógio marca dτ/dt=2/3≈0,816. Toda quadrivelocidade obedece a gμνuμuν=−c2, que é a definição de τ lida ao contrário.

A régua na superfície

Mova o ponto P ao longo da curva. A superfície inicial é a esfera, com o paralelo θ=60°: na carta ele é uma reta de comprimento 2π≈6,283, e a integral dá L=5,441, que é 2πsin⁡60°. Em P, det⁡g=0,866, e o anel dourado, um círculo no plano tangente, é uma elipse na carta, mais larga em φ. Um ângulo de 45° nas coordenadas é 49,1° medido com g. Na sela, com a diagonal x=y, a soma nas coordenadas é 5,657 e L=7,191, e as marcas se apertam na carta perto das pontas. Com P em 0,75, sobre o ponto (1,1), os mesmos 45° viram 39,2°. Leve A ao polo da esfera ou ao centro do plano, com P sobre A: det⁡g=0, e o laboratório avisa que é borda das coordenadas. A superfície não tem nada de especial ali. A carta é que falha.

No primeiro quadro, a carta; no segundo, a superfície. Arraste A, B e o controle Q. As marcas brancas caem a cada passo fixo de comprimento próprio: iguais na superfície, desiguais na carta. O anel dourado é gijwiwj=ρ2 em P: elipse na carta, círculo no plano tangente. A seta turquesa U é a tangente unitária da curva, e a rosa V faz com ela, nas coordenadas, o ângulo do controle. A carta usa a mesma escala nos dois eixos.