Tipos de métrica

Uma mesma métrica pode ter componentes muito diferentes, e duas métricas parecidas podem ser de naturezas opostas. O invariante que as classifica é a assinatura: quantos sinais negativos sobram quando a matriz é levada à forma diagonal. Esta seção prova que essa contagem não depende de como se faz, e percorre o catálogo que a área usa daqui em diante.

Assinatura

Fixe um ponto. Trocar de base muda a matriz por g′=ATgA, como em invariância, operação chamada de congruência. Toda matriz simétrica real pode ser levada por congruência a uma diagonal só com −1, 0 e +1. A assinatura é a lista desses sinais. Sem zeros, a métrica é não degenerada. Se todos os sinais são iguais, ela é riemanniana. Se exatamente um difere dos demais, ela é lorentziana. Na área esse sinal é o negativo, e escrevemos (−,+,+,+). A convenção oposta troca todos os sinais e descreve a mesma geometria, como no quadro de Galileu.

A forma mais rápida de achar a diagonal é completar quadrados, sem calcular autovalores. Para g=(1221), gijvivj=x2+4xy+y2=(x+2y)2−3y2. A diagonal é (1,−3). Os autovalores são 3 e −1: outros números, mesmos sinais, e a assinatura tem um sinal de cada. Sylvester publicou a demonstração de que isso nunca falha em 1852, e o nome que deu ao resultado foi lei de inércia.

Seja g uma matriz simétrica real n×n. Mostramos que existe uma diagonalização por congruência, que os números da diagonal não são invariantes, que as quantidades de sinais são, e o que isso implica ao longo de uma variedade.

Existe uma diagonal O teorema espectral dá O ortogonal com OTgO=diag⁡(λ1,…,λn). Tome D=diag⁡(di), com di=∣λi∣−1/2 se λi≠0 e di=1 se λi=0. Com A=OD, que é inversível, a congruência dá uma diagonal de ±1 e 0.

Os valores não sobrevivem Autovalores são invariantes por semelhança, A−1gA, e não por congruência. Com g=diag⁡(1,4) e A=diag⁡(1,12), vem ATgA=I: o autovalor 4 sumiu. Só para A ortogonal as duas operações coincidem, e uma mudança de coordenadas não é ortogonal em geral.

A contagem sobrevive Sejam duas bases em que g é diagonal, com p e p′ sinais positivos, e suponha p>p′. Na primeira, seja W+ o espaço gerado pelos p vetores positivos: g(w,w)>0 para todo w≠0 nele. Na segunda, seja W− o espaço gerado pelos n−p′ vetores restantes: g(w,w)≤0 nele. Como dim⁡W++dim⁡W−=p+n−p′>n, os dois têm em comum um w≠0, que teria g(w,w)>0 e ≤0. Contradição, logo p≤p′. Trocando as bases, p′≤p. O mesmo argumento vale para os sinais negativos, e o número de zeros é n−posto⁡g, que congruência não altera.

Uma leitura sem base O passo anterior prova mais: p é a maior dimensão de um subespaço em que g é positiva. Essa frase não menciona base, e a assinatura é uma propriedade do próprio gx. Em (−,+,+,+), os maiores subespaços tipo espaço têm dimensão 3, e nenhum plano é todo tipo tempo.

De ponto em ponto Numa região conexa onde g é contínua e não degenerada, os autovalores são funções contínuas que nunca valem zero. Nenhum troca de sinal, e a assinatura é a mesma em toda a região. A hipótese de não degenerada é necessária: em diag⁡(x,1) o sinal muda ao cruzar x=0, onde a matriz não tem inversa.

O sinal de cada componente não conta Assinatura não se lê da diagonal de uma matriz que não está diagonalizada, nem do sinal de gtt. Em dimensão 2, det⁡g<0 é o mesmo que um sinal de cada: a matriz (0−12−120) de ds2=−du dv, com u=ct−x e v=ct+x, tem diagonal nula e é lorentziana. Em dimensão 4, det⁡g<0 só diz que o número de negativos é ímpar: (−,−,−,+) também tem determinante negativo.

Resultado. Toda congruência leva a mesma contagem de sinais, que é a maior dimensão dos subespaços positivos e negativos. Numa região conexa sem degeneração, ela é constante.

Riemanniana contra lorentziana

Um único sinal negativo muda quase tudo. Numa métrica riemanniana, g(v,v)=0 só para v=0, vale Cauchy-Schwarz, e o comprimento dá uma distância entre pontos: a menor curva. Numa lorentziana, os vetores tangentes se dividem em tipo tempo, tipo luz e tipo espaço, como em Minkowski, agora em cada ponto. Existem vetores não nulos de norma zero, ortogonais a si mesmos. A desigualdade se inverte entre vetores tipo tempo, e a reta passa a ser a de maior tempo próprio. Dois eventos ligados por luz têm intervalo zero sem serem o mesmo evento, portanto ∣s2∣ não é uma distância no sentido dos espaços métricos.

O grupo que preserva a forma em cada ponto também muda: O(n), compacto, contra O(1,n−1), não compacto, porque a rapidez não tem limite. A rotação de Wick t=−iτ leva η à métrica euclidiana e o grupo de Lorentz a SO(4), e o cone de luz some na passagem: é um truque de cálculo que troca um tipo pelo outro. Mesmo a existência depende do tipo. Toda variedade paracompacta admite uma métrica riemanniana, mas uma lorentziana exige um campo de direções definido em todo ponto. A esfera S2 não tem nenhuma: por ser simplesmente conexa, um campo de direções nela se orienta num campo de vetores sem zeros, e o teorema da bola cabeluda proíbe esse campo. Já uma forma degenerada, como dt2, de matriz diag⁡(1,0,0,0), não é métrica no nosso sentido: não tem inversa e não sobe índices. É ela que resta em Galileu.

O cone de luz numa métrica qualquer

Numa métrica lorentziana, a luz segue ds2=0. Num plano de coordenadas (t,x), com as outras fixas, isso é uma equação de segundo grau para a inclinação s=dx/dt:

Em Minkowski, com ct no lugar de t, s±=±1. Se o discriminante é negativo, o bloco é definido, e aquele plano não contém nenhuma direção nula. Isso não contradiz a assinatura: ela fala do espaço tangente inteiro, e um plano dele pode ser todo tipo espaço.

O catálogo

Euclidiana e polares. δij em cartesianas e diag⁡(1,r2) em polares são a mesma geometria em cartas diferentes. Ver componentes variando não prova curvatura. O critério correto é o tensor de Riemann, no módulo seguinte. A carta polar falha em r=0, onde gθθ=0, e o plano nem percebe. Esfera. a2diag⁡(1,sin⁡2θ) é curva de verdade. Falha nos polos, e também ali a superfície é regular.

Minkowski e Rindler. ημν é a lorentziana constante. A métrica de Rindler, com a coordenada adimensional η que lá se escreve αη/c, é ds2=−ξ2dη2+dξ2+dy2+dz2: um pedaço do mesmo espaço plano, visto por observadores acelerados. Ela tem s±=±ξ: os cones se fecham quando ξ→0, o horizonte de Rindler, onde gηη=0. Nada físico acontece ali. É o primeiro exemplo de uma falha de coordenadas com cara de horizonte.

As próximas entram como métricas dadas, em unidades c=G=1, sem derivação. Elas são solução das equações de campo, o que será mostrado no módulo de soluções. Aqui servem para calcular.

As contas com sinais já mostram o que a assinatura protege. Em Schwarzschild, r=6M tem g=diag⁡(−23,32,36M2,36M2sin⁡2θ) e cones dr/dt=±23. Em r=2,5M a inclinação é ±0,2: em r=2M esta carta falha, com gtt=0 e grr divergindo, e o laboratório avisa. Para r<2M, f<0 e os sinais de gtt e grr trocam de lugar: t vira coordenada tipo espaço e r tipo tempo. A contagem continua sendo um sinal negativo.

Em Kerr com a=0,9M no equador, r=3M tem gtt=−13 e gtφ=−0,6M. O cone no plano (t,φ), em r dφ/dt, vai de −0,392 a 0,740: já pende para o lado do giro. Em r=1,8M, gtt=+0,111, e seria tentador dizer que t deixou de ser tempo. Mas a matriz não é diagonal, com gtφ=−M, e os autovalores são −0,087, 3,240, 5,149 e 7,200: assinatura (−,+,+,+). O que mudou é físico: as duas bordas do cone são 0,120 e 0,608, ambas positivas, e nada ali pode ficar parado em φ. Por isso o plano (t,r) não tem direção nula nesse ponto: gtt e grr são positivos e o bloco é definido.

O catálogo em números

Escolha uma métrica e mova o ponto. As tabelas mostram gμν e gμν em cada ponto, e os painéis trazem duas diagonais da mesma matriz: os autovalores e os pivôs de uma congruência. Em Kerr com a=0,9, r=1,8 e θ=90°, os pivôs são 7,200, 4,950, 3,240 e −0,091. Compare com os autovalores acima: o valor negativo não é o mesmo, e a contagem de sinais é. O primeiro quadro traz o cone local, e a fileira o repete ao longo de r ou de outra coordenada. Em Schwarzschild os cones se fecham ao descer para 2M. Em Kerr, peça o plano (t,φ) e veja os cones tombarem. No plano (t,r) com r=2 e θ=90°, exatamente sobre a superfície em que gtt=0, resta uma só direção nula. Em FLRW com n=23 e t=2, a luz tem dx/dt=±0,630. Esfera e polares não têm cone: o anel é a régua de o tensor métrico. Leve o raio da esfera a 0, r a 2 ou θ a 0: em vez de números, o laboratório diz o que falhou.