Jacobiano e mudança de coordenadas

Em invariância uma única matriz A trocava a base de um espaço inteiro. Numa variedade não existe base global: cada carta dá uma base em cada ponto, e duas cartas diferem por uma matriz que muda de ponto a ponto. Essa matriz é o jacobiano. Com ele, a fórmula g′=ATgA vira a regra para passar qualquer métrica de uma carta a outra.

A matriz das derivadas

Sejam duas cartas numa mesma região, ui e ya, ligadas por funções suaves ya(u). O jacobiano é a matriz das derivadas parciais, que Jacobi estudou sob o nome de determinante funcional em 1841. A regra da cadeia diz que um deslocamento pequeno se transforma linearmente, e a aproximação linear de y em torno de um ponto é exatamente esse J.

A lei de transformação

O único dado físico é que um deslocamento é um objeto, com o mesmo comprimento em qualquer carta. O resto é regra da cadeia.

Vetores Uma curva ui(λ) é, na outra carta, ya(u(λ)). Pela regra da cadeia, a velocidade transforma por J: y˙a=Jai u˙i. Essa é a regra contravariante, agora com uma matriz diferente em cada ponto. A volta é u˙i=(J−1)iay˙a.

Covetores Para uma função f, a regra da cadeia no outro sentido dá ∂f∂ui=Jai ∂f∂ya. A diferencial df transforma com J do outro lado, e o pareamento u˙i∂if=y˙a∂af sai igual porque J e J−1 se cancelam.

A métrica Exija que ds2 seja o mesmo número nas duas cartas: ds2=gab dya dyb=gab JaiJbj dui duj≡gij′ dui duj. Como g′ é simétrica e dui é arbitrário, a identidade das formas quadráticas dá a identidade das matrizes: gij′=Jai Jbj gab,isto eˊ,g′=JTgJ.

Qualquer tensor Um índice em cima leva J ou J−1, um índice embaixo leva o outro, e cada índice recebe seu fator: T′ ij=(J−1)ia Jbj Tab. Uma equação entre tensores que vale numa carta vale em todas, porque os dois lados recebem os mesmos fatores. É a tradução do princípio da invariância.

Determinante e volume Do passo 3, det⁡g′=(det⁡J)2det⁡g. Já um quadrado de lados ε em u tem arestas εJe1 e εJe2 em y, logo área ∣det⁡J∣ ε2, a menos de termos de ordem ε3, que vêm da curvatura da imagem. Daí dny=∣det⁡J∣ dnu,∣g′∣ dnu=∣g∣ dny. É a mudança de variáveis das integrais múltiplas, agora como consequência da métrica.

Quando a carta falha Se det⁡J≠0 em um ponto, o teorema da função inversa garante que y(u) é inversível numa vizinhança dele. Se det⁡J=0, a congruência JTgJ não é mais por matriz inversível: g′ fica degenerada, com ao menos um zero a mais na assinatura, mesmo com g regular. Nos pontos em que J é inversível a lei de inércia vale, e a assinatura é a mesma nas duas cartas.

Composição Passar por uma carta intermediária multiplica matrizes, Jy←w=Jy←uJu←w, pela regra da cadeia. Tomando w=y, Jy←uJu←y=I. Os determinantes se multiplicam: duas cartas orientadas no mesmo sentido têm det⁡J>0, e essa condição é o que define orientação.

Resultado. g′=JTgJ, um fator de J ou J−1 por índice, ∣g′∣=∣det⁡J∣∣g∣. Onde det⁡J=0, a nova carta falha, mesmo que a geometria não tenha nada de especial.

Quatro cartas, em detalhe

Polares. De x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θ vêm a matriz abaixo e det⁡J=r. Em cartesianas g=I, portanto g′=JTJ, o produto das colunas de J entre si: grr′=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1, grθ′=−rcos⁡θsin⁡θ+rsin⁡θcos⁡θ=0 e gθθ′=r2. No ponto r=2, θ=π/4, as colunas são (0,71;0,71) e (−1,41;1,41). O vetor V=(0,5;0,3) em (r,θ) vai a JV=(−0,07;0,78) em (x,y), e os dois quadrados de norma são 0,25+4⋅0,09=0,61 e 0,005+0,605=0,61. Em r=0, J tem uma coluna nula.

Esféricas. Em três dimensões, com x=rsin⁡θcos⁡φ, y=rsin⁡θsin⁡φ, z=rcos⁡θ, as colunas de J são ortogonais e têm comprimentos 1, r e rsin⁡θ. Logo g′=diag⁡(1,r2,r2sin⁡2θ) e det⁡J=r2sin⁡θ, o elemento de volume que integra 43πR3. Na superfície r=a, restam as linhas θ,φ e a métrica da esfera.

Parabólicas. Com x=στ e y=12(τ2−σ2), JTJ=(σ2+τ2) I: a métrica é proporcional à identidade, com det⁡J=σ2+τ2. A razão é que y+ix=12(τ+iσ)2 é uma função holomorfa, e essas preservam ângulos. A grade fica toda em ângulo reto, mas com escala variável. Na origem det⁡J=0, e o ângulo reto dos eixos vira um ângulo raso: a carta falha ali.

Rindler. Agora o alvo é (ct,x), com a matriz de Minkowski ηab. A coordenada adimensional η, sem índices, é o αη/c de Rindler, como se lá fosse α=c: os dois usos da letra são os de sempre, e só o índice os separa. A carta ct=ξsinh⁡η, x=ξcosh⁡η tem det⁡J=ξ(cosh⁡2η−sinh⁡2η)=ξ. A fórmula dá gηη′=−ξ2cosh⁡2η+ξ2sinh⁡2η=−ξ2, gξξ′=−sinh⁡2η+cosh⁡2η=1 e gηξ′=0. É a métrica de Rindler, obtida sem nenhuma física de foguetes: gij′=JaiJbj ηab e nada mais. Em ξ=0 a carta inteira colapsa num ponto, e g′ degenera sem que nada aconteça em Minkowski. Esse é o caso que explica o horizonte de Rindler, e o padrão vale para r=2M: quando g degenera ou diverge, pode ser só J falhando. Uma troca de carta adequada decide, e a resposta definitiva vem de um escalar de curvatura.

Um caso especial merece nome. Se JTgJ=g, a transformação é uma isometria: as componentes não mudam. O boost tem J=Λ, constante, e a condição é ΛTηΛ=η de Lorentz, com det⁡Λ=1. No outro extremo, em qualquer métrica lorentziana e em cada ponto, a lei de inércia dá uma matriz B com BTgB=η. Suas colunas são um referencial ortonormal eaμ, e ela é a inversa da tétrada eaμ de g=eTη e. Como matriz, existe em cada ponto. Como jacobiano de uma única troca de carta numa região, só onde a geometria é plana.

Um det⁡J negativo é uma carta de orientação invertida. O módulo em ∣g′∣=∣det⁡J∣∣g∣ apaga esse sinal e o volume continua positivo. O símbolo de Levi-Civita tem os mesmos valores em toda carta. Quem sente a inversão é o tensor E=∣g∣ ϵ: levado pela lei de transformação, ele chega à carta nova como sgn⁡(det⁡J) vezes a mesma fórmula escrita nela. Entre cartas de orientações opostas, as duas expressões diferem por esse sinal.

O que J não transforma

A lei usa só derivadas primeiras de y(u), e por isso vale ponto a ponto. Derivar um tensor compara dois pontos e faz aparecer ∂J. Veja um campo constante, v=ex no plano. Em polares, vi=(J−1)ix dá vr=cos⁡θ e vθ=−sin⁡θ/r. As componentes variam, embora a seta seja a mesma em todo lugar, e ∂θvr=−sin⁡θ≠0 para um campo sem variação alguma. Em geral,

A grade na tela

Arraste P e a ponta de V. Em polares, com P=(2; 0,79), o laboratório lê det⁡J=2,000 e g′=diag⁡(1,4), e o quadrado de lado ε=0,5 vira um setor de anel de área 0,500, que é ∣det⁡J∣ ε2. Em parabólicas com P=(1,1), det⁡J=2, e o mesmo quadrado tem área 0,510: o quociente é 2,042, e tende a 2 quando ε cai. Reduza ε e veja a mancha dourada encostar no paralelogramo tracejado. Em Rindler, com η=0,5 e ξ=1,5, g′=diag⁡(−2,25; 1), e V e JV dão o mesmo número, −0,050, negativo porque V é tipo tempo. Leve P a r=0, à origem de σ,τ ou a ξ=0: aparece o aviso, e J−1 deixa de existir. A leitura de área some assim que o quadrado sai da carta: em polares e parabólicas a imagem se sobrepõe, e em Rindler ela passa à outra cunha. No modo linear, faça s<0: o determinante fica negativo e a grade se espelha, mas a área continua positiva.

No primeiro quadro, a carta ui, com sua grade reta; no segundo, a imagem da mesma grade. Arraste P e a ponta de V. O quadrado dourado de lado ε vira uma mancha curva, e o paralelogramo tracejado é o que J prevê: os dois coincidem quando ε→0. A seta rosa da imagem é JV. Se o quadrado sai da carta, a área não é lida. Em Rindler o alvo é (ct,x) com g=diag⁡(−1,1), η é adimensional, como se α=c, e as tracejadas amarelas são ct=±x. No modo linear, J é a rotação do cisalhamento (sk01).