Tétradas

As componentes gμν misturam o que é geometria com o que é carta. Um observador não mede componentes de carta: ele tem um relógio e três réguas perpendiculares. A tétrada é esse equipamento escrito em linguagem de campo, uma base ortonormal em cada ponto. Nela, a métrica é ηab em todo lugar, e toda a informação sobre g passa para a base.

A raiz quadrada da métrica

Uma tétrada, ou referencial ortonormal, é um conjunto de n campos vetoriais ea, com a=0,…,n−1, que em cada ponto satisfazem g(ea,eb)=ηab. Em quatro dimensões, e0 é tipo tempo: é a quadrivelocidade de um observador, dividida por c, e e1,e2,e3 são suas réguas. Os índices latinos contam vetores da base e são chamados planos. Os gregos são da carta. Nas componentes, ea=eaμ∂μ. A base dual, de covetores ea=eaμdxμ, é definida por ea(eb)=δba.

Numa superfície, em que η é a identidade, a palavra é díade, e em geral vielbein. A receita prática para uma métrica diagonal é ler a raiz de cada termo: se ds2=−A2dt2+B2dr2+…, então e0=A dt, e1=B dr, e os vetores são os inversos, e0=A−1∂t, e1=B−1∂r.

Existência, contagem e liberdade

Trabalhamos num ponto de cada vez, pois nada aqui envolve derivadas. Escreva E para a matriz de elementos eaμ, linha a, coluna μ. Então a definição é g=ETηE.

Existe A lei da inércia de Sylvester garante uma matriz inversível P com PTgP=η, sempre que g tem a assinatura de η. Tome E=P−1: ETηE=(P−1)T PTgP P−1=g. Quanto às vizinhanças, o processo de Gram-Schmidt dá E suave perto de qualquer ponto, desde que parta de uma base suave de vetores não nulos e que nenhum resto da ortogonalização seja nulo. Campos coordenados nem sempre servem: em ds2=−du dv, ∂u e ∂v são nulos, e toma-se antes uma combinação constante deles, como ∂u±∂v. Mas só perto: nem sempre um campo de bases cobre a variedade inteira. Na esfera, por exemplo, nenhum campo de vetores contínuo deixa de se anular em algum ponto.

A inversa Como E é inversível, ponha eaμ=(E−1)μa. Daí vêm eaμebμ=δba e eaμeaν=δμν. Multiplicando g=ETηE por E−1 dos dois lados, gμν eaμebν=ηab,gμν=ηab eaμebν. A primeira é a definição de ortonormal. A segunda dá a métrica inversa sem inverter g.

Contagem A matriz E tem n2 elementos, e g, que é simétrica, tem n(n+1)/2. Logo a tétrada carrega n2−n(n+1)2=n(n−1)2 números a mais do que a métrica. Em n=4 são 16−10=6. Esse é o número de parâmetros do grupo de Lorentz, três giros e três boosts. Não é coincidência.

Liberdade de Lorentz local Se E e E′ dão a mesma g, então Λ=E′E−1 cumpre ΛTηΛ=(E−1)TE′TηE′E−1=(E−1)T g E−1=η. Reciprocamente, toda Λ com essa propriedade leva uma tétrada de g em outra. Logo as tétradas de g num ponto são exatamente e′a=Λab(x) eb,ea′=(Λ−1)ba eb. Como nada nessa conta compara pontos, Λ pode variar com x. É uma simetria local, ao contrário da Lorentz global de Minkowski.

Volume Tomando o determinante de g=ETηE, det⁡g=det⁡η (det⁡E)2⇒∣g∣=∣det⁡E∣. A célula de volume ∣g∣ dnx é e0∧⋯∧en−1 a menos de sinal. Como ∣det⁡Λ∣=1, ela não sente a liberdade do passo 4.

Base que não vem de coordenadas Vetores de carta comutam: [∂μ,∂ν]=0. Vetores de tétrada, em geral, não. Na esfera de raio a, com e1=a−1∂θ e e2=(asin⁡θ)−1∂φ, [e1,e2]=−cot⁡θa e2≠0. Logo não existem coordenadas ya com ea=∂/∂ya. Comutar ou não, sozinho, não mede curvatura: no plano, a díade polar e1=∂r, e2=r−1∂θ também não comuta, e a cartesiana comuta. Mas num espaço curvo nenhuma tétrada comuta numa região inteira, pois nas coordenadas ya teríamos g=η ali.

Resultado. g=ETηE tem solução em cada ponto, única a menos de E→Λ(x)E, com n(n−1)/2 parâmetros, e ∣g∣=∣det⁡E∣.

Três tétradas

Esfera. De ds2=a2dθ2+a2sin⁡2θ dφ2 saem e1=a dθ e e2=asin⁡θ dφ. Em θ=60° com a=1, e2φ=0,866 e e2φ=1,155: andar 1 de φ rende só 0,866 de comprimento, e para andar 1 de comprimento é preciso gastar 1,155 de φ. Em θ=0 o coeficiente zera e a inversa estoura, como já sabíamos da carta. Girar essa díade por um ângulo β(x) dá outra díade da mesma esfera.

Rindler. A métrica de Rindler dá e0=(αξ/c) dη e e1=dξ, com e2=dy e e3=dz. Aqui η sem índices é o tempo de Rindler. A base e0=(c/αξ) ∂η é a quadrivelocidade do observador acelerado, dividida por c. Mas o espaço é plano, e a tétrada inercial eˉ0=d(ct), eˉ1=dx serve igualmente. Derivando ct=ξsinh⁡ψ e x=ξcosh⁡ψ, com ψ=αη/c, sai

Schwarzschild, observador estático. Dada a métrica, em unidades c=G=1, com f=1−2M/r e r>2M,

Essa base é onde as contas de carta viram medidas. Um corpo cai radialmente do repouso no infinito, com ut=1/f e ur=−2M/r, valores que as seções seguintes justificam. Em r=8M, f=34. Na carta, dr/dt=ur/ut=−0,375. O observador estático mede outra coisa, pois Va=eaμVμ dá u0=f ut=1,155 e u1=ur/f=−0,577, de razão −0,500. Essa é a velocidade local, 2M/r. Da mesma forma, a luz radial tem dr/dt=±f na carta, e ±1 na tétrada, em qualquer r>2M: a velocidade da luz medida localmente é sempre 1, o que a tétrada garante por construção.

Um boost local com v=−0,5 leva essa tétrada à do próprio corpo em queda: e0′=γ(e0+v e1) tem componentes (e0′)t=1,333 e (e0′)r=−0,500, que são ut e ur. Quando r→2M, o observador estático deixa de existir, pois f→0, enquanto o corpo em queda segue seu caminho. A falha é de uma tétrada e de uma carta, não da geometria.

O referencial na tela

Escolha uma métrica e mova o ponto. O laboratório abre em Schwarzschild, com r=8, no plano (t,r). A tabela lê e0t=0,866 e e1r=1,155, e o vetor V, com Va=(1; 0,5) no referencial, tem na carta Vt=1,155 e Vr=0,433. Os dois modos dão a norma −0,750. No primeiro quadro o cone se fecha conforme r cai, e a seta e1 encolhe diante de e0. No segundo, nada disso aparece: é sempre Minkowski. Ponha o boost em v/c=−0,50 e leia a linha 0 de eaμ: 1,333 e −0,500, a queda livre do parágrafo anterior. As componentes V′a mudam, a carta e g(V,V) não, e o resíduo de eTηe−g fica em zero. Em Kerr com a=0,90, r=1,80 e θ=90°, no plano (t,φ), gtt é positivo e não há observador estático, mas a tétrada existe: e0 ganha componente em φ, e é o observador de momento angular nulo, arrastado pela rotação. Leve r ao horizonte, ou θ ao eixo: o laboratório avisa que é borda das coordenadas.

Schwarzschild, Reissner-Nordström, Kerr, FLRW e de Sitter usam c=G=1, com M=1 nos buracos negros: são métricas dadas, ainda sem derivação. Minkowski e Rindler usam c=1. No primeiro quadro, a carta: a seta turquesa é e0 e a rosa é a do eixo escolhido, ou e1 e e2 numa superfície, com escala só para caber, e em dourado está o vetor V. No segundo, o próprio referencial, onde o cone é sempre o de Minkowski e o anel é sempre um círculo: arraste a ponta de V. A fileira repete o referencial em sete pontos, cada um na sua escala. Em Kerr, e0 é o observador de momento angular nulo.

O que fica para depois

Até aqui a tétrada é uma base em cada ponto, sem relação entre pontos vizinhos. Falta dizer como ea gira de um ponto para o outro, e isso é a conexão. Sua versão com índices latinos é a conexão de spin, e ela é o que permite pôr espinores num espaço curvo, pois espinores só se transformam sob Lorentz, e só a tétrada tem índices de Lorentz. Isso está em tétradas e conexão de spin, que parte desta seção. Atenção à assinatura ao passar de uma para a outra.