Métrica conforme

O jacobiano troca a descrição e deixa a geometria intacta. Aqui é o contrário: a carta fica, e a geometria muda, mas de um jeito muito restrito. A troca g→Ω2g estica cada ponto por um fator próprio, igual em todas as direções. O que sobrevive a ela é a forma: ângulos no caso riemanniano, a estrutura causal no lorentziano.

A transformação

Seja g uma métrica numa variedade de dimensão n e Ω(x) uma função suave e estritamente positiva. A transformação conforme de g é a nova métrica g~ sobre os mesmos pontos, na mesma carta. Dizemos que g e g~ são conformes, e o conjunto de todas as métricas conformes a g é sua classe conforme. Não há troca de coordenadas aqui, e g~ em geral descreve outra geometria, com outra curvatura.

Usar Ω2, e não Ω, garante o sinal e faz de Ω o fator dos comprimentos. O caso Ω constante é só uma troca de unidade. A palavra conforme também nomeia outra coisa: uma aplicação ϕ entre variedades cuja métrica puxada de volta é proporcional à original, ϕ∗g=Ω2g. As duas ideias se encontram nos exemplos abaixo, em que uma troca de coordenadas revela que uma métrica é Ω2 vezes uma plana.

O que muda e o que fica

Tudo sai de um fato: em cada ponto, g~ é g vezes um número positivo. O passo 4 prova a recíproca, que é a parte não trivial.

Ângulos Para g positiva, com u,v no mesmo ponto, cos⁡α~=Ω2g(u,v)Ω2g(u,u) Ω2g(v,v)=cos⁡α. O fator sai igual de cima e de baixo porque os dois vetores estão no mesmo ponto. Vale para Ω variável, sem nenhuma hipótese sobre suas derivadas.

Comprimentos, áreas e volumes De ds~2=Ω2ds2 sai ds~=Ω ds, logo uma curva tem L~=∫Ω ds,dV~=Ω n dV. Como o fator fica dentro da integral, L~ depende do caminho inteiro, não só de L. Isso é um índice de refração: em Rn, ∫Ω ds é o caminho óptico de um meio de índice Ω, e as geodésicas de g~ são os raios de Fermat desse meio. Por isso as retas de uma carta conforme em geral não são geodésicas de g~.

Cones de luz Para g lorentziana e v em x, g~(v,v)=Ω2(x) g(v,v). Como Ω2>0, os dois lados têm o mesmo sinal. Um vetor tipo tempo, tipo luz ou tipo espaço segue na mesma classe, e o cone de luz em cada ponto é o mesmo conjunto de vetores. Toda a estrutura causal, ou seja, quem pode influenciar quem, é da classe conforme. Tempos próprios mudam: dτ~=Ω dτ.

A recíproca: os cones fixam g a menos de um fator Sejam g e g~ lorentzianas, com os mesmos vetores nulos em x. Tome uma base com g(ea,eb)=ηab. Os vetores e0±ei são nulos para g, logo para g~: g~00+g~ii±2g~0i=0⇒g~0i=0,g~ii=−g~00. Para i≠j, o vetor e0+(ei+ej)/2 também é nulo. Com o que já se sabe, ele dá g~ij=0. Sobra g~=λg, com λ=−g~00, e λ>0 quando e0 segue tipo tempo. Em cada ponto, conhecer os cones é conhecer g a menos de Ω2: falta só uma função das dez que g tem.

Contagem de pesos Uma expressão com ∣g∣ e k inversas de g ganha Ω n−2k. Com k=1, ∣g~∣ g~ij=Ω n−2∣g∣ gij. Em n=2 o fator some, e a equação de Laplace ∂i(∣g∣ gij∂jf)=0 é a mesma para g e para g~. Com k=2 e n=4, o fator de −g gμαgνβFμνFαβ também some, com Fμν mantido: a ação de Maxwell no vazio é invariante conforme. A luz não enxerga Ω, de acordo com o passo 3.

Resultado. α~=α, mesma classe causal para todo vetor, e ds~=Ω ds, dV~=Ω ndV. Duas métricas lorentzianas com os mesmos cones em cada ponto são conformes.

Antecipando o módulo seguinte: uma geodésica nula de g continua geodésica nula de g~, como conjunto de pontos e com outro parâmetro afim. Geodésicas tipo tempo não têm essa sorte, porque o tempo próprio muda com o ponto. Partículas com massa enxergam Ω.

Conformemente plana

Uma métrica é conformemente plana se existe uma carta em que g=Ω2δ, ou g=Ω2η na assinatura lorentziana. Nessa carta os ângulos, ou os cones, são lidos no papel, sem conta.

Plano em polar logarítmica. Em ds2=dr2+r2dθ2, ponha ρ=ln⁡r. De dr=r dρ sai

Esfera em Mercator. Em ds2=dθ2+sin⁡2θ dφ2, com raio 1, ponha u=ln⁡tan⁡(θ/2). Então du=dθ/sin⁡θ e sin⁡θ=sech⁡u, de modo que ds2=sech⁡2u (du2+dφ2). Os polos fogem para u→±∞. Um curso de rumo fixo, que corta os meridianos em ângulo constante, é uma reta na carta, porque a carta preserva ângulos. Fora dos meridianos e do equador, ela não é uma geodésica, como o passo 2 avisou.

FLRW em tempo conforme. Dada a métrica plana de FLRW, em unidades c=G=1, ds2=−dt2+a(t)2dx2. Defina η por dη=dt/a. Colocando a2 em evidência,

Com a=t2/3, a integral dá η=3t1/3, portanto a=(η/3)2. A distância comóvel que a luz percorreu desde t=0 é η inteiro: em t=1, vale 3. Com a de Sitter, a=eHt, a integral dá η=−e−Ht/H, que corre de −∞ a 0, e ds2=(−dη2+dx2)/(Hη)2. Ali o futuro inteiro cabe num intervalo finito de η, e o η=0 é a borda da carta.

Dimensão 2. Toda métrica de duas dimensões é, localmente, conformemente plana: sempre há coordenadas isotérmicas. No setor (t,r) da métrica de Schwarzschild, dada em c=G=1 com f=1−2M/r, basta dr∗=dr/f, que dá r∗=r+2Mln⁡(r/2M−1) e −f dt2+dr2/f=f (−dt2+dr∗2).

Schwarzschild inteira não é. O teste é um tensor que ainda não temos: a parte de Riemann que não muda sob g→Ω2g, o tensor de Weyl, no próximo módulo. Em n≥4 uma métrica é conformemente plana se e somente se ele se anula, e em Schwarzschild ele não se anula para M≠0. Dá para ver o motivo agora. Divida a métrica por r2: sobra o produto de uma superfície (t,r) pela esfera unitária. Um produto assim só é conformemente plano se a superfície tiver curvatura de Gauss −1, e esta tem −1+6M/r. Só M=0 passa. Nem toda métrica cabe numa folha de borracha.

Ângulos na tela

Arraste P, U, V, A e B. Em polar logarítmica, com P=(0,40; 1,20), o laboratório lê Ω=1,492 e o ângulo de U a V dá 64,6° de três modos: com g, com g~ e no segundo quadro, depois de levar os vetores pelo jacobiano. Já ∣U∣ passa de 0,608 a 0,907. O segmento AB, de ρ=−1 a ρ=1, tem comprimento 2 com g e 2,350 com g~, que é 2sinh⁡1. Em Mercator, o mesmo AB é um arco de meridiano de 1,732, e o anel, que na carta incha perto dos polos, é um círculo igual em todo lugar da esfera. Em FLRW, com P em η=3, onde a=1, o cone no segundo quadro tem dx/dt=±1,000. Leve P a η=1,5: lê-se ±4,000, e na carta o cone não se mexeu. O segmento AB, parado em x=0 de η=1,5 a η=3, tem 1,500 com g e 0,875 com g~, que é o tempo cósmico 1−18.

No primeiro quadro, a carta, com a métrica plana g; no segundo, o lugar onde g~=Ω2g é a métrica comum. Arraste P, as pontas de U e V, e as extremidades A e B do segmento branco. O anel dourado é o círculo de raio próprio fixo: círculo nos dois quadros, com outro tamanho na carta. As linhas da grade se cruzam em ângulo reto nos dois quadros. Em FLRW, com c=G=1 e a=t2/3, não há anel: o cone amarelo fica em 45° em (η,x) e se fecha ou se abre em (t,x), e a carta tem a métrica de Minkowski.

O que vem depois

A liberdade de Ω tem um uso que dá nome a uma técnica. Em Minkowski com duas dimensões, com u=ct−x e v=ct+x, vale ds2=−du dv. Ponha u=tan⁡U e v=tan⁡V. Sai ds2=−dU dV/(cos⁡2Ucos⁡2V), e g~=cos⁡2Ucos⁡2V g é a métrica −dU dV num quadrado de lado finito: o infinito passou a ter endereço, e a luz segue a 45°. Esse é o princípio dos diagramas de Penrose, que aparecem no módulo de buracos negros para mostrar a estrutura causal de um espaço-tempo inteiro numa folha.