Vetores de Killing e isometrias

Num espaço-tempo curvo não há, em geral, energia nem momento conservados: as leis que davam isso em Minkowski vinham da uniformidade do espaço e do tempo. O que sobra é o seguinte: toda simetria da métrica dá uma constante de movimento. Essas simetrias são os campos de Killing, nome que vem do matemático Wilhelm Killing. É deles que saem a energia e o momento angular de uma órbita em torno de um buraco negro.

Isometria e derivada de Lie

Uma isometria é uma aplicação que preserva a métrica. Queremos as isometrias contínuas, que formam famílias com um parâmetro ε, e essas nascem de um campo vetorial ξμ(x): cada ponto é levado ao longo do fluxo de ξ, e para ε pequeno, x′μ=xμ+ε ξμ(x). A pergunta é que condição ξ deve cumprir. A resposta usa só g e derivadas parciais, sem nenhum objeto novo. Ela define a derivada de Lie da métrica ao longo de ξ, e o campo é de Killing quando ela se anula.

Da simetria à quantidade conservada

Os passos 1 a 3 usam só a lei de transformação de g. O passo 4 precisa do que é uma geodésica, e o passo 5 antecipa a linguagem do próximo módulo.

A métrica puxada pelo fluxo Pela lei de transformação, a métrica vista depois do deslocamento é gμν′(x)=gαβ(x+εξ) ∂x′α∂xμ∂x′β∂xν,∂x′α∂xμ=δμα+ε ∂μξα. Em primeira ordem em ε, o primeiro fator dá gαβ+ε ξλ∂λgαβ, e cada jacobiano dá um termo: gμν′=gμν+ε(ξλ∂λgμν+gλν∂μξλ+gμλ∂νξλ). A isometria exige g′=g, e o parêntese é (Lξg)μν. Um fluxo finito é uma sucessão desses passos.

Coordenadas adaptadas Se ξ=∂k, um vetor de carta, então ξλ=δkλ é constante e os dois últimos termos somem: (L∂kg)μν=∂kgμν. Perto de um ponto com ξ≠0, sempre existe uma carta em que ξ=∂k. Logo ξ é de Killing se e somente se, nessa carta, nenhuma componente de g depende de xk. Coordenada ausente é simetria.

Um caso que não é coordenada Na esfera de raio 1, a rotação em torno do eixo x tem ξθ=−sin⁡φ e ξφ=−cot⁡θcos⁡φ, e g depende de θ. Conferindo as três componentes: (Lξg)θθ=2 ∂θξθ=0, (Lξg)θφ=sin⁡2θ ∂θξφ+∂φξθ=cos⁡φ−cos⁡φ=0, (Lξg)φφ=ξθ ∂θsin⁡2θ+2sin⁡2θ ∂φξφ=−2sin⁡θcos⁡θsin⁡φ+2sin⁡θcos⁡θsin⁡φ=0. Os termos se cancelam em pares: a simetria existe sem aparecer na carta.

A quantidade conservada Uma geodésica é extremo de ∫12gαβx˙αx˙β dλ, o que o próximo módulo deduz em geodésicas. A equação de Euler-Lagrange é ddλ(gμνx˙ν)=12 ∂μgαβ x˙αx˙β. Derive Q=ξμgμνx˙ν, usando ξ˙μ=x˙α∂αξμ: Q˙=12 ξμ∂μgαβ x˙αx˙β+gμβ ∂αξμ x˙αx˙β. Como x˙αx˙β é simétrico, o segundo termo pode ser dividido em duas metades, e fica Q˙=12(ξμ∂μgαβ+gμβ∂αξμ+gαμ∂βξμ)x˙αx˙β=12 (Lξg)αβ x˙αx˙β=0. Vale para geodésicas tipo tempo, nulas e tipo espaço, com parâmetro afim. É o teorema de Noether aplicado a uma partícula.

A forma com derivada covariante Com ξν=gνλξλ, a regra do produto dá gλν∂μξλ=∂μξν−ξλ∂μgλν. Substituindo os dois termos, (Lξg)μν=∂μξν+∂νξμ−(∂μgλν+∂νgλμ−∂λgμν)ξλ. A combinação entre parênteses é a que o próximo módulo vai chamar de duas vezes o símbolo de Christoffel, ao definir a derivada covariante ∇. Nessa notação, a equação de Killing é ∇μξν+∇νξμ=2∇(μξν)=0, que é como ela aparece na maioria dos textos. Por enquanto, ∇ é só um nome para a expressão acima.

Resultado. Lξg=0 é a equação de Killing, equivalente a ∇(μξν)=0, e implica Q=gμνξμx˙ν constante ao longo de toda geodésica afim.

Quantos campos há

A equação é linear, então combinações com coeficientes constantes de campos de Killing são de Killing. O comutador de dois também é, porque L[ξ,ζ]=[Lξ,Lζ]. Eles formam a álgebra de Lie do grupo de isometrias. Numa variedade conexa de dimensão n, um campo de Killing fica determinado pelos n valores de ξ e pelos n(n−1)/2 valores da parte antissimétrica de sua derivada num único ponto. Portanto há no máximo n(n+1)/2 campos independentes, e a métrica que atinge esse número é maximamente simétrica.

Plano. São 3: ∂x, ∂y e a rotação −y∂x+x∂y, que em polares é ∂θ. Esfera. Também 3, as rotações, embora nenhuma translação sobreviva: ∂φ, a do passo 3 e sua gêmea em torno de y. Minkowski. São 10: quatro translações, três rotações e três boosts, o grupo de Poincaré. Um boost em (ct,x) é x ∂ct+ct ∂x.

Rindler mostra a mesma simetria noutra carta. A métrica de Rindler não depende de η, e ∂η é o boost acima vezes α/c. Sua norma é g(∂η,∂η)=−(αξ/c)2: tipo tempo fora do horizonte e nula sobre ele. Aqui ξ é a coordenada, não o campo.

Dadas as métricas seguintes, em unidades c=G=1: Schwarzschild tem 4, que são ∂t e as três rotações. Kerr tem só 2, ∂t e ∂φ, porque a rotação do buraco negro fixa um eixo. FLRW plana tem 6, três translações e três rotações, e ∂t não está entre eles, pois a(t) depende do tempo. de Sitter tem o máximo, 10, embora a carta plana esconda isso: ∂t não é de Killing em ds2=−dt2+e2Htdx2, mas ∂t−Hxi∂i é. Na equação de Killing, o primeiro termo dá 2H gij, e os dois seguintes somam −2H gij.

Energia, momento angular e o que falta

Em Schwarzschild, em unidades c=G=1, com f=1−2M/r e uμ=dxμ/dτ, os dois campos do plano do equador dão

Duas constantes e a norma resolvem a órbita. No equador, gμνuμuν=−1 vira −E2/f+r˙2/f+L2/r2=−1, ou seja

Com rotação, E e L seguem conservados: em Kerr, gtφ entra nas duas, e E=−gttt˙−gtφφ˙. A separação total da órbita usa ainda uma quarta constante, a de Carter, que vem de uma simetria de outro tipo, um tensor de Killing.

Onde não há campo, não há constante. Em FLRW, com c=G=1, o campo ∂x conserva a2x˙. O momento medido por um observador comóvel é ax˙ por unidade de massa, de modo que ele decresce como 1/a: o desvio cosmológico para o vermelho, sem nenhuma conta de ondas. Já ∂t não é de Killing, e não existe energia conservada. Sobra uma versão mais fraca: ∂η, o vetor do tempo conforme, cumpre Lξg=σg, com σ uma função, e um campo de Killing conforme assim conserva Q só ao longo de geodésicas nulas.

A conservação na tela

Escolha um campo e veja Q ao longo da curva. A geodésica sai de um integrador numérico que só conhece g e não usa E nem L. Em Schwarzschild, com r=12, v=0,29 e direção tangente, os dados iniciais vêm da tétrada estática, e dão E=0,953862 e L=3,636262. A órbita desce a r≈6,31 e volta, precessando bastante a cada volta. Os valores de E e L não mudam nos dígitos mostrados, com desvio relativo abaixo de 10−10, e ∣Lξg∣ lê zero. Troque para ∂r: Q=grrr˙ oscila, e o laboratório mostra Lξg≠0. Com v=0,10 o corpo mergulha, e o laboratório para de ler em r=1,2 r+, um ponto regular logo fora do horizonte r+, que vale 2M em Schwarzschild. É no horizonte que fica a borda da carta, e ela não é uma singularidade. Em Kerr com a=0,90 e os mesmos dados, E=0,957726 e L=3,648174. Na esfera, com rumo de 40° e eixo inclinado 30°, a rotação conserva cos⁡30°cos⁡40°=0,663414, e ∂θ não conserva nada. A leitura de Lξg é local: para ∂θ ela vale sin⁡2θ, que zera sobre o equador, e um campo de Killing precisa zerá-la em todo ponto.

Nos buracos negros, c=G=1 e M=1, são métricas dadas, e a órbita fica no plano do equador, desenhada como se r,φ fossem polares. A curva é integrada numericamente com dτ=0,01 M, sem usar nenhuma constante de movimento. Na esfera, o raio vale 1. No primeiro quadro, as setas rosa são o campo ξ escolhido, a curva turquesa é a geodésica e o ponto branco é a partícula. No segundo, Q=g(ξ,u) ao longo de τ. A leitura de Lξg vale só para o ponto atual: com ∂θ, ela zera sobre o equador, e o campo segue não sendo de Killing.